Galitskii-1 (1185111), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В интеграле (4) при этом сугпастванна область переменных *' ш х. положив Г(яг) ш Г(х) и вычислив получающийся ннтепжл по х', нвхолим Д, -Л /(Г(*)1'йх. (6) 2(ля более полного анализа (4) удобно прсабрюооать зго выражение, жжпояьтовзвшись формулой )П.З. Возникаюшсе соотношение воспроизводит формулу (4) из задачи 2.19, к которой мы отаыласм читателе. 2,22, Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шредингера, показать, что энергетические уровни дискретного спектра в произвольном потшоциале (Г(х) С О (гу(х) 0 при х - фоо) удовлетворяют условию оо )8„(с -,[~П(х)йх~'.
го Решение. Рассмотрим Фо(х) — в.ф. основного саатояния с Ео с О, ((Е„( ц Щ). Эта функция не имеет нулей при конечных х и Фо(х) > О (этому условию можно удоаостворнть соатвотствуюшнм выбором фазового множителя). Функпия Фо(х) удовлетворяет интегральному уравнению — уравнению (4) эаазчи 2.20. Возьмем в этом уравнении х = хо, гае хо— точка максимума Фо(х): Фо(хо) = — 1 е иь "К~(1Г(х')(Фо(х ) йх'. й При этом условие согвааованности вмрюксний (2) и (3) Лпг ГГ к = —, 0 /(х')Г'(х) ехр( — к(х — х'0 ихйт' й',0 определяет спектр.
Отсюда в предельных случаях следует: а) Прн Л 0 также н к О; можно заменить экспоненту з (4) езиннцей н получить дяя единственного уровня д.с. (Л > 0) 82. Уробление Шредингера б импульсном лредсглиблеиии 43 1< —, 1(ГГ( )(а. ,л' у Отсюда и следует Лтггт пъ Г Г (Е,( < (Ее) = — < — ~ / ГГ(з) Иэ] 2 2дт (/ (2) Приближенно равенство (2) имеет место лля «мелкихг потенциальных ям, в связи с данной задачей см. твхже 2,23. 2.23. В сменкой» одномерной потенциальной яме ГГ(х), для ноторой ГГе ц.
Л~/глот (Цг и о — характерное значение потенциала и его радиус), имеется только одно т связанное состояние, энергия которого приближенно равна Ее ю -жт (,) ГГ(х) г(х] . Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шредингера, найти поправку порядка пзатгуегй к этому выражению. Решение. Воспользуемся интегракьной формой у. Ш. — уравнением (4) залечи 2.20.
Умножил обе части уравнения иа Гг(з) н проинтегрируем в бесконечных пределах. В получающихся интегралах существенную роль играют э н э' а, и так как кэ « 1, то можно разложить экспоненту, ограничиваясь первымн двумя членамн. Таким сбрвюм получаем ГГ(х)Ф(э) из ю — — г г (1 — к(э — э~)гг(э)ГГ(э)Ф(э) де да'. пт ГГ Отсхюа, с рассматриваемой точностью, - 2 1и И )'1 (-Г"') И!*-*( (*) (.) (*') * ' ) ГГ(з)Ф(э) Иэ В попрввочиом члене (второе слагземое в скобках) можно пренебречь изменением в.ф. в области интегрнроюггия, заменив ее на Ф(О), н получить уточненное значение х (а тем самым н энергии Ее = -Л'кг/2гя): ге Г Гю~' ГГ к = — — ~ ГГ(э) йэ- ~ — ) ц (э — э'(щэ)ГГ(э') Иэкх' Л Ь,) .Ц (поправка всегда отрицательна в согласии с предыдущей заавчей). 2.24. Найти функцию Грина свободной частицы, движение которой, однако, ограничено непроницаемой стенкой (т.е, ГГ = 0 при х > 0 и ГГ = со прн х < О, рнс.б.
а) для Е < О. Функция Грина удовлетворя- гг< 1 ет граничному условию Сл(х = О, х') О(х) =0 н убывает при (х — х'( оо. 11= н 12= н С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для связанных состояний частицы (Е„< О х О х 0) в потенциале вида, приведенного О(х) на рис. 8, б (т. е. (Г = (Г(х) прн х > 0 и ГГ = оо при х < 0) в интегральной б форме.
