Galitskii-1 (1185111), страница 16
Текст из файла (страница 16)
/(хя их нахождения рассмотрим жение . Ш., убывающее прн х йоо. При х < О она имеет енд Ф = Се"*, где и 2т((Г» — Е)/й', а пРн х > О лла значений п < х/а < (а+ 1) его можно энгмсать в випе Ф = АР'ип (й(х — иа) Ч-6], й = )/2тЕ/й', !Л! < 1. Сшивание решения в точках х = О и х = а приводит к соотношениям 2та Рй соз 6 — й сох (да + 6) = — Р з! и 6 йз Анпэ = 1, йАсозб=н; мп(да+6) =Лмпэ, (лля удобства положено С = 1). Отсюда ~ Г/за 2т(Г/з — Е)аз 1 (/ а йасозйа = (ипйа) р нп йа.
(2) ~ а й' ~' айа Уравнение (2) опрелеляет спектр рассматриваемых состояний; число уровней мвисмг от параметров потенциала (их может ие быть вообще). Они расположены между юнвми разрешенных энергий лля бесконечного кристалла. При изменении параметров потенциала 2.55. Найти энергетический спектр и указать кратность вырождения уровней частицы в потенциале виды (/ ы о 2 6(х — иа) при х > О и (/ ш (/е > О при х < О в | (частица в полубесконечном кристалле, см.
рис. 19). Сравнить со случаем идеального бесконечного кристалла (си. 2.53). Обратить внимание на возможность существования состояний частицы, локализованных вблизи границы кристалла (так называемые лоберхностные, или таммодские состояния, на воэможность существования которых впервые указал И. Е. Тамм). 62 Глава 2. Одномерное дбижение положение такик уровней также изменяется.
При этом может происходить как появление новых связанных состояний, так и исчезновение элке сушеьтвуюшик эа счет ухода уровня в ближайшую зону (состояние делокаанзустся). Предопввляя читателю дальнейший анализ спектра, следуюшего иэ (2), ограничимся для иллюстрапин рассмотрением одного частного случай, когда Ие » й /глаэ н о < 0 (кристалл из р-ям), причем ича(а(/пэ 1. При этом в области зиергиа Е и'. Ие иэ (2) следует, что Ьа = ля + с, где и = 1, 2,, „а (э( н'. 1, причем е ы ика/Иеа. Для таких уровней (сушествуюших между каждыми соссднимн зонами) Ие-Е 2пт и=соева+)/ — э!пасы(-1)" 1+о)! )/ Е )/! Ь'Ие /' так что ф < 1 (при этом (и( ы 1, т.е.
область локализации сосшяния простирается лалеко в глубь крнсташа). В случае о > 0 в этой области энергий связанных состояний нет ((р( > ! дэя решений уравнений (2)). Хотя такие состояния и появляются по моэм увеличения Ие (в момент появления их энергия Е = Иэ), в дальнейшем уровень»сливается» с зоной. /ууа(уа 3 Момент импульса Й = (гВ] удовлетворяют Операторы компонент момента импульса частицы коммутационным соотношениями ((м )л] = зсм,!ю (), 1,] = О, (Ш.1) Оператор квадрата момента ~1 выражается через угловую часть оператора Лапласа; его с.з.
равны 1(1+!), причем ! = О,!,2,.... При исследоеанми лишь угловой зависимости волновых функций частицы операторы!т и 1, образуют полный набор. ШЛВГММЕ функции )зю(в, ЗЭ) яВЛяЮтСя НОрМИрОВаННЫМИ С. ф. ЭТИХ ОПЕратарОВ: 1 д / д'( 1 дз1 ! )( ы-~ —,— ~~1  — ]+ — — 1У, =!(!+1)Г,, (.з)лВ ВВ ~ дв,] мпзв дфз) (1 П.4) д 1,)г! = — з — )'г = нэ)г! дю и имеют вид ((нз( < 1) 'гз~ — — (-1)( +! О! з, Р! 1(сов В)ез ", 4зг (! + (гл()1 4!и! Рг~(сов 6) = взп!ю'В Р (сов В) 4( в)йй где Я и Р, — полиномы Лежандра и присоелнненные полнномы Лежандра !м) соответственно; при атом ! = (-1)' юКг, ю,,) ! )с!ю 40 = Вгг4 г.
Шаровые функции имеет определенную четность Т, равную (-1)'. Лля них имеет место ел!ерванд озоэюеиилв: 21+ 1 — Рг(вп') = ~ 1! (а))'!' (л'), 4зг ю=-! (1П.б) '!так: (гс,гэ) = Й, и т.д. !Ьворя о моманю (включая в лалммлюем и спиновмв момент), мм имеем в внлу измерение его в сдииилаа а, так что соотестствуююие опсраторм н ик с.э. бсэраэнер. им. Оолчеркнсм, что «вк соотноюения (!Пл), так и (и! з)-(пью) справсллнвм лпя номснза любоа система (или лодсиеюмм) наэависнмо от его прнродм (орбитаеьнма, спииовмл, псюима), [)пхэ] =зеп х 1)! Вс] =че,з„р„.
