Galitskii-1 (1185111), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Решение. действие оператора 1, = -гс,ь„аь В/В*„на в.ф. вида Ф = (вп) даст Ф, =1Ф =!а н =-1гь а нь шЬ, ьпи, что эквивалентно соотношению Ьчь —— 1,а, ы — м„ач в векторном представлении, и есяи /о, тт в этом представлении запнсымпь а. ф. в виде столбца Ф = ог, то операторами компонент аг момента являются матрицы 1, с элементамн (1,)ь„= -Ы ь: 1 = 0 О-г', 1„= 0 0 О, 1,= г 0 0 Легко убедиться, что коммутационные соотношения дла этих матриц иммот станаартную форму, т.е.
[1„!з] = гг,н1ь а матрица 1« равна ! = 2 ° Т (Т вЂ” единичная матрица) Вил унитарной матрицы О, связмваюшей векторное и 1,-предстааления: аг = 2 гть„с„, читателю преллагзетсп нанти саиостоятельно, ЗАЗ. Для системы из двух частиц, имеющих моменты 1, = 12 = 1, найти: а) наиболее общий вид угловой зависимости волновой функции; б) наиболее общий вид угловой зависимости волновых функций Фз, описывающих состояния системы с определенными значениями б (б = О, 1,2) суммарного момента; д) угловую зависимость волновых функций Фьм, описыеаюдих состояния системы с определенным значением б суммарного момента и его проекции М на ось з. При решении использовать результат задачи 3.41. Решение. а) Нанболес общий вид угловой зависимости в. ф.
следующий: Ф = п„пи нзь, гпе и, = г,/«„пг = гт/«т, аи — произвольный тенэор второго ранга, имеющий девять независимых компонент, что соответствует девяти независимым состояниям системы из двух частиц с моментами 1, = 1т —— ! . О 4. Тензорный формализм В теории момента б) Прсаставив тензор аа в виде а„„б,з а,з — аз, (а,з + аь — (2/3) а„„ба) аа = — + — + 3 2 2 запишем указанную выше в.ф. следующим образом: й = С(п, вз) + л(в,пз! + с зпьпц, (2) ЗА6.
Для системы нз двух частиц, одна иэ которых имеет момент 1, = 1, найти угловую зависимость волновык функций Фзз,л состонний системы, отвечающих определенным значениям ее суммарного момента,7 = 0 и 1, его проекции .Т, на ось л и проекции момента й на направление радиуса-вектора второй частицы (при этом ограничиться случаем й = 0). Каковы четности рассматриваемых состояний? Каковы возможные значения момента 11 второй частицы в таких состоянняху Обобщить результат на случай произвольных значений 1„,7„/, (по-прежнему й = 0).
Решение. Условия 1, = 1 и Л = 0 однозначно определяют зависимость в.ф. от угловых переменных первой частицы в ышс 4| сг (в,аД, где и| — — г,/|', и п| = гз/гз (сравнять с 3.18; при этом слелует учесть, что проекшш Л суммарного момента нв направление рзлнугз-шктора гз полностью определяется проекцией момента только первой частицы, так как язгг ц 0).
Твк как (п,в|) Явлвстаа скзлЯРом, квк н в.ф. состовних с 3 = О, та Фаи —— сопя|(в,вз). В.ф. состояния с б =. 1 прсастввляст линейную комбинацию компонент вектора. ывисяшего толька ат л, и в| (сравнить с 3.41). Прн 1, = 1 и Л = 0 единстшнным таким ыктарам является т = А(п,вт)вт. Састввля» нз сга компонент линейные комбинации, отвечающие проекции момента ./„находим Ф,зь = С(а|а|)Уг,(пг) (1) (1'|д — шаровые функции). В.ф. (!) имеет определенную четность, равную -1, и, как нетрудно сообразить, описывает состояние, в котором момент второй чватицы может принимать лишь два значения: 0 и 2.
