Galitskii-1 (1185111), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Найти нормированные соответствующим образом волновые функции Фг,гм, описывающие состояния частицы, находящейся иа расстоянии га от начала координат, имеющей момент ( и ега проекцию ги на ось х. Оебее. Искомые функции Фгн = С(гэ) 6(г-гг)И (Р, Р), при этом из усяовия нормировки (тз, Г, е')гэ, Л т) = б(г — гз) бг эмм слелуст значение С(гз) = г/гз. 3.7. Найти общие собственные функции операторов проекций на ось з импульса и момента импульса частицы.
Отбое. Ф,„(г) = (2яд) Пгс'и'д.(2я) 'г'е' '/(р), тле /(р) — произвольная функция переменной р (расстояние ат оси з) цилиндрической системы координат. 3.6. Показать, что средние значения векторов Ь, г, р в состоянии частицы с вол- новой функцией Ф = ехр(зраг/Л)Ф(г), где рэ — вещественный вектор, а уг(г)— вещественная функция, связаны классическим соотношением $, = [гр]. Решение.
Считая в.ф. нормированной на е)ихвку (при этом /Рт(г) ар = 1), находим: г = / гр~(г) ЛУ, Р = ра. Так как /ч = г,ыхге, то Ю, = г и / Р(г)(хьтьь Е хьрь)Р(г) ЛК (ь) Преобразовав второе слашсмое под интегралом к виду д г ° г р(г)хгргр(г) = — -Л вЂ” (Р хг) + -дбь,р, 2 дхг 2 (2) замзчаен, чта его вклад в Е, равен нулю: равенство нулю интеграла от первого слагаемого в (2) очевидна после преобразования его с использованием теоремы Острагралского — Гаусса, второе же авашсмос в (2) обращается в нуль после свертки бн с г,н. Таким образом, из (!) следует /ч = си,хгрн, ипи Е = (гр).
3.9. Найти собственные функции операторов 2( 2и Гг в импульсном представлении. Показать, что в состояниях с определенными значениями (, гн средний импульс часмцы р = О. Решение. В импульсном представлении Р = Р, а г = ЙЧг, прн этом Й= (ф) = -гд(рпг), что по форме совершенно аналогично внлу Т в г-представлении, отличаясь лишь заменой г з на р, и позволяет сразу указать виа с.ф.
Ф, (р) = И (Р,Р) операторов! и Л, звссь Р,Р— полярный и взимугвльный углы вектора Р в сФеРических коорлинатах (в р-, как н в г-представлении, опервтор момента лейстаусг лишь на угловыс псренснныс). Равенство нулю среднего значения (Ле)р(цт) слслуст, например, из соображений, связанных а определенной четкостью шаровых функций (сравнить с К!6).
3.10. Показать, что функции, получающиеся в результате действия операторов Те ш Гг *т(г иа собственные Функции Фм оператора (г, также являются собственными функциями т„отвечающими уже собственным значениям пь ж К Глава 3. Момент импульса Показать также, что в состоянии с волновой функцией Ф а] 1, =!р — -0; б) 11 =1рэ! 6] ТГр+ТрГ,юО. Решение. Из коммутационных соотношений для компонент момента слспует, что Т!в = !в (1, ж 1) . Применив зто операторное равенство к с. ф.
Ф„, получасы Г (Гв Ф ) = (ш д 1) х (1вФ„), т.е. функции 1вФе твкже являются с.ф. 1„отвечающими уже с. з., равным ш ф ! (в частных случаях, когда ш = жв, где 1 — момент частицы, одна из этих функций равна нулю тождественно). Из ортотонвльности с.ф. следует (т)Гв]гл)сг(т]шж !) =О, (т!!в(т) =О. (!) Птсюдв ), ж в)„= О, кви 1, = )„= О. Второе из соотношений (!) зквивавентно равенствам 1,' — в,э~э(ТГ еТрТв) = о, нэ которых слелует, в чвстнвжти: (2) усреднвя коммугвтор (Гм Тр] = 1Тв и используя (2), получаем ТвТр = -1,1, = внм/2.
