Galitskii-1 (1185111), страница 7
Текст из файла (страница 7)
/, оператора Р соотношением и! = сэр (1/ь). Дапес: е) Т= ехр(иг(1-1)/2); 6) Т, = ехр(/оя 'р); е) Мшсхр(гд '1пс.(кр+рз)/(2)). Этн соотношения следуют нз !.7, см. также 1.57. 1.51. Квадратные матрицы А и А' одного ранга связаны унитшзным преобразованием А' = ОАО+. Покаэатгч что шнуры и детерминанты этих матриц одинаковы. Решение. Из условий 0+0 = 1 н А = 0 АУ' слеаует брХ'=бр(ОХО ) =бр(АУ О) =брХ. Анавогично ее! Х = ос! (ОАУ+) = ее! (АУ+О) = ее! А. 27 0 4, Предсгпобления олеротороб и балнобых !Рункций 1.52.
доказать соотношение дс! )(ехр А(! = схр (Бр А ), где А — зрмитоаа матрица. Решение. Унитарным преобразованием эрмитова матрица может быть приведена к диагональному виду. В новом представлении, в котором (ехрА)„= (ехрА„) б„„, приведенное в условии соотношение очевидно, в в сияу инварнвнтиости юпурв н детерминанта мвтрицм относительно унитарных преобразований оно справедливо и в произвольном предсгавхении. 1.53. Чем примечателен детерминант унитарной матрицы? Найти его для матрицы вида 0 = ехр(зР), где Р— зрмитоеа матрица.
Показать, что преобразованием вида О' = сО унитарную матрицу можно сделать унимодуллриой, т. е. такой, что де! 0' = 1. Реигелие. С одной стороны, бег (00") = бег! = !. В то же время бег (00') = бе! 0 цегО' и бег О' = бег 17' = (бег О) . Таким образом, !бег О~ = 1, т. е. Ае! О = екр (зо), где ив вещественное число (этот жс результат слслует нз свойства с. з. и,, см. 1.50). Если ввести матрицу О' = ехр ( зо/зУ) О, где лг — ее ранг, то дпя нее бег 0' = !. Для оператора О = ехр (1Р), согласно 1.52, имеем соотношение бе!0 = схр(збрР). 1.54. Сколько имеется независимых квадратных матриц ранга !У, которые являются: о) зрмитовыми; б) унитарными? !заково число унимодулярных унитарнык матриц ранга Ф? Решение.
Всего имеется Дг' независимых матриц ранге Дг. Очевидно, столько жс имеется независимых эрмитовых ивтрнш Число независимых унитарных матриц также рвано Дг', твк квк межиу ними и эрмитавыми матрицами имеется соответствие; 0 = ехр (тР) (см. 1.50). Чтобм унитарная матрица бмпа унимолулярной, необходимо, чтобы БРР = 0 (ам.
1д53), так что число незавиаимык унимолулярных матриц, как и число зрмнтовмх матриц Р = Π— лг ' бр Р -! с рваным нулю спелом равно дгт — 1. 1.55. Показать, что при унитарнык преобразованиях операторов А' = ОАО+, алге- браические соотношения между операторами вида Р(Х) ш О+Есд +Е зХХь+". =0 г,з сохраняют свой вид, т. е.
Р(А() = О. Ршиеяив. Р и ОРО+ = О(се+ Х' с,л, + Х с,зХ,Х„+ .. ~0 =,+~ с,ОХ.О'+2'с,зОХ.Х,О'+...мб. (1) учитывая, что ОтО = 1, произвальнмй член суммы в вырзжсини (1) можно записать в виде „„ОХА,...Х„О =с„,,ОХО ОХО ...ОХО = „„А,'Х,'.. Х„', так что (1) принимает внд се+~ с,А, +~ с,зд,'Аз+... =Р(А,') = О, и что по форме совпадает а исходным соотношением и доказывает его инваривитность прн унитарном преабрюавании операторов. 28 Глава 1. Операторы В ндантобой шехонине 1.М.