(1П.2) В сферических коорлинатах операторы !! содержат только угловые переменные В,гр. Так, оператор Т, = -(д/д)э, его с.ф. и с.з. имеют вид (гн ы 1,): е'""' Ф (р) = —, тп = О, ю1, ю2,,... (Ш.З) чгйхя Глава 3. Ишиеыт имлдяьсо где п, н' — орты вдоль соотеетстауюших направлений, при этом У) (и)ш)"з (В,уз) и пп =созВсоаВ+а!ВВа!пВ соз(уз-уз).
Приведем шаровые функции для низших орбитальных моментов: 1 5'и = — ' з/4яя )ьы = (И!.7) 52,ьз Отметим, что полезно иметь в аиду вазможность записи шаровых функций через дскартоаы координаты; так, из+ уз 2лз )гю и т.д. тз азр (*ж (р) л Уг л, ск з|п Ве и = — !'зо гх соз В = —, т т' «Полышающий» (значение проекции момента на ось л) 1+ и «понижающий» Г операторы, Тя = Т, и |Гу, удовлетворяют соотношениям коммутации ~ГыТн] = жГа. Отсюда следует, что для них из матричных элементов ((ш' )Гн ~ |из) отличны от нуля только'> ьы..-,=«г.
ь.мз/в+:зв- з (И!.8) Соответственно лля операторов 1, Гу отличны от нуля только матричные элементы: ! (1,), -з = ((а) -ьы = — (!+ из)(1 — гя+ |), |, (!у) аы-з = (|г)е-зы = з (1+гл)(1 — зп+ !), 2 (И!.9) чем и определяется пид этих операторов и 1, -представлении, при этом (1*)мы' - -шб (И1, |О) $ !. Общие сеоистеа момента 3.1.
Показагеь что равенство ( з = 1(1+!) получается с помощью элементарных фор- мул теории вероятностей, исходя нз того, что проекция момента иа произвольную ось может принимать лишь значения гя = -1, -1+ |,..., 1, причем асе они рааноаероягны, а оси равноправны. з| |дл» олрслеленис величины матричного юсыснза слслуст также учесть соотношение Г = Г-!++ ~г, + Г,. Выбор 4жюаого множителя в (Ш.з) фиксирует ислолиусмуы в теории момента огносизельнуы фазу в. ф, состояния с различными т (ллл олпом и юго жс значение Г). , /3 )гзо = аз)/ сги В; ')/ ля ) = / — (|-3 оа В); / 5 3 )/ )бя Ф)/ — ип Ве /3 )/ 8я /15 аз ж)/ — ппВсозВе '"; ')/ 8 /!5 -)/ — аш Ве )/ 32зг 01. Общие сбобстдо момента Решение.
Ввиду равновсроятиости различных значений Зч, имеем>> уу 1 — з !(1+ 1) Й+1?-о 3 Отсюда в силу равноправности осей х, у, з следует Е о!/=Гт+Гт+Г>=ЗГ>=К!+ 1). Заметим, что замена дискретного распределения вероятностей ш(т) = 3+ н ел рермвным однородным распределением Иш м гй,/2! с -! < 1, < ! приводит к классическому результату Ьз = !т. 3.2. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского ротатора'> с моментом инерции 1. Какова кратность вырождения уровней? В состоянии ротатора с волновой функцией Ф = С соззуэ найти вероятности различных значений энергии н проекции момента, а также средние значения и флуктуации этих величин.
Решение. 1) Функция Гамильтона Рсттора Н = М,'/21 (здесь М, м р, — проекция момента ротатора на ось з, перпендикулярную плоскости вращения); соответственно оператор Гамильтона имеет внд Й = М,'/21 м й'1,'/21. Так квк Й коммутируст с 1,, то с.ф. Й могут быть выбраны одновременно н собственными функциями >„что позволяет сразу указать спектр и с,ф. гамильтоннана йгтт с г Е>1= —, Ф = —, т=бж!,ж2,....
(1) 21 2х' Все уровни, кроме основного, двукратно вырождсны. Укажем также на возможность выбора с.ф. Й в виве Ф = гг ~>~ сов то, Фь„> — — х" ~Р оп то, при котором онн имскм определенную четность (+1 или — !) прн отражении координат относительно оси х. 2) Так как сову = (ем+ с 'т)/2, то сз'т + 2+ е ьт хз-т с„е' г т/2хн Отсюда нспосрслственио следуют Распрслслення вероятностей Различных Значений пРоекции момента ш(т) = )с„)т и энергии ш(Е, 1) = ш(пз) + ш(-т) (при гн т! О) ротатора (а также и энэчснис С' = 4/Зх из условия нормировки в.ф.