Заметим, что установленные свойства срсаних значений связаны с тем обстоятельством, что состояния с определенным значением в,-проекции орбитального момента яавяюеся вксивльно симметричными и поэтому все направления в плоскости эу рввнопрввнм.
3.11. В состоянии Фг с определенными значениями момента 1 и его проекции ш на ось э найти средние значения 1вэ, 1„э, а также средние значения 1в и 1э проекции момента на ось э, составляющую угол а с осью х. Решение. твк квк 1э + !э ш ! э — 1э = ц1+ !) — глэ, то с учетом результата прсамаушей эздвчи 12 = 1,' = [Д1 + !) - э) )2. Далее, оператор проекции момента ив ось У имеет вид 1, = сова Т+ в]пасов)У.Т, + вюав]пвэ !м (!) гдв а,ВЗ вЂ” полярный и вэимугвльный углы направления оси у.
'рсредняя оператор (!) по состоянию Фв находим Тв = гл сова (согласно эвлвче 3.!0 ), = ]г = О). Отметин, что для спрввсвлнвости этого соотношения предположение об опрвделенном значении 1 не яввяется обязательным. Наконец, учитывая при усреднении оператора ~1» результат предыдущей эаавчи. находим !] = — (1(1+ П вЂ” Зш ) э|п оп гл . 2 3.12. Доказать соотношение: ])вм(6 вРН э (21+ !) Решение. Приведенное соотношение следует непосредственно из (1П.б), если в последнем положить р = д, р' = р; при этом сова = 1, Рг(!) = !. 3.13.
знавать енд волновой функции Фг д-в(п) состояния частицы с моментам 1 н его проекцией йв = 0 на ось У, направление которой в пространстве определяется единичным вектором пр. В рассматриваемом состоянии найти вероятности различных значений проекции момента на ось л. 9 !. Общие сбойстбо момента 69 Решение. 1) В.ф. состояния с моментом 1 и проскнисй 1, = О имеет вид Фьь ь(п) = ((И+ !Тяп)'гтрг(созе). Замечая, что созе = пй, где й — орт авель оси з, и имея в виду равноправность всех направлений в пространстве, получтм Ф, ь.т = ((И +!)/4к)'с!Р (вщ). 2) Значения козффиниентов в разложении этой в.ф. по шаровым функоиям 2! (в) непосредственно сасдувт из (1И.б) и вероятность значения 1, = т оказывается равной в(лг) = т (4я)(21+!))(Иг (аг)( (она зависит только от угле а межпу осами х и з).
3.14. Обозначим через вг(тли глт,а) вероятность значения псз проекции момента иа ось з, составляющей угол а с осью з, в состоянии частицы с определенными значениями момента! и его проекции т~ на ось з. Доказать равенство и!(т!', тлз, а) = тв!(тз! тп!, а). Решение. Согласно (1.43) имеет носта соотношение (при этом речь идет о И,- и Иг-представлениях): ел(тй тт,а) = т„,(т„а), где внч(тип) является вероятностью значения пРоекции т, на ось з в состопийи с определенным значением пРоекции тт на ось з. Эга вероятность зависит только от значения (а( и поэтому т,(то а) = в, (птзг тли а). Из приведенных лвух соотношений н следует утверждение задачи, см. также 3.20 дхя случая 1 = 1. 3.15.
Найти проекционные операторы ТЗС(М, проектирующие на состояния с заданным значением М проекции момента на ось х (искомые операторы действуют в пространстве векторов состояний, отвечающих определенному значению й момента). Решение, Вна проекционного оператора с а( )= и' '.(Х.-т), -с где штрих означает отсутствие сомножителя с т = М, следует из результата 1.35. 3.16.