Найти закон преобразования операторов В и р при унитщэных преобразова- ниях, осуществляемых операторами: о) отршкения 21 6) сдвига Т,; В) изменения масштаба М„Операторы 1, Т, и эш, введены в 1.1. Решение. Операторы В' = 0хт/+ н р = Г/р2/ имеют виш 8) 8' = В+ а, р = р; е) -,'=ср, р =с-'р.
Приведенные соотношения наиболее просто получить, если воспользоваться коорлинат- ным предсшвлением. Так, для У/ = Т, имеем У/ Т,' = Т „(см, 1.1) и В Ф(х) = Г/ху/ Ф(х) =ТхТ Ф(х) =Т(хе(х-а)) = (х+в)Ф(х) = (8+а)Ф(х). Отсюда х' = В+ а. Лаяее - В- В , В р Ф(х) = 2/ ( -1Л вЂ” / Г/~Ф(х) = -тугТ,— Т Ф(х) = -гДТ вЂ” Ф(х — а) = — Гд — Ф(х), В*/ 'Вх ' 'Вх Вх так что р = р, Аналогично выводятся остазьные соотношения, 1.$7.
Совокупность операторое Р(а), зависящих от непрерывного вещественного параметра а, обладает свойствами Г/(0) ш( н (/(аэ) =(/(аэ)(/(аз), если аз =аэ+аэ. Показать, что (/ имеет вид О(а) = ехр (1ал /, где Р (так называемый инфини- тезимальный оператор) определяет вид (/(Ва) при бесконечно малом ба согласно формуле 0(ба) ш 1+зР ба. В качестве иллюстрации рассмотреть связь операторов Т, и М, (см.
1.1) с операторами соответствующих бесконечно малых преобразований. Решение. В соотношении 0(а,+ат) = 0(ат)Г/(аэ) положим а, = а и аз = Во б. Учнтыеаа, что 0(аа) = ! + ЫаР, каналии ВУ/ = 7/(а а аа) — 27(а) = 1РГ/(а) Ва. Отсюда, с учетои условия О(0) = 1, следует 1/(а) = ехр(таР) (то обстоятельство, что в данной задаче не вознихеет осложнения прн решении дифференциального уравнения для операторов, связано с их коымутзтначостью). При бесконечно мелом сдвиге имеем Тшр(х) = Ф(х+ Юа) ш (1+ Ва(8/Вх)) Ф(х), так что тр = В/Вх н Т, = екр (а (В/Вх)) .
В случае оператора М, введем сначала с = е' и запишем М, и М(а). Зееисим<кть М(а) от а удояеетзоряст условиям рзссметришемоа шдачн. При этом Иа В'э м(иа)Ф(х) не г Ф(е х) ш (1+ — +да ° х — /1 Ф(х), 2 Вху' так что /Р = 1/2+ х(8/Вх) н М, = ехр 2-(1/2) эпс(х ° т(8/Вх) + э(8/Вх) х)) (сравнить полученные результаты с 1.7). ГлаВа 2 Одномерное движение Стационарное уравнение Шредингера йз,(г Йфл аа [- — — + У(х)~ фл(х) = Еф~(х) 2тп пхг (И.!) тр„"(х) = Я ехр(- — у.)Н Н (И.2) где и = т/й/(ты) и Н„(л) — иолиномы Эрмита; так, Но(л) = 1, Н~(л) = 2л, Нз(л) = йлг — 2 и т.д. Приведем также для осциллятора матричные элементы координаты (и+ 1) хп, вы — хи+к е — т((' 2 и, (И,З) остальнме равны нулю; матричные элементы оператора импульса связаны с ними соотношением р„ь = !иныивхвь, причем юеь = хи лля и = Л ю 1.
В области Е > штп а(»со) спектр является непрерывным, Значения энергии Е > шаха(хоо) (дпя которых в классической механике возможно ннфинитное двмжение в обоих направлениях: как при х - -со, так и х - +со) являются двукратно вырожденными. При этом в качестве независимых решений у Ш. (И.1) обычно рассматриваются такие, которые связаны с физической зааачей об отражении частиц потенциалом и однозначно определяются видом асимцтотики в.ф. При '! Мм используем такую нумсрепню уровней л.
