Galitskii-1 (1185111), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сшиввнне этого решения с (1) дтт Ст м 0 и С, и В м 1+ А. Отсюда слелует, что выражения (1), дающие Фь и соим при ф < а, приближенна справедливы при воск значениях *. Учитывая зто обстотельство, проинтеьрируем у. Ш, по а в преаелах ст -Ь до Ь, где Ь » а. Так как лри этом Фь( )б 1/В ьь Ь иь Ьб юь -ь ь ь /1/(в)Ф(е) бе и В/ У/(а) бе и В ( У/(е) бз, -ь -ь -и ь ь ь 1 Ф (з) бз и В / с ь* бе + / (е ь* + Ас 'ь') Иа = ь — (А +  — 1 — (А + В) е ьь + с Я~ ), Ь -ь ь -ь то такое интегрирование приводит к соотношению 2пьаВ гй(А+ — 1) = —, а= / С(е) бз.
Лт Отсюда, с учетом усвоена 1 + А = В, слсауст 1 ь 1 Ам-ьта ь,, В мй Ь Льа+ ьта' йта -1-ипа Полученный результат весьма нагляден, так как он означает, что в условиях задачи от- рмкение часпш пронсхолит так же, как и в случае б-потенциала С = а б(х) с а = /' С(е) бе (см. 2.30). 2.39. Показать, чта коэффициент прохождения в произвольном потенциале, удовлетворяющем условию (/(х) = 0 для )х) > а, при Е 0 обращаетсл в нуль: /2(Е) ог Е. В каких исключительнык случаях нарушается эта зависимастьу Выразить коэффициент с в зависимости Ю = сЕ через параметры, характеризующие асимптотику решения уравнения Шредингера с Е = О. Применить полученный результат к прямоугольному барьеру (яме) н сравнить с результатам точнога решения, см.
2.31. Решение. В выражениях длл асимптотик в.фг Фь и еи* + А(Ь)с '" (при * < О, )з) » а), Ф+ =В(Ь)с'ь* (при *ага), перейдем к пределу Ь 0: ) !+А(Ь)+ьае(1 — А(Ь)), х <О, ! (2ьа, ( В(Ь)(1 + ьая), е » а. Рассмотрим теперь решение у. Ш. лля Е = О, удовлетворяющее цмннчному условию Фя ь(+со) = 1. При е -ь -со зто решение имеет вид Фа е = Ь*+ И, где постоянные Ь н б определяются конкретным видом потенциала. Сраанивав (1) с приведенными вмражениями лля Фв„с, находим ьй(1- А) и ЬВ, 1+ А и АВ.
Отсюда А и -1, В и 216/Ь, так что'ь! п иЕ-ьО йтЕ Ю(Е) = )В)ь м — 1- ос Е. Ь'й (2) Полученный результат теряет силу при Ь = О. В этом исключительном случае у. Ш. длв Е = 0 имеет решенно, которос не зарастает как при е +оо, так и при * -ос. Такая '!!Формула (2), кьк и асинатстикн Щ в.Ф., сирьтслвхьа в случае лсмннналсв, убывающих лрн в Яаь быстрее, чем а 1/1е1~, Глава 2. Одномерное ддилгиние ситуация может иметь место только атом случае, котла при мю«сйшсм углублении потенцнааз в нем возникасг новос по счету состояние дискретного спектра (см. 2.13). лла потенциала из задачи 2.31 имеем: Фь„о -- 1 пРи е > а; Фв о — — сп(В(е — а)) при 0 < э < а (зассь б = «/2ша«У/о/й«), Фаш м сх(а — (/ахба)е при е < О, так что Ь = -(зх(а и 2З(Е) м (4Е/!/о) оа з(а при Е О, что совпаааст с результатом точного решения (лля перехода к потенциальной яме следует под Г/о > 0 понимать сс глубину и заменить зп(а на ап(а).