Рис. В Замечаем, что пояынтегральнвя функция здесь — неотрицательная н замена ехр (-ке(х,-*'() х Фе(*') на Фе(*с) может только увеличить правую часть. После сокращения нв Фе(*е) получаем Глава 2. Одномерное дбимение Решение. Функпию Грина можно получить из решения угмвнеиня как в 2.20. Однако, имея в виду гмзультат этой задачи, на основании соображений, анавогичных используемым при решении электростатических захач иетшЬм изобяежчиий, ответ можно написать сразу: Ся(х, х) = — [ехр (-х(а — хЦ вЂ” ехр(-к(о+ хЦ). (1) хат У.Ш. в интегральная форне, автоматически учитывающее граничные условие Ф(0) = Ф(оо) = О, записывается в виде (сравнить с 2.20) Ф(х) = — ~ Ся(х, х')Ц(х')Ж(х') ао'.
е (2) 2.2$, Используя интегральную бгорму уравнения Шредингера, показать, что условие йт х((/(х)[бх >— 2пт в 2,26. Найти функцию Грина Ся(х, х') частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а. Обсудить аналитические свойства Ся как функции переменной Е. Показать, в частности, что оиа имеет полюсы, и установить связь положений этих полюсов в плоскости комплексной переменной Е со значениями энергетических уровней Е„частицы.
Решение. Уравнение дхя Сг(х, х') н его решение имеют еид Л т,тт — — — Со(х, х') -Вбя(х, х') = б(х-х'), 2т азт А(о') пп кх, О < а < х', В(х') ппх(х — а), х' < х < а. Здесь учтены граничные условия: Св = 0 при х = О и х = а Условия сшивания Св(х, х') в точке ь = х', совершенно аналогичные отмеченным в шдаче 2.Ю, позволяют найти А, В и окончательное выршкеннс дхв функции Гунна: Сг(х, х) =- т пп~ (а+х — (х хЦ)т1п] — (х+х + (х х( 2о)/. «а'нлка (2 ) (2 является необходимым условием существования связанных состояний в потенциале (/(х) вида, приведенного иа рнш 8, б: (/ = со при х < О, (Г = (/(х) (при этом Г/ < О и С(х) 0 для х т оо) при х > О. Применить полученный результат к шзтенциалам: о) (/ = -(/е для х < а, Г/ = О при х > а; б) (/ = -об(х — а), см.
рис.б, о, б. и сравнить с точным условием существования связанных состояний. Решение. Идея доказательства точно такая же, как н в 2. 22. Укзже м опенку экс пои енциельных слашсмых в у. Ш. (см. прсвыдушую задачу), входящих в функпию Грина. Так квк )х+*'(— (х-хй < 2х' (напомним, что х, х' > 0), то Орехе( — х(х — х Ц вЂ” схр(-к(х+х Ц=ехр( — «(х — х Ц[1-схр(-х(х+х(+х(х — хЦ] < < ехр(-х(х-а Ц [1 — ехр(-2кт)] < 2х*. Теперь утвсрхшснис ишачн представляется очевивным. для прямоугсльнол патенпиальной ямы необходимое условие сушестымаиие состояний д.
с. принимает вид 1/тпшт/Лт > 1, ь тгмнсе условие: решат/Л~ > хт/8 ш 1,24. Для б-ямы необходимое условие 2тоа/Л' > 1 совпэдаст с точным. О 3. Состоянья нелрерыбного спектра Отаюдв видно, что бв является аналитической функцнсп е (к = )/2ще/а' ), имеюще» слелуюшис особью точки: а) точка Е = са — существенно асабвя точка; б) точки Е„= Лткт/2щ, глс к,а = (и + !)Я, и = О, г,..., ЯвЯЯющиесЯ полюсамн Сх,' при зтом положения полюсов совпадают с уровнями частицы в яме (точкв Е = 0 является устрвннмоа асабоа точкой).