с. д„и а. ф. Ч, при кетовой основному сот»виню отвечвст знвчсние и = О. Прн этом и аовпвлвет с числом нулей с.сь в (в), ис считал нулей при и всо (или нв непрониивеммк поюнпнмьнык юенквк). Анепотичный смысл имеет рвлнвльнсс «влитом» число и, аостоаинй л.с. чзстииы е петпрвеьноы ппюниизле. с соответствующими граничными условиями (ограниченность волновой функции, обращение се в нуль на непроницаемых потенциальных стенках и др.) определяет энергетический спектр частицы в потенции~с У(х) и волновые функции стационарных состояний.
Спектр Е„в области энергий шее(х) < Е„< ьг(»со) (в ктугорой, согласно классической механике, частица может совершать только фин итное движенме) является дмскретным '1. Эти уровни Е„являются невырожденными, а соответствующие собственные функции тр„(х) — квааратично интегрируемыми (т.е. они описывают локализованные состояния частицы в согласии с финитным характером движения в классической теории). Для линейного осциллятора У(х) = йхз/2, ю = т/й/ты решение уравнения Шредингера дает спектр Е„= йю(и + 1/2) и с.ф. Глава 2. Одномерное дВижение х жоо; так, в случае частиц, падающих на силовой центр слева'> ем,з + Д(Е) — з,з З(Е)е)з)з, х - +со, ;()-( ) = За) ) |з-з|г )). * )з), з|з) м ° циенты прохожасния Р(е) = (йэ/й)))е!т и отрюксния е(е) = )А(1 частиц.
эти коэффициенты обладают следующими свойствами: Р(Е) + К(Е) = 1; Рь(Е) = В (Е); Р(Е)- ! при Е- оо; (И.5) Р(Е) - О при Е щах(Г(~ос). (П.4) Второс иэ них, Рч(Е) = Р (Е), выражает независимость коэффициента прохожасния при эааанной энергии Е от направления падения частиц, слева нли справа, на силовой центр; о последнем из свойств см. задачи 2.37 и 2.3"7.
Своеобразными свойствами' > обладает энергетический спектр частицы в пространственно периодическом потенциале; некоторые иэ них рассмотрены э задачам из $4. 9 1. Стационарные состояния дискретного спектра Решение. !) Уровни энергии и нормивованныс на единияу с ф. гамильтопиана частицы имеют вна а||гз(п-|- !)з /2 э(п+!)х Е„=, ф„(х) = )(-з!и —, 0 <х <а, Ч. а пс и =. 0,1,... (й и 0 прн х < 0 и х > а). Искоммс средние в и-м состоянии: — Взх|(н + 1)з а| р=о, 2) нормируя приведенную в условии задачи в.
ф„что хает А = э/30)аз, найдем согласно (!.4) коэффициенты С„в разложении ее по с.ф. ф„: а ЛО Г )г(н+1)х /240 1+(-1)' С, = 7/ — 3! х(х — а) э|л дх = —— ()' з/ а ьз (г| + 1)' з в )Физьчзскь в|аякзтзмья сьтузчия олкснзззтгя ьальозычх азкзгзин из гзкнз с.фс см з связи с этим ззлзчь 6 7, 6.8.
) Укажем гзхзх нз сзазаавззиз энзмзшчзскаю спек|из н звоаств с. ф гзмюьючизнз лвн движении ь мзгякгнои поле (см. 73) 2. аз. Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стацнонарнык состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (т.е. в потенциале ГГ(х) = О прн О < х < а н (Г(х) = со при х < О н х > а).
Определить в таких состояниях средние значения и флук-уацни координаты и импульса частицы. В состоянии, опись)заемом волновой функцией )й = Ах(х — а) (при О < х < а), найти распределение вероятностей различных значений энергии частицы и ее среднее значение. О 1. Стационарные состояния дискретноло спектра 31 Они определяют вероятность махали>ения чвстнпы в п-м квантовом состоянии и, соответственно, вероятность значения Е„энергии: ш(Е„) = (С,)г; в частности, ш(Ее) ш 0,999.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
