Galitskii-1 (1185111), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Нспьэюун пэээнстте 5п(Х,ХзХзХн) = 5р (ХзХзХ 1н), паззчэьи Сз = Сз. Уннажз» зэтрь (|) нз бзбз, кисе» 12С~ + ЗСз = (2Б+ Обз(Ь+ |)з, з умножение (|) нэ т з тз „дэтт бСз — бСз = (23+ |!Ь(Ь ) |); етсидз слсктют сььтнмизнип (5) н (б) 3.18. Найти волновые функции зрзэ(р,уз) н Фзт(В, р) состояний частицы с моментом ! = 1 и определенным значением проекции момента на оси и и у соответственно.
Воспользоваться известным аидом шаровых функций 3'з (В, гр), см. (!!!.7). Решение. Имея ввиду выражения для Зг и равноправность различных ориентаций системы координат, исхомыс в.ф. можно получить с помощью циклической перестановки переменных е,у,г.
Тэк 02. Мошант б ш ! у! Решение. Обозначив через ш(ж1) вероятности проекций момента й = ш1, согласно 3.11 имеем 1, = ) ш(й)й = ш(!) — и(-1) = пъ саво, тч 1, '= 2 ш(й)й' = ш(!) + ш(-1) = т'+ (1 — — ~ зтл 'о, г / Отсюда 2тт+гтста+ (2-3тт) нота ы(1, т) ы тл(!) = 4 2т' — 2т созе+ (2 — 3т') Ып 'о ш(-1, т) ш ш(-1) ш 4 ш(0, т) = ! — ш(!) — ш(-!). 3.21. Покаэатгь чта в случае момента частицы 1 = 1 три функции Фг„с(д,гр), Фй с(д,тт), Фь т(д,р), описывающие состояния частицы с равной нулю проекцией момента на оси х, у, л соответственно, образуют полную систему функций. Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой фуннции произвольного состояния с 1 = 1 по этим функциямг Решение. В ф.
Фьь(др) (т = 1,2 3) имеютвнд (а = !т/3/4х): Фь т — — гт- — ал/г= а сота; Фьш = аа/г = анпдсазуц Фг т — — ау/г = анйдмпр и их нешвиснмость и полнота очевидны (в случае 1 ш ! имеьтсл три независимых в. ф.). Легко заметить, чта различные в. ф. Фьш ортагонвльны; Ф), тФгш дП = Ю,ь и поэтому коэффициенты С, враз!оженил произвольной, нормированной в. ф. Фон па этим функнням определяют троятиасть и(!) = )С,!' того, что проекция момента на т-ю ось равна нулю. Отметим, что этот результат нс имеет непосредственного отношения к обычному разложению произвольной в.ф.
в рял по с.ф. эрмитоав оператора! 3.22. указать в 1,-представлении явный вид операторов компонент момента, а также повышающего Тт и понижающегоТ операторов (1ь шТт х!(т) для момента 1 ш!. Найти из решения уравнения на собственные функции волновую функцию в 1,- представлении состояния частицы с 1, = О. Решение. 1) ло формулам (Н1.9) лля 1 = 1 получаем т 1т —— тГ2 1 1 т/2 1,= о о Гг /а3 2) Обозначив Фь в = '( Ь ), имеем уравнение нв с.ф. в вилс с 1 — 0 /2 ! 0 /г ! — 0 тГ2 т О 1 О О 0 — —; 1,= 000 — 0 т/2 1 = т/г 0 О 22 Глава 3.
Момент импульса 1 — 0 Ь 0 — 6 = — в+с =О. ! — 0 /г 1 фа=а = Отсюда: ь = О, е = -с, причем лля нормировки в.ф. на единицу слелуст взять (а! = !/ьг2. 3.23. В состоянии частицы с моментам 1 = ! и его проекцией гп на ось х найти следующие средние: Р,', !тч (и — целое). Решение. Твк как с.з. !, и! при 1 = 1 равны лишь О,ж1, та 1, = Т, и ~1т = !х (сравнить с 117) Далее, в состоянии с 1 ш ! и 1, = гя имесм !.