нв единицу): 2 1 гэ(0) = 4ш(х2), гэ(Еэ) = ге(0) = —, ш(Ег) = 2ш(2) ш 2ш(-2) = -, 3' 3' вероятно«тн остачьных значений равны нулю. Наконсю 4 — Зйз — 80~ т=0 (гэт)Т=-, Й= —, (/зЕ)з= —. 3' 31 ' 91> '> Сумма иожст быть вн цнтна сэмоюыни образом э -с е =э > Рсмоэолзн назнвашга зээшэюмэясн отнсстсльно центра маса (в плоскости нлн а пространстве) снстена нз лэтх жестко сэазэнннх лруг с эругсн частиц. Манснт инерции Ротэтсра Раасн 1 = ле, глс л — пвныасниээ пасса частиц, е — расстояние между инин. Зь Глава 3. Моменю импульсе З.З. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии простран- ственного (сферического) ротатора с моментом инерции /.
Какова кратность выро- ждения уровней? В состоянии, описываемом волновой функцией й = Ссовту, найти вероятности различных значений энергий, момента и его проекции на ось з, а также средние значения и флуктуации этих величин. Решение. 1) Функция Гамильтона ротвторв Е = Мт/23; соответственно, оператор Гамильто- на имеет вид Й = йтгт/23, з его с.з.
и с.ф. Е, = , Оь, = П (О, р), й'!(1 + 1) 22 (1) где ! м О, 1,...; т = 1, 1-1,..., -1; У вЂ” швровыс функции; О, р — пашрнмй и ззимугзль- ный углы оси ротвторз. Уровни энергии (Е + 1)-крвтно вырождсиы и имеют определенную чстность, ревную (-1)'. 2) Приведенная в условии твввчи в. ф. описывает состояние ротвторз с опрсаслснным значением 1, = О.
Звписзв сс в виде т/4ееС Г 1 ! — 3 соз тд) ч-ч фшСсоз О= — ~ —— ~ ш~ суи 3 [ ~/4~г т/яя в1 и учтя явный внд шаровых функции Ун и 1ть (см. (П1.7)), нзкодим, что момент ротаторе может принимать лишь два значения: 1 = 0 и 1 = 2, с зероятностямн ш(0) = 5/9 и м(2) = 4/9. Пр этом Е = яйт/31, (ЬЕ)~ ш ОГГ/3| ! (С(т = 5/4я. ЗА. Дать наглядную интерпретацию: а) коммугативности операторов проекций импульса, б) некоммутативности операторов проекций момента импульса, в) коммутативности операторов проекций импульса и момента импульса на одну и ту же ось и их некоммутативности для проекций на различные оси, исходя из ки- нематического сиысла этих операторов, связанного с бесконечно малыми переносами и поворотами.
Решение. Квк известно ((1), Ц !5, 26), операторы импульса Р и момента !. системы связаны с операторами лрсобрзювания в. ф. прн бесконечно малых переносах и поворотах системы координат: 37(бв)м ! + т - ЮзР и Я(бш )м 1 Ь тбзтз1 й з Любой перенос системы координат лересмалаеячея с любым другим переносом, поэтому коммугируюг и опеРаторы компонент импульса. Совершенно анзлогично обстоит дело и с переносами н поворотвмн вдаль одной и той жс оси Наоборот, два вращения, кзк и перенос н врвнмние, относительно двух нспзрмисльиых осей нв псрествновочны друг С друюм, что и отвечает нвкоммугзтивнссти соотвшствуюших операторов. 3.5.
Найти следующие коммутаторы: а) [(„гт), [1, р!) [!,(рг)[, [!н(рг)!). б! [1м (рг) Рь[, [1„(р г) хь[, [1„(айз + Ьрь)~, в) [(г,хьх!), [(нрзр!1, [(„йьр![ (а, Ь вЂ” постоянные величины). Обратить внимание на одинаковую структуру коммутаторов для операторов, входящих в одну и ту же группу. С чем связана такал универсальность коммутационных соотношений? Решение. Прн вычислении коммутаторов удобно воспользоваться результатом залечи !.4 и фориулой (! П.2). Привелсм ответ.
а) Все коммутаторы равны нулю, что является проявлением общего свойства рзвснства пулю коммутатора внлз [гн /] = О, гле / — оператор гкамрлед величины. б1. Общие сбойстбо момента 67 б) КОММутатОрЫ ИМЕЮТ СтруКтуруаипа [гч /Ь] = гггЬ/Н Гдв /Ь вЂ” ОПЕратар Я-й ПраСКНИИ соответствующего вгкеарлаго опсратала. е) [т /и] = г(гер Зм + сх, РЕ)/е.
тле /,г — операторы компонент соответствующего еехзарл 2-го рллга. Установленная унивсрсаяьнав структура коммутаторов оператора компонент момента Л со скалярными, вскториымн н тснзорными операторами является отражением свойства оператора ! как оператора, аписмваюшего преобразование в. ф. при вращениях системы координат, н того обстоятельства, что при этом все тензоры одного н того жв ранга преобразуются адиивковын образом (независимо от конкретного вивт тензора). 3.$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