Обобщение вмражсння (1) на случай праизвольньш значений !,, З, /, и Л = 0 имеет вил Элла = СРДа|а|)Ута (и\), где Р,(з) — папином Лежанлра. (2) 3.41. Поназать, что в системе из трех частиц состояния с суммарным орбитальным моментом Ь = 0 (в с.ц. и.) имеют определенную, причем положительную, четность. где а„„а.ь + аь - (2/3)а„ба С= —, гн= 3' 2 2е, = г,ма,з, а,з — аь = 2га|г, (гм — симметричный гентор с равным нулю следом). Имев в вн|ш результат задачи 3.41, нетрудно сообразить, что запись в.
ф, в форме (2) является црахставленнем се в зиле трех слагаемых, каждое из которых отвечает определенному значению суммарнмх момента системы Ъ = 0,1,2, соответственно. При этом выражение двя Усы — — С(п,пз) согласуется, естественно, с рсзулывтом 3.34 лля ! = 1. в) Л|ш того чтобы в. ф. 4|с в (2) отвсчави соатояниям с определенным значением М проекции суммарного момента на ось л, компонеитм вектора с,(М) и теизора г,ь(М) должны быть выбраны в виде, установленном в заааче 3.4!. В частности, в.ф. От | при этом оказывается имеющей виа /75,г,,г, /1 0|г Вьз =-)/ — цпВ,з1пВ е 'е ' = )/ — Уи(рнр|)Ун(В,р ), 1/ 32х ')/ 3 2 т.е. действительно являетая с.ф.
(ненормированной) операторов 1,т и Ь„отвечающей с.з. Ь=2иМ=2. Глава 3. Р(омент импульса Решение. В. ф. состояния с Ь = 0 нс изменяется при врашениях системы ююраинат, т.с. яалястсл скалярнОЙ (или пссвлсснвлярной, В зависимости От четности состояния) фуыкци" ей. В с. ц. и. трех частиц независимыми являются ралиусы-векторы г, з лишь двух частиц, прн этом г, = -(г, + гз) (считаем лля простоты массы всех частиц одинаковы). Из двух векторов газ можно образовать следуюшие скалярные величины: гн гн г,г„являющиеся истинными скалЯРамн (а не пссваоскалЯРами(). скавЯРнал ФУнкцна, зависашаа от всктоРоа г, з, может быть функцией только указанных скаляроа.
Соответственно в.ф. авюмтся функцией вила Фь с - -у(гн гз, г,гз). при инвеРсии координат г, з -гкз эта функшш ис изменяется: УФс с = Фс с, т.е. состояние с Ь = 0 имеет положительную чстность . и зз З Полчсркнеи, что речь наст об сраьмагьяса четности. Заметим также, что сглн чясао часпш с снсюнс преэмамст 3, то пьаэлястс» эьзмониссгь образовать псшвсс«амрюю эслнчииу анас ц(гзгз). Ссотаежтаснио сссюяння таких систем с Ь = С испуг инею уас любую чстнссгь. ГяаВа 4 Движение в центральном поле Решение стационарного уравнения Шредингера для центрального потенциала »2 — — Ь+ б'(г)~ Фл(г) = ЕФл(г) (!Ч.!) 2«п с учетом взаимной коммутативности операторов й, !т, 1, можно искать в виде '! Фв щ Фелю(г) = Епд(г)!т (и), где !'т — шаровая функция. Прн этом (1Ч.1) сводится к одномерному радиальному у. Ш« 1 Ят 2 / Яз!(!+!) г гггз — — г+ — ~Еют — -У(г))1Еп,г(г) =О.
(1Ч2) 2тпгз Граничное условие приз О имеетвид'! Е„,о(0) =сопл! < подла ! = 0 и Е г(0) = 0 для 1 у! О. Для частицы в кулоновском потенциале притяжения, У = -а/г, уровни энергии и радиальные функции лля состояний днскретнопт спектра имеют вид Ее щ — питт/2»зпз и где и = и, + ! + ! — главное квантовое число, и = Яз/юьа (для атОМа ВОдОрОда а определяет радиус Бора), Бап(л) — обобщенный полипом Лагерра, выражающийся через гппергеометрическую функцию Бп(л) = (-1) Р(» — и, »+ 1, л).
