Galitskii-1992 (1185113), страница 108
Текст из файла (страница 108)
связанная частица, ее энергия Ео = — мо!2) и, наконец, о)гав 3/ число ударов о барьер в единицу времени; сравнить с 9.30 и 9.28. Для уточнения этого результата заметим, что использованное в выражении (1) значение проницаемости барьера отвечает частице, движущейся строго вдоль паля (в направлении оси з). Для частицы, движущейся под углом 0 к полю, барьер менее прозрачен и это обстоятельство качественно можно учесть, считая, что эффективное электрическое поле для нее есть Ю соз 0яи яэ Ю(! — 0з/2). При этом для вероятности туннельной ионизацни частицы из состояния с орбитальным моментом ! и его проекцией т иа направление поля получаем ") юг~ — ~ ( Уьл (и) ) В(Ю соз О) гЯ ! Г .
', ~,.„г..+'"'(,')~ .. 2!+1 (!+ )т!)! Г36 'ь! !+' / 2коз )! ~~ (! — ) $)! [, 4и~~,~ 33" (так как существенны лишь малые углы 6 ц 1, то в шаровой функции достаточно ограничиться лишь со 6! сомножителем) Для короткодействующего потенциала эта формула правильно передает зависимость вероятности ионизации от напряженности слабого электрического поля как в экспоиенциальном, так и в предэкспоненциальном сомножителях. ") Строго говоря, в выражение (2) следовало бы также ввести множитель (к гз), учитывающий уменьшение веров!+! ятности вылета частицы из-за центробежного барьера, сравнить с 9.30.
11.66. Гамильтониан системы <ядро+электроне имеет вид а=а„д — — 'Ь,— 7 Яд — 2 е — л е (ге-гр( Здесь Й„д — гамнльтоннан ядерной подсистемы в с.ц.и. ядра (в всей системы в целом), суммирование проводится по всем протонам ядра. Записан (начало координат выбрано в центре пасс), замечаем, что У представляет часть взаимодействия, зависящую от состояния ядерной подсистемы и ответственную за рассматриваемый переход (в приближении точечного ядра У = 0]. Его вероятность (в единицу времени) рассчитывается по формуле г(юч =2л) Учл ) б (Еч Ей ) ~(ч' (2) Волновые функции, входящие в матричный элемент возмуще- ния Учя, имеют вид ; ре;цз х, =Чяо 'ярз яре=( — ) ,р!е),ряд яр,р ! Вме (2л) з(з где чязд! — в. ф.
ядерной подсистемы, так что о! ! Х е ~еУЯдЛт ДУ . Здесь Ит — произведение дифференциалов всех незавнсимыт координат ядра (включая и спнновые переменные). Лля вычисления матричного элемента воспользуемся разложением кулоновского потенциала в интеграл Фурье: (ге — гр( 2ле з лф р р 623 при этом У)з ) з) " 2(' — ) о Р ь' ~ г()l е 14 )ге Хге (8) Здесь можно разложить «ядерную» эксионеиту в ряд по степеням йгь Это соответствует рззложению слагаемых [г, — г„[-' по малому параметру гр(г, — ЕН„1аа ~ 1 (однако оио менее удобно для дальнейших преобразований, чем используемый прием с переходом к фурье-компоиентам). Разложив экспоненту, получаем Ч,"х * ~~~ (е э — !) Ч~"х йт яз 1 "* [~г'(-чт.,)м' ° - — м . (> ш' э где йм обозначает матричный элемент дипольного момента ядра.
Далее, проинтегрировав по координатам электрона, что дает ехр [1(Ч )г) ге Егь) ~Л'е = 8п2 [2*+ (Ч вЂ” й)з)з ' приводим матричный элемент (3) к виду 1,~/2- 2512 [',(3 из ш,т1 лр [Еа+ (я — й)з)з Так как скорость вылетающего электрона много больше атомной" ), т. е. д > Х (при этом энергия вылетающего электрона Е» = лз/2 яз Е,юг — Его г), то в интеграле (5) доминирующую роль играет область значений г), длякоторых [г) — й[(~ ~г,и ° ° у д~ [Е~+(я — й)з)з й .) [Ез+(ц — Ы)з)з = У )гз (» яз 'и, отсюда, кстати, следует неравенство дг„, «1, непосредственно подтверждающее возможность использованного выше разложения экспоненты), Таким образом, )чу Ез)з рча = йз йбш.