= („= О и !т = 1„' = (2 — и)/2 (см., например, 3Л !). Отсюда следует: 1„" = ггх = О, если и — нечстнае; 5 = !тч = (2 — т')/2 при чстиам и (и > О). В = 1+ 1ап о(1, з!ад — !т сшр) — (1 — сато) (1, з!ар - !хсоз13) и лля и.ф. Ф з = 2231з, воспользовавшись выражениями дхя 1, н явным андам !~э, пасла простых вычисления получаем Гз Фант = 1(/ — (ссзо созе+зюпоап Всш(р — 13)) (2) )г ах в согласии с результатом задачи ЗЛ8. 3.25. В пространстве векторов состояний, отвечающих иоменту ! = 1, найти проекционные операторы Р(тп) для состояний с определенной проекцией момента тп на ось з. Обобщить результат на случай произвольна направленной оси х. С помощью оператора Р(йз) найти в 1,- и в координатном представленилх волновую функцию Фа-з состояния частицы с моментам 1 = 1 и его проекцией щ = О на ось з.
Сравнить с 3.18 и 3.24. Решение. Для Р(т) имеем выражения (сравнить с 3.!5): з Р(0) = ! — 1,, Р(а1) = — *. 1, Д1, 2 (О 3.24. Найти явный вид оператора 22(эзс) = ехр (!!ос! ) поворота системы координат на угол уге, действующего а пространстве векторов состояний, отвечающих моменту 1 = !.
С помощью этого оператора получить из шаровой функции )г!е волновую функцию Фа е(В, р) состояния частицы с моментои 1 = ! и его проекцией йз = О на ось х, направление которой определяется поляриыи а и аэииутальным /3 углами. Сравнить с 3.18. Решенне. Так квк оператор рзТ а пространстве векюров састаяг~ий с 1 = ! имеет лишь три с зх б, жрз, та, согласно !.22, слслуст Я = схп (тэтз! ) = 1 + г з!и тгз - (пх!) — (! — сох Рь) (ЩТ), (О где яз = угз/рз Выберем вектор поворота рз таким образом, чтобы в результате вращения ась х исходной системы координат по отношению к осям повернутой системы инела бы такую жс ориснтаиию, как н ась у па отношению к исходной системе. При этом в.
ф. Фа(д, р) = Я3ш(д, р) будет описывать состояние частииы с моментам ! и его проекцией пт на ась х в соответствии са смыслом оператора Я как оператОра вращения системы координат. Нетрудно сообразить, что лля этого следует выбрать рз = (а Ып !3, -а саз13, 0). При этом б 3. Слазкение моментоВ 23 Проекционные операторы Р(т) получаются из вмражений (1) заменой Т, на оператор Тг, имеющий вид Тг = аеТ = соз аТ, + 1!я а соз ВТ, + згл а яп ВТг, где ее — орг эдаль асн з, а и )3 — полярный и азимутальный углы направления ае. В частности, для оператора Р(т = 0) в Т,-преастаапении, воспользовавшись формулами (!) из 3.22, получаем яп 2а -е 'л— 21/2 Р(т = О) м , эв2а е'е— гчг Подействоаав этим операторам на произвольную функцию, которую удобна выбрать, на/ !'г пример, в виде Ф = ~ О), находим с.
ф, Фат = СР(т = 0)Ф оператора Т„отвечающую с. . 1, = О: 0 ! ( эва Фа=э = — -зГ2е'е сова (!) — е '"з!па где С = тГ2/ яп а выбрано дле нормиРовки в. ф, на 1. При а = х/2 и )3 = 0 функция (!) воспроизводит результет иэ 3.22 лля а ф. Фг„-е. Дахее, учтя вил шаровых функций 3; (а) (см. (П17)),замечаем, что в.ф.
состояния (1) в координатном представлении, Ф = 2,с„г;, лишь фазовым множмтедем агличаетя от найденных ранее в 3Л8 и 3.24 другими способами. $3, Сложение моментов 3.2$, Записать оператор момента системы из двух частиц в виде сумиы двух слагаемых, соответствующих моменту частиц в с. ц. и. (т.е. моменту атносительнага движения) и моменту поступательного движения системы как целого, Решение. Оператор момента системы из двух частиц имеет вид Е = !1 + !1 — !(г1 1! !(стет! (!) Перейдем от гатт к новым переменным г, й: гягт г,=й — —, т1 + тт гв1Г гз = В+ —.
