Galitskii-1 (1185111), страница 19
Текст из файла (страница 19)
93. Сложение маме»глоб Далее, рассмстрим состояния с М = 21- ! н запишем самую абпгую в ф таких состояниЯ в виде сумы симметричного и антисимметричного сЛагаемых с, сг Ф» гь-~ = = (6 ьгб гл-~ +6 ьм~ 6, ~) + = (6,ив гл-~ — 6 ьм~ 6чгг). Очевнвно, чта симметричное слагаемое здесь отвечает суммарному моменту Ь! = 2!, а анти- симметричное — значению 2ч = 21 — 1 (если бы в первом слагаемом были представлены оба момента, то это противоречила бы ортогоиальн ости с.
ф., отвечающих раш нч ими с. з.). Таким образом, в.ф. Фх, а „а с нею и любая другая в.ф., отвечающая Ь = 21 — ! (см. выше), антисииметрична по агношепию к шаниной перестановке пг, и шг. Аналогично предыдущему, можно рассмотреть состояния с М = 21 — 2. Теперь в.ф. Ф» и г включает три независимых слашемых, из которых два (с ш~ и шг, равными 1 н 1-2, а также с т, = шг = 1 — !) симмеп>ичны, а олно (с т, „отвечающими 1 и 1-2) антнсимметрично. Антисиммегричное состояние соответствует моменту Ь = 21 — 1, а два симметричных — моментам Ь, = 21 и Бг = 21- 2. Продолжая такое рассмотрение дальше, можно приЯти и заключению, что состояниям с Х = 21, 21 — 2, 21 — 4, ...
агеечаюг симметричные по отношению к пересшновке т, и юг функции, а с Ь = 2! — 1, 21 — 3, ..., — антисимметричные в. ф. Установленный характер симметрии в.ф. имеет место как при целочисленных зиаченидх 1, так и при полуцеяых, появляющихся при рассмотрении славе частиц (см. гл. 5), 3.31. Показать, что в состоянии системы из двух одинаковых па величине моментов (1, ы 1з), отвечающем определенным значениям суммарного момента Ь и его проекции М на ось л, вероятности значений проекций складываемых моментов гп!(з) = пг и гп,р) = М вЂ” гп равны.
Решение. Утверждение задачи является непосредственным следствием лвух обстоятельств: Ц в силу определенной симметрии в.ф. Фгзг(шн пгг) по отношению к перестановке пц и шг (см. 3.30) вероятности одного и тога же значения гл лля обоих моментов одинаковы, т.е. ы!(т) = ыг(т) им(т); 2) так как т, + юг — — М, то имеет место соотношение»,(т,) = »г(М вЂ” пг,), Отсюда и слелуст угвержление: ы! г(ш) = ы, г(М вЂ” гл). 3.32. Две подсистемы, имеющие одинаковые моменты 1! — — (г ы 1, находятся в состояниях с определенными значениями проекций момента т! и щг. Найти вероятности различных значений суммарного момента Д в таких состояниях. При решении задачи воспользсюаться результатом 3.29 для значения Гз и учесть характер симметрии волновой функции состояния с определенным значением Ь, установленный в 3.30 (отмегим, чга при произвольных значениях!, г и щ| г искамал вероятность ы(Ь) = )Сге' !'„~), где Сгл» ...
— коэффициенты Клебша — ГоРдана; см. 3.38). Решение. е) При т! = юг = Е! момент системы Ь = 2. 6) При т, = Е1, тг = 0 (а также при ш, = О, тг = Е!) момент принимает значения: Ь, = 2 и бг = !. Вероятности этих значений ш(2) = 1/2 н ы(!) = !/2 непосредственно следуют как из результата 3.29, так и из 3.30. е) При т, = гпг = 0 момент может принимать лишь значения 2 и 0 (Ь = 1 сразу исключается из условия снимет>ичности в. ф, по отношению к перестановке ш, и т,, см.
3.30). При этом нз условия й = бы(Ь = 2) = 4 слелует ы(2) = 2/3, ы(0) = 1/3. г) При ш! = -тг = жг момент может принимать все три значения: О, 1, 2. Записав для случая т, = -т» = 1 в.ф, в 1н 1г,-представлении в анас 1 (бгь,„л,ь, ~+бы, 16ыи 6ь,лба ~ — 6,н,,йь,) тг2 гу2 замечаем, что вероятность значения Ь = 1, которому отвечает второе, антнсимметричнае слагаемое в (1), равна ы(Ь = 1) = 1/2. Далее: 1,г = ~ б(6+!)ш(Е) = бш(2) + 1 = 2.
Отсюда ы(2) = 1/6, м(0) = !/3. Глава 3. Момент имлдльса 3.33. Проиллюстрировать связь, установленную в задаче 1.43, и ее вероятностный смысл на примере сложения моментов !и (т двух слабовэаимодействующих подсистем в результирующий момент Ь, Решение. Понимая в условиях зелачи !.43 под А набор коммутирующих операторов 1н и 1т, т с с.з. ш! и пг,, а под  — набор из В и Ь, = гн + 1т„имеем равенство пероэтностсй шыг(шнгпт) = ш, г(Б,М), т.е. веРоятности значения проекций т, и тг в состоянии с опрслеленными значениями Ь и М (при этом М = ш~ + тг) Равны вероятностям значений величин Б и М в состоянии с определенными проекцнами гнг и шт (сравнить, например, результаты задач 3.32 и 3.35).