2.27, Рассмотреть потенциальные ямы различного вида (/(х), удовлетворяющие условиям: (/(х) < 0; (/(х)- О при х - хсо; ~(/(х)Ах =а =сопя. Какой конкретный вид имеет потенциальная яма, в которой: а) энергия связи основного уровня ]Еа] принимает максимальное значение; б) содержится наибольшее число состояний дискретного спектрами Решение. а) Ответом нв вапраа яввясгсн результат звдвчн 2.22: самый глубокий уровснь— в б-яме г/ = -о б(х — хв). б) Максимальное число уровней д.
с. в условняк эваачи равно бескоисчностн зв счет ил возможного сгущения прн Е О, которое имеет место для потенциалов, убывающих при х Хоо, квк гГ ш -о]х! " с о > 0 н 0 < е < 2 (см. (!], й гт). При ! < г < 2 такие потсншщлм удовлспюряют условиям звлвчн. ф 3. Состояния непрерывного спектра.
Прохождение через потенцнадьные барьеры 2,до. Для свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой стенкой (т. е. !/ = 0 нрн * > О и т/ = оо при х < О, рнс. 8, и), найти волновые функции стационарнык состояний. Нормировать ик на 6-функцию по энергии. Убедиться в полноте полученной системы функций (на интервале 0 < х < оо).
рншевне. Фл(х) = А(В) пп Ц2щЕ/аг х) (у пена, что Фв(0) = 0). Для нормировки атил функций нв б(Е-Ь') следует выбрать А(Е) = (2т/зтвгЕ) . Условие политы этой системы функннп Фв(х) Фв(х ) ОЕ = б(х — х ) а легко установить, если воспользоваться соотношением /(!.!. 2.29. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки, изображенной на рис. 9. Рассмотреть предельные случаи Е - (/в н Е оо.
ршиеиие. Решение у. Ш,, описывающее отражение н прохождение частиц с Е > В„пвлвюшик нв стенку слева, имеет вид е'ь*+ А(д)е 'г*, х < 0 (Ь = )/2щЕ/ат > 0), Фь(х) = ьь". * (О = ф:х-'чГг" м). Из непрерывности Ф,+ и Ф,+ в точке х = 0 слелуст ь — а' 28 !+А =В, Д(! — А) =Ь'В; А(Ь) = —, В(Ь) = —. а+а" а+В Глава 2. Одномерное дВижение Таким абрахом (В = (А(', 0 = Л'(В('/В) ) 1 / т/Е- т/Š— 5з ) ст/Е(Е 1/э) о=г/' и" )з ~) Квк и следует, М(Е) е В(Е) = 1, прн этом а) В(Е) ш Г/р)/16Е) О при Е со; ) )и Л*- ))ч е-к- 2.30. Определить коэффициенты отражения н прохождения частиц в случае д-потенциала Г/ = об(х). Обсудить аналитические свойства амплитуд отраженной А(Е) н прошедшей В(Е) волн как функций комплексной переменной Е. Убедиться, что точки Е = О и Е = со являются тачками ветвления этих функций.
Проведя в плоскости комплексной переменной Е разрез от точки Е = О вдоль вещественной полуоси Е > О, найти особенности функций А(Е) и В(Е) иа первом, так называемом физическом, н других листах нх рнмановой поверкностн (физический лист фиксируется условием, что фаза точек Е на вещественной полуоси Е > О сверху равна нулю). Показать, что такими особенностями являются полюсы, и установить связь между положениями полюсов н уровнями энергии дискретном спектра частицы. Решение.
1) В.ф. имеет вид Ф, = епь+ А(Л)е '* прн в < О и Ф, = В(В)е™ прн з > О (здесь Л = )/2тЕ/Л' > О, пвдвюшне частицы движутся слева направо). Сшнввнне Ф+ н (Ф,+) в точке в = О (см. соотношения (2) из 2.6) дает 2тоВ то ° Лвт 1+А =В, тв( — !+А) = —; А(Л) =, з, В(Л) = т . (1) Л 1ЛЛз — то ' тЛЛт — гно Коэффнпиенты атршкенив В(Е) = (А!) и прохыкаення В(Е) = (В(' удовлетворяют, квк н следует, соотношению Н+ В = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