(6) м) Именно в этом случае в качестве волновой функпнн вылетающего электрона можно выбрать плоскую волну (в.ф. свободного электрона). 624 Так как в формуле (2) Ж ~ йз с(йс(й = йс(Езс(й, то, выполняя в ней с учетом (6) интегрирование сначала по Е», а затем и по углам вылета электрона, находим 4гз (йбсз(э с!ш = — — ~~ — ся, и л (в последнем выражении мы перешли к обычной системе единиц). С другой стороны, вероятность дипольного излучения фотона при ядерном переходе .1 аз сиизз = — (бсз(', Збсз см.
(х1'зс. 10), йш = тозс2, так что коэффициент внутренней конверсии ш Хэаэ 1 2тсэ Хтсх ез 1 ()к — — — — — — ( — ), а = — яв †. (9) к шизз 2 З, Ды ) ' Дс 137' Как видно, он резко возрастает с увеличением Е и с уменьшением частоты оз. 1!.69. Задача решается аналогично предыдущей, причем начальная стадия решения обеик задач одинакова.
Однако теперь при вычислении ядерной части матричного элемента уже нельзя воспользоваться формулой (4), так как в условиях данной задачи бсэ = О. Беря следующий член разложения экспоненты по степеням Чг„ получаем ядерную часть матричного элемента в виде — — ~ 'рс" ' Х (й" ) (й ) р~""- и ссга яи ° ч ч яи = — — )зус г х .х ззР сСт — — од С) б.
2 ) Е глз о — 6 сьось— Р = — — (сзади„(1) 1 6 где з, = ( з," '(~,') з;" з Р (2) 626 Так как в атоме имеется два К-электрона, то полная вероятность внутренней конверсии (в единицу времени) на электронах К-оболочки равна 322э з 32шзез азиз шд 2ш= 3д (бсо( = здт йв (бсоср (6) (прн этом предполагается, что четности начального и конечного состояний ядра одинаковые, в противном случае („!э = 0). Соответственно матричный элемент возмущения равен )тя !2 з !че ') ') е Ч а(ге) 10(ге)г(чб)Ге' и после интегрировании по Ч, приводящего к б-функции 6(г,), получаеи ) та 8 !1ечь(0) 10(0) 2п (8) Теперь легко находим угловое распределение вылетающего электрона н полную вероятность его вылета (в единицу времени) % 89 Д) Яе! ! Ч ь (0) Чо (0) à — л) а,) ) ч'ь(о) ч',(о) ~ (4) (нзотропный характер распределения Ию/г(() очевиден заранее из соображений симметрии).
С учетои наличия в атоме двух К-электронов вероятность рассматриваемого ЕО-перехода равна югз = 2ю. В частности, если вылетающий электрон является быстрым, Д ~ Я, то Ч'х(0)си яэ (2п), и соответственно 9 з (5) 1 У 1 2 1 Н = — — Ли — — — — Ль — — + . (1) 2ти " ги 2 ' ге )г,— ги(' Так как размер мюонной орбиты много меньше электронной ( лг„= 207пт,, а радиус Бора а„ю '), то этот гамильтониаи естественно записать в виде Й=Й„+Й,+Р, где 1 Š— 1 Йе= йе ге 1 2 Ни = — — Ди —— 2гпи ги В заключение отметин, что из полученных формул видно, что доминирующую роль внутренняя конверсвя играет именно на электронах К-оболочки (так как ю сс ) Ч' (0) )з, сравнить с 14.18 н !4.19).