3,34. Длл системы из двух одинаковых по величине моментов 1! —— 1з = 1 найти в 1!,1т,-представлении волновую функцию состояния с суммарным моментом Ь = О (воспользоваться операторами Хь). Указать танже ее внд в координатном представлении. Решение. Запишем искомую в. ф. в виде Фиш = 2, С Ф ~ Ф, где Ф ' — нормнрошнные 1~1 ш <ьт! в. ф. состояниЯ систем ! и 2 с моментом 1 и его проекцией лт на ось т. Для нее очевидно Хьфз е — = (!~с+!г*)фь а = О, (!) Г.-т..а,-т„.т„.. ° .—...*...Ь.
( Зтг т--.~ — -ЭХП вЂ” Ч. Фь ы, нз (!) после простых преобразований получаем ь ..-Ет$:7г' кг. ~-з '."„" = Отсюда с „, = -с, так что (с ! = сонэ! = (21 + !) '!т — из условия нормировки в. ф. Фьш на единицу. Таким образом, в состоянии с й = О вероятности разлнчньш значений проекций склаэыааемых моментов на ось з (и на произвольную ось вообще) одинаковы и Равны ы = !/(2!+ !). Внд в. ф. Фз-е в 1н1г,-представлении следует иепосрелстшино из того, что а этом представлении Ф„' = бгчп, .
В координатном же представлении Ф ' = К (и, т). Учн- 0,2) тывая, что С = (-!)' (21+ 1) '!', соотношение между шароаыни функциями 1 „(в) = (-!) 1ь- (а) и теорему сложения лля них (!Пб), нахолим т/21+ ! Фа=ем~ (2!+П 'РУь (п,)К' (пг)= — Р(п,а,). 4а Огметим, что такой внл в.ф. Фг-з вытекает также из слелуюшнх соображений. В силу того, что в.
ф. не изменяется при вращениях (Ь = О), она является скапяром, т. е. функцией вида Фс е м /(п,пг). При этом то обстоятельство, что /(з) свпаится к папиному Лежанлра РДл), связано с тем, что складмваемме моменты имени опрелелеинос значение! (сравнмть, например, с 34 3). 3.3$. Моменты двух частиц равны !г — — 1! = 1.
Построить волновые функции Фэм состояний с определенными значениями Ь суммарного момента и его проекции М на ось э (при решении использовать результаты задач З.ЗО и 3.34). Решение. В!и!и-преаставлеиии в.ф. Фа*! очевидны: Фтт= 0 О, Фт г= 0 0 /сг1 (заесь и ниже столбцы Ф,!г! = се ~ преаставляют собой в.ф. Ц2) частише или !и! подсистемы с моментом ! = ! в ее!.-прелставлении). Виа в.ф. Фсм, отвечающих состонниям 03. Сложение моменшоб с Ь = 1, 2 и М = и!, а также б = 1, М = О, непосредственно следует из характера симметрии в.ф. по отношению к перестановке переменных т, и т,, установленного в 3.30: Финн= — а ! ш ! Π— а ! + ! О Фд= — ΠΠ— О О (знак +» в (2), (3) отвечает Ь = 2, ° — ° отвечает В = 1). Вид в.ф.
Фз е следует из результата прсдыдушед задачи Ф = — о о — ! ! + о о В.ф. Фтл, при учете ее симметричности по отношению к перестановке т, записать в впав Фэ,э=С! О О + 0 0 +Сэ 1 1 (2) (3) (4) (5) и тт, моюю (6) а иэ условмя ее ортогоньльиости в. ф, Фь,е нанти С, = 2Сг! избрав при этом в (б) С~ = 1/Л, Ст = 2/»/6, получаем нормированную в. ф.
Фт э. Вероятности различных значений проекцмй склздываемых моментов на ось з в состояниях Фсм непосредственно следуют нз установлен- ного вида (!)-(6) в. ф. 3.36. Используя технику проекционных операторов, для системы из двух иоиентав !! — — !э = 1 найти волновую функцию Фь е состояния с суммарным моментам Ь = О.
Сравнить с 3.34. Решение. Так как в случае 1~ = 1! = ! оператор 1,~ имеет в состояниях с определенным Б следующие значения: 1 при Ь = 2, — 1 при Б = ! н -2 при Ь = О, то оператор, прссктируюшип на состояние с е = О, имеет вил Р(ъ = 0) = (( 1,1!) — !)/3 (сравнить с 1.35).
Поденствовав этим оператором на произвольную в.ф. Ф состояния с 1, = 1т — — 1, получим (ненормированную) с, ф. оператора квадрата суммарного момента, отаечаюш!по Ь = О, т. е. Фь ь = СР(й = 0)Ф (С вЂ” нормировочный коэффициент). Записав — т„т, +тт, Юг=1~!э + 2 (виа Т» лля 1 = ! приведен в 3.22) и выбрав дяя удобства е.ф. в 1п 1!,-представлении в виде Ф = ~ 1) ~ 1), находим после простых преобразований т,о), т,о), Фьм=СР(6=0) 1 ! = — 0 0 — 1 1 + 0 0 3.37, Произвести классификацию независимых состояний системы, состоящей из трех слабоазаимодействующих подсистем с моментами !, = !! =! и !3 = ! по значенияи суммарного момента Ь системы. Выбрав С =,/3, получаем !оке нормированную в.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