в, +тт Г = Гт — Г„ \П111+ гнт Гг в= гп1 + тэ Так как т, = ~ — ') Фа-зу„зут= ( — ') тг„+ту„ тле первое слагаемое является опера~орам момента системы двух частиц в с. и. и., а второе представляет собой оператор момента, связанного с лаижением центра масс. 3.22. Моменты 11 и !т двух слаба взаимодействующих систем складываютсл в резуль- тирующий момент величины зд показать, что в таких состояниях (с апределеннь1м Ы скалярные произведения !1Т1,31Тч !7Т также имеют определенные значения.
яп а 2 , эв2а -е'л— г Гг ,, яп'а ет'Е 2 то отратор (!) можно записать в виде ! = -!!гтг.)- !(Втга), э1п'а -е 1'Е— г е 'л— яп 2а гзГ2 яд'а 2 Глава 3. Момент импульса Решение. Из соотношения 8 =Т, +Т» сясдуют выражения !» 1» 1' +1» 1» 1' + !» !» 1»!»=" », Т»Хх ', !»!.х 2 ' 2 ' 2 (здесь Учтена коммугвтивнссть оаноимеяиых компонент Ь и !»,т). Из них нспосреаствеино зиппо, что в состояниях с опрсдсяснными значениями !.», !т„!т» рэссмэтризвсммс скаяярныс произведения также имеют опредсзенныс знзчения. 3.28. Найти следующие коммутаторы! а) [Хп [1»12)), [Хо (Ф»81)], [Х1, (Ф»уз)]; б) [Х»,х»ь]» [ХО3ь] с Вш [1дг]! а) (ь„х»ьхх)» (Х„х!ьр!»Х где Т», 1! — операторы моментов двух частиц, Х шТ, +Т! — овератор их суммарного момента.
Обратить внимание на универсальную структуру (внутри кшкдой гРУппы) коммутаторов. Сравнить с 3.5. Охаем. Комму»вторы имеют такую же структуру, квк и в 3.5. 3.29. Имеются две слабо взаимодействующие системы ! и 2, состояния которьш характеризуются квантовыми числами (1»,гп») и (1»,гп!) момента и его проекции нв ось э. Указать возможные значения полного момента А совокупной системы (! + 2) и вычислить средние значения Ь и (.! в рассматриваемом состоянии.
Для частного случая тп» = 1», ш! = 11 — ! найти вероятности различнь»х значений суммарного момента. Решение. !) Возможныс знэчсиия момента совокупной системы: шзх((1» 1») )т» + тт(Т < Ь м !» + 1» -» Учитывая коммугвтивносгь !ь и 1»», соотношение 1 = 1, + !» + 21,!т и равенство нулю средних 1, = 1т = О в состоянии с определенным знэчеинем 1, (см. ЗИО), легко нэходим искомыс срсднис: Ь, = Хт ха, Х, = и», + п»т, я также 1-т = 1»(1» + 1) + 1»(!» + !) + 2т»ш».
(!) 2) При ш, = 1», т» = 1» — ! возможны лишь значения суммарного момсиш Ь» = 1»+!т н Д, = 1, + !» — 1. Так как при этом ы(бт) = ! — ы(Ь»), то, с учетом ( !), имеем 1» =,),,ыЩЪ(й+ !) = Ь» -Ь»+2Ь»ы(Ь») =1»(1»+ !) !.!»(1»+ !)+21»(1» — !). с Отсюда; ы(Ь») = !т/(1»+!»), ы(уч) =!»/(1»+1»). 3.30. Показатгч что при сложении двух одннаковык по величине моментов (1» —— 11 = 1) в результирующий момент Ь волновая функция Фь(тп», глт) в 1»,1»,-представлении имеет определенную симметрию по отношению к взаимной перестановке тп» и шз.
Как зависит характер симметрии от значения Ьт Решение. Рассмотрим сначала з ф. Ф»н состояния с Б = Л и Ж = 21, имеющую внд Фз в = б»п б»п Онасиммстричнэ постношсниюкпсрсстановкс ге» и т».Точнатзкжесиммстричными являюшк и в, ф, состояний с Ь = 21 и дттгнми зньчсннями М. Это сэслуст, напРимер, из соотношения Фьм», = СЬ(Ф»ь, где Ь- = (Т» е81м) — »(!»т+Т»г) и прн !» = й является симметричным по отношснлю к псрсстэновкс переменных скяздызвсмых моментов оператором (мвтрипсй).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