11.70. Гамнльтониан системы, состоящей из мюона и влек. трона (представляющего один нз электронов К-оболочки), находящихся в кулоновском поле ядра с зарядом Е, ииеет вид 1 1 ) ге — гп( г, В пренебрежении возмущением У рассматриваемая система представляет две незавнснмые подсистемы: мюонную н электронную (с зкраннрованным на 1 зарядом ядра).
Легко заметить, что расчет эффекта Оже совершенно аналогичен расчету вероятности внутренней конверсии, см, !1.68, так как формально можно рассматривать мюонную подснстему как ядро. Более того, формулы, опнсывающне днпольный (нлн Р-) эффект Оже, получаются нз формул задачи !1.68 заменой в ннх Е на 3 — 1 и подстановкой мюонных в. ф. начального н конечного состояний вместо ядерных в, ф. Ч'~хг Вероятность его (в единицу времени) с учетом наличия двух К-электронов имеет вид 32 (3 — 1)з з тзва ш = — (Ао)' 3 Ло Л' (2) (сравнить с формулой (8] нз 1!.68), где о — скорость вылетаю- щего электрона, йы — матричный элемент днпольного момента мюона. В частности, для мюонного перехода 2р-ь1з имеем ! бш ~ = 2!з/(3!о3зшз) ее= 3Би ~4 в атомных единнцах, т = 207) н согласно (2) получаем и (2р — ь !з) яе 4,6 ° 1О ' (3 — 1) /3 с 627 сравнять с вероятностью излучения фотона ш„, ез 1,3 !была' с '.
В заключение отметим, что так как размер мюоннай орбиты а пз1сги, а размер орбиты К-электрона 1/Я, то )сл, и ш ловием применимости формулы (2) является неравенство л'~ ги яз 200 (прн этом вылетающнй электрон является бысти рым). 11.71. Если дипольный переход Оже аналогичен процессу внутренней конверсии при дипольном переходе ядра, см. 11.68, то З.переход Оже в случае, когда мюон имеет орбитальный мо. мент 1 = 0 н в начальном и в конечном состояниях, является аналогом конверснн прв Е0-переходе в ядре, см, !!.69. Точно гак же, как решение предыдущей задачн дублнровало решение 11.68, решенне данной задача дублнрует 11.69. Вероятность рассматрвваемого перехода (с учетом наличия двух К-электронов) описывается выражениями щ~(п~з-ил з) = — (Я вЂ” 1) й) ()о)з.
8 (1) 'ее = $ рщее(гн) тир»,ао(ги) ~ ги сравнвть с формуламн (5) и (2) из 11.69. В частности, используя явные выражения для в.ф. Ч'~ю волородоподобного мезоатома, находим для мюонного перехода 2т-ь)з значение !',1е — — 2ю/(3' Е~гп~), н так как пРи этом Аз 2 о= =32 т /4, то согласно (1) получаем и 2з' (г 1)з г2 !хз з и (2з — ь!з) = ы тз з а. е.ж2,21~ — ) 1О с 11.72. Существует 4 (с учетом спина 8) независимых одно- частичных состояний с главным квантовым числом и = 2: одно 2з-состояние и три 2р-состояния (с 1, = О н ~1). Для электронной конфигурации 2зз имеем, очевидно, й = О, ! '= +1, $ = О; прн этом в.ф.
такого терна '8ь имеет вид !Зз' фзз(г!) фзз(гз) Хаб ' (!) где ф, (г) = Ч/Ез/8и (! — 2г/2) е хмз — в. ф. 2з-состояния водородоподобного атома, а 2~„~! — антнсимметрнчная спиновая в.ф., отвечающая значению 5 = О (и силу принципа Паули состояния с 5 = 1 для конфигурации 2зз не существует). Для конфигурации 2з 2Р имеем Л = 1, 7 = — 1 и возможны как синглетные, 5 = О, так н триплетные, Я = 1, состояния. Координатные части волновых функций таких тернов ' 'Р- имеют вид 1 згзззр = (фы (г1) фзр (гт) ~ фзр (г1) фгз (гз)), (2) ч/2 где фар(г) = )/2з/32и (аг) е х'д — в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