2Ама. Найти коэффициент прохождения для медленных частиц в потенциале (/ ш -(/оа"/(а'+ а') . Решение. С помошью замены переменной з = агсщ*/а и перехода к новой функции ш = (я'+ а') Ф(и) у. Ш. для Е = О принимает вид 2 «Со и/'(з)+б'ш(з) = О, где (= 1+ —, Теперь ис представляет трупа найти в.ф. Фя о(и), удовлетворяющую граничному условию Фэш(асс) = 1: ,/ит+а! / /я э~~ Фи-о = пп ~б ~ — — ьгс!В -/1/1. (!) ба 'х 'х2 аг'/ Тзк квк Фь о м -из!и (яб)/ба при * — со. то согласно прсдылушсй задаче наход»м лля мсалсниых частиц 21(Е) м Вш(ба)«/й«мп «об Е.
Это вырюксиис неприменимо при яб = од« (дг — целое), или 2ша«Со « — у — = Лг — 1. й (2) Условно (2) опрсасляет значения параметров потенциальной ямы, соствстствуюших пояаос- нию новою, Л/-«о по счету уровня д.с., при сс углублении, Отметим, что два перехода от ямы к барьеру в полученном вырюкс пни дхя 21(е) следует под -г/о понимать сто высоту н «вменить («зш «яб ив )((~ох ~я(б! в случае б~ < О, 2.41. Исходя иэ решения уравнения Шредингера в импульсном представлении, найти волновые функции стационарных состояний час"гицы в однородном поле (/ = Гек. Нормировать их на б-функцию по энергии и убедигьсн в полноте полученной системы функций. Еоспользошпься полученными результатами для определения энергетического спектра в потенциале, рассмотренном в задаче 2.8. Решение.
1) У. Ш. в импульсном представлении и его решенно, нормированное иа б-функцию от зиерми, имеют вид Р— Фв(Р) + гдР~Ф,'(Р) = ЕФ,(Р), з Фв(р) = (2яйро) схр г — — « -«!« 'Р «ЕР ( бшлро Лро ) 2) Значения Е, дяя которых соотвегствуюшан в.ф. в координатном прсдстааяснии уловлстворяст условию Фл(* = 0) = О, или Фл(в=О)= — / Фэ(р)бршС /«соз з( — — — ) бршО, Г /Ер р« /2 йу йро бизйро о определяют энергетический спектр аля потенциала из «апачи 2д (совпваснис результатов при этом глсаует из интсграяьного представления для функции Эйри; отметим, что доя таких связанных состояниЯ Фь(Р) ужо не является в.ф. в импульсном представлении, сравнить с 4Л5). О 3.
Состояния нвпрерыдноао сиеятро 03 2А2. Найти функции Грина Сд (х, х') свободной частицы при Е > 0; индексы (ш) указывают на характер асимлтатики: Сл сгехр Ну — (х-х) при )х-х) ао. (,! ( /2тЕ г ')/ Лг Записать уравнение Шредингера в аиде интегрального уравнения, решения которого онисыввют процесс отражения и прохождения частиц с импульсом р (-оо < р < +со) в потенциале (/(х), абращакицемся в нуль при х -г жао. На основе полученного уравнения рассмотреть случай б-натенциала. Региение. !) Имея в внэу результат задачи 2.20, в котороЯ бмла найдена функция Грина Си(е, *') ари Е < О, замечаем что искомые функции Сь нри Е > 0 мо|уг быть получены непосредственно из выражслия (!) указанной зшшчи, асей в нем наложить / 2тЕ /2тЕ х= (/ — =Фг», Л= (( — >О, =Ч » = =Ч Л т.е Сз(а, в ) = ж — ехр (жг»)е — х )). »г» (П Отметим, что функции Грина Сл нри Е > 0 н Ся при Е < 0 можно рассматривать клк различные граничные значения единой аналитическая фгшкции комплексно» персмсннол Е: Сл = !)( — ехр (г/ — )*- л ( Г(2»гЕ '( 'Г/ »г Точка Е = 0 шы нее яыпстся тсчкоЯ ветвления.