а а (и!)2 !0(п — »)! В частности, лля нескольких нижних состояний Нге щ 2а З/2Е гус (основное, !л-состояние), Нзе —— (2п') '/2 (1 — и/2а) е Мз' (2л-состояние), (1ЧО) Еи э«(24ЕЗ)-2/гтс- Дл (2р-состояние). '! в эюп глазе мм рассмщрнвасм только состояния дискретного спсвтра и обозначаем энергетические уровни «вк Я„,г, глс и, = О, 2,... — леднаюлеексевлыеее т сте. тз При этом имеются в енсу лггуларлне мюсиннвлн, лая «онрм«г ГГ О при г О. Для них два т независимых ращения на малых рассюяинал имеют вил Яг и г' и Яз и г ~', Исключение ю рассмотренна возрастающего рсщсния дзы ! тб О ссюсгвспно и связано с его нснормируемостью. При т = О ллл растущего рсщснил, (Яз а !/г], имеем ьдз а б(г), так что оно ие удовестюряст уравнению (зтд! прн г О. Такое рещение, «ваяратично ннтегрируснос на малых расстояния«.
попользуется при момлировании короткоесаствуююсго нентра потснпиллом нулсзого рющуса, см. задачу 4.Ю. Для силгулереаго логеяпнллв притяжение еозннкаег падение на пснтр, и вопрюо выборе граничного условия при г О требует дополнительного исгделования, см. в свези с этим 9 24. Глава 4. Ддоженне д центральном лоле Для решения уравнения (1Ч.2) часто оказывается улобным перейти к новой функции дь,! = тля,!, дяя которой уравнение принимает вид йт дт йз1(1+!) — — — + + (/(~)] Х..! ю Е.лу.л 2т дгт 2пзгз (ГЧ.5) с граничным условием ты!(0) = 0; зто уравнение по форме совпадает с обычным уравнением Шредингера в одномерном случае. Часто используется также подстановка и„,! —— ,/гН„,! ! тогда уравнение принимает вил 1, ((!+ 1/2)т 2гп и'„', + — и', — ~ + — ((/(г) — Е„л)~ ию! — — О, (1Ч6) г а граничное условие в нуле и„,!(0) ы О. В 1.
Состояния дискретного спектра я центральных волях 4.1. Указать связь энергетических уровней Е„,е и нормированных аопновык функций Фюы(г) стационарных з-состояиий дискретного спектра частицы в центральном потенциале Г/(г) с уровнями Е„и нормированными функциями Ф„(х) в одномерном потенциале (/(х) вида Г/(х) = г/(х) при х > О, 0(х) = оо при х < 0 (см. также задачу 2.5). Используя установленное соответствие, найти: а) спектр з-уровней в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме, т, е.
Г/(и) = 0 при г < а н (/ ш оо ярн г ) а; 6) условие существования связанных состояний частицы в потенциале; Г/ = -Г/е при г < а и (/ = 0 при г ) а. Решение. Уравнение Шредингера (1Ч5) и граничные условия к нему 2(О) = д(со) = О имеют такой ке внд, как и з одномерном пстенииаяе. Соствемтюнно Е,а = Е„, (спехтрм савпавают) н Ф , е(г) = Ф„,(г)/1/4х и и, = О, 1, .... Установленные соотношения позволяют иепссрслствеино обобщить некоторые результаты вхя одномерного движения частицы на случай иентраяьных потенциалов. В частности, в случае е) имеем Е„,ь = Л'х'(н, + 1)'/2та' (сравнить с 2.!).
В случае б) условие сук!есгвоаания связанных *-состояний (а тем свммм и связанных состояний зссбюе) имеет ющ !Ге > л'к'/зтет (сравнить с 2. !4). 4.2. Как изменяются значения Е„,! энергетических уровней частицы дискретного спектра а] при фиксированном значении ! с увеличением и„ б) при фиксированном значении и, с увеличением Ру ОЕ дл Лх(21 1) >О, д1 д! 2пи т что доказывает возрастание Е, с ростом 1. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