Используя коммутационные соотношения для операторов компонент момента, найти Зр 1„где 1, — матрица з-й компоненты момента 1. Решение. Из соотношений 1,1ь -ТсХ = 1с,нго с учетом формулы Зр (АВ) = Зр (ВА), следует Зр 1, = О (сравнить с 1.5). 3.17. Найти испуры (следы) следующих матриц: а) Х„б) Х,Хь! В) Х,ХьХП г) й,йгХчй где й, — матрица т-й компоненты момента й. Решение. Матрицы Х, представляют векторный (точнес, пссвдовекториый) оператор, а их ~<роизведение й,йс ...
йь — тснэорный оператор. После вычисления шнура такой оператор становится обычным числовым тензорои, выражающимся лишь через унивсрсальныс тензоРы ба и с,и, так кзк никаких дРУгих вектоРов и тснзаров в УсловиЯх задачи нс сУществУет. Поэтому имеем: л) 5РТ,=О; б) Зр (Х,Тз) = Абь, значение А нахоаим, взяв свертку по индексам т н й: ЗА = 5р й' = й(й + 1) ЗРТ = й(й+ 1) (2й+ 1); е) ЗР (Х,ХьХ~) = Вг,н! лля определения В нмссм 2В = ЗР (Х,ХтХт) — 5Р (ХтХ,Хс) = 1ЗР (Тчт) = ' Зр 1,' — ' й(й ! 1)(йй ! О 3 3 (эассь использовано соотношение Х,Хт — ХтТ, ш тХт); 70 Глава 3. Момент импульса г) 5р(Е,БзйзЕ„) =Сз бз бз +Сзб,збз +С| б, бн.
Для опрспслснил С, выполним сначаэв свертки по з н а, в таске по ! 9С, + ЗСз + ЗС> — — 5Р (Е Вз) = (25 + 1)й~(й + 1)з. Затем возьмсч свертки по з и т, а также по 1 и й: ЗС,+ЗС,+9С,=5р(ХзЕз) =(г!+ 1)йз(ба!)'. Наконец, свернем'| по инлексам з н 1, а также по а и т: ЗСз+ 9Сз + ЗСз = (2Ь+!)Ю (Б + 1) Щ+ 1) (2Б + 1). Иэ (2), (3), (4) глсдустз| 2йз(Ь + !)з(2Б+ 1) + ЦЬ+ 1) (25 + 1) С,мс = ЗО ьз(5+ 1)г(25+ 1) 25(5+ 8 (Зг + 1) С|в !5 (Н и т, и получим (2) (3) (4) (5) (6) 8 2.
Момент Х = ! 3.18. 8 случае момента частицы ! = 1 найти волновую функцию Фд е(В,Зз) со- стояния с определенном проекцией момента т = О на ось э, направление которой в пространстве определяется полярным а и азимутальным (3 углами. Решение. В.ф. состояния с 1 = 1 и 1, = О есть 1'зр(в) сс соз В м пй, где й — орт ызодь оси х. Ввиду равноправности всех направлений в пространстве дпя перехода к случаю 1з = О слслует просто заменить й нз пс — орт аваль ссн у, так чтп (срввнить с 3.13) ГЗХГ|,ГЗХД Фзш аэ = ! ~ — ) (пэв) = з ( — ~ (созВсто+йпбз!пасзм(р — (3)).
!3 ук!з, 13 Фз з,з, гн З!)/ Ф)( (з|п В з!п р ж ! соз В). )(йзг ° Ч ззг Аиаэогнчно уствнавливвется вид и других в. ф. (см. также 3.15). 3.20. Частица находится в состоянии с моментом ! = ! и его проекцией зп (тп = О, ж() на ось з. Найти вероятности м(пз', тл) различных значений проекции момента тл' на ось э', составляющую угол а с осью э. Задачу предлагается решить одним из следующих способов: а) используя результат задачи 3.11; б) путем нахождения коэффициентов разложения с(т', т) заданной волновой функции е ряд по собственным функциям оператора !з . з| Ррп эзчн э (|! Удсень пидсмвкть Бзьз = фаз + згы,бн и зеспедьзиээтых сььтнешснкэн т) и пэвспстэеи гзг,гз,з 6. з| укэиси сыэ ьэнн спссеб получении этн» ихиньшэння.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