Проведя разрез вдоль вещественно» полуоси пэоскости Е от Е = 0 направо, как иа рис. гО,О, замечаем, что на верхнем берту разреза на Физическом листе (см. по этому задачу 2.30) функция Сл совнааыт с Сл, на нижнем берегу разреза — с Сл, а на полуоси вещественных отрицательных значений — с Сл из задачи 2.20, Отметим также, что на физическом листе )Сл( -г 0 нри )Е! оо вдоль любого нанрншения. Функции Грина Сх(р, р') в имнульаном представлении имеют вид С б(р-р') рз/2т — Е ж м (2) (сравнить с 2.20), месь е > 0 — бесконечна малая величина 2) Дифференциальное у.
Ш, с граничными условиямн вила (П.4), соотвсгствуюшими процессу прохохшеиия и атрюкения частиц с импульсом р через потенциал, эквивалентно интеграяьнаму уравнению Фг (е) = е'гю — / Сл~(е, а')У(к')Ф+(е') дз' (3) (сравнить со случаем соснжнил д.с., рассмотренным в 2.20). Первое слагаемое в правая части (3) описывает лэдаюшие частицы, а интеграхьныи член иа балыиих расстояниях * -г Шоо алисы выт как атрюкенные гастицы, так и изменение в.ф. прошедших частиц пол деясгвием потенциала (чтобы убедигьсл в этом, следует рассмотреть асимнгагику второго слагаемого при и *аа и учесть, что» = )р)/Л).
Для потенциала 2Г = а б(я) уравнение (3) принимает вид Ф (я) = с'"'à — — е' !*!Ф+(0). (4) Отсюла находим Ф;(0) (а тем сэммм и Ф'(е)): Лг» Ф'(О) = (5) Р »г»,. »ы слсдуюшие из (4), (5) значения 2з и В совпадают, естественно, с полученными ранее в задаче 2.20. Глава 2. Одномерное дбнжение 2.43. В случае б-барьера, Е = об(э) с а > О, доказать непосредственным вычислением полноту системы функций Фв (н), описывающих процесс отражения и прохождения частиц с импульсом р (-сю < р < +ос). (2) -асхр(-а()Щ+)я)Ц = -Фе(*')Фе(з).
Такии образом приходим к соотношению Фз(к ) Фе(с) + ~ Ф, (н )Ф, (з) бр = б(е — *) -Ю вырюкаюшсм насесту систсмм с.ф. гамильтониана в случае б-ямы. 2.4$, Найти функции Грина: ьгд(х, х') при Е < О и ьгл (э, н') при Е > О для частицы в б-потенциале отталкивания Е = а б(н), а > О. Обсудить их аналитические свойства как функций комплексной переменной Е. Сравнить со случаем свободной частицм, см. 2.42. 1 ииыгвза вьгчисляеня с пснонгью вычетов замыканием хонъззм ннгегрхроззнне е еерхнгою ясяуняосксегь.
Решелее. РассмотРим интегРал 7(щ з') = з Ф+'(з')Ф+(в) бР, считаЯ в.ф. Фг~(з) нормиро- заннмми на б(Р— р'). Они лишь множителем (2вл) 'г' отличаютса от в.ф. (4), найленных в предыдущей задаче. Учитывая зто, запишем интеграл в виде: 1 ) ( гР(з и ) ) га ) )1 ехР ( ° (Лн — 1йэ1)) ехр (т(де — )Ля )Ц + схр (-1(гйе'1 — (Ле(Ц скр (-1()Лн ) - )йя(Ц 1 2(1Л) — за) 2()Л) + за) (1) где а = ша/Лг, р = ЛЛ. Первый интеграл в (1) равен б(е — я'), во егором же проделаем свеДУюшие преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
