Galitskii-1 (1185111), страница 23
Текст из файла (страница 23)
условие сшивания в.ф. в точке г = а такие же, кзк яхя одномерного б-потенциала в 2.6, даюте) йз Б»)гт(ха)К)»н,(на) = — ы —, 2п)аа »с ' что определяет энергетический спектр частицм. е) Нспсяьюзаио зиачеяхе эроискивяз ту(7 е(г), д,е(»)) = 7(г) К(з) - г(»)К(г) = -1/г. В условиях, когда уровень при углублении потенциальной ямы только появился, его энергия сколь угодно мала. Соответственно условие .7»(а) = 0 определяет значения параметров ямы, отвечающих поязяению новых состояний де. при ее углублении. Отсюда для Р/-го по счету уровне Уе « = дтх«/Втаг, где хк есть дг-й нуль функции ге(х). так как х, т 2,40, то условие сушеспювания з-состовиий д.
с. (а тем самым и связанных состояний вообще) имеет вид Уе > 0,72йт/та). При 0 < (Л вЂ” х«) « 1 самый верхний е-уровень — »мелкий». Используя бюрмулм (.7„, й㻠— функции Бесселя и неймана) УО(х) = — 7)(х) н ~ — ) А(х)) = — Р/з(х), 'ч'),ди/ " / е 2 согласно (3) находим его энергию (и, = Р/ — 1): г Л' У)г(х«) / /ВтУеаз 2)г)таг /тез(х«) ~ )З( йз (4) е) Уравнение (10 5) при ! = 0 заменой переменной х = е Е' (лри этом У = -Уез/(1 — з)) и подстановкой Дне = Я'У, е = хе приваднтса к УРавнению дяа гипеРгеомстРической фУнк- ции г(а,р, Г,х): (1 — х) ху» 4- (2с +!) (1- х)у'+ Л у = 0 (5) 92 Глава 4.
//бпжение д центральном поле Левая часть е (1) при и О, когда уровень имеет сколь угодно малую энергию, принимает вполне определенное значение, равное !/(21 + 1). Это означает (как и при 1 = О, см. 4.8 с), что при 8 > (, = 1+ 1/2 имеется лишь один дискретный уровень (с данным 1). Используя 1ь! формулы для асимптстик 7„(з) и К„(э) при х -г 0 и * со, нз (1) получаем обобщение рсзультюа (1) из 4.8 на случай состоюгий с ! ~ 0: Язг м (21 1)(Б+ 3)дэ !э! <с! 4(21 + 1)щаэ (2) пэеэ Лзц1 + 1) — — + ( оо. 20 2глаэ Заметьте, что в случае 1 > ! Углубяение мелкого уровня и потенциальной ямы происходит одинаковым образом, а отличие от слуша 1 = О, см.
щждыдущую юхану. Такое отличие обязано центробежному потенциалу, 7/,г = й'!(!+!)/2глг, благшшря котороыу состояние с 1 > 1 остается связанным и при В 0 (центробежный барьер препятствует уходу частном на бесконечность). б) уравнение (1Ч.О) л рассматриваемой заваче при г < е саолится к уравнению Бесселя. так как нтн(0) = О, то его рещение слееует вмбрать в еняе ичн — — само!(йг). при этом услохне «„,,(е) = 0 опрелеляет энергетические уролни частном: й'й' й'о' (3) 2гл 2лэаз гле ом — н-й нуль (а порялкс возрастания, не считая нуля при * = 0) функпии Бесселя й щ(з).
4.10. Потенциал нулебого радиуса (трехмерный аналог одномерного д-потенциала, см. 2.7) задается наложением нв волновую функцию граничного условия вида'1: (гй(г)) -ас при г- О, (гф(г)) т. е. ( — '+ +...). Обсудить вопрос о возможности существования (в зависимости от знака ае) в гаком потенциале связанных состояний частицы. Найти волновую функцию связанного состояния в импульсном представлении.
Хаковы средние значения Т, (77 Реягалие. В рассматриваемой задаче (1/ ы 0 при г м О) нормируемое ре~нелие у. Ш, при В < 0 ймест енп Ае Фе= —, где «=э/- — 1- >О (2) э/4я хг й (оно отвечает честипе, имеющей момент! =0). При г 0 имеем А /! "= — (--" ) э/ех хт,г Сравнение с разложением (1) иэ условия задачи даст и = ас. Таким образом, если ас < О, то связанных состояний е потенциале нулевого радиуса нет.
Г1тэкоя нотенннэл, акээыеаюшия дсветьнс лишь на частицу с моментом 1 = а, молслнлуст лотеипнзльиую яму дсстшочно пронээсльисю емм 0(г) «онечнопэ рэануса г е сэтчзс, еглн ь ней имеется мсэкхл резльнмй (нхн еиртгзльные) урошнь с энергнсл гс такой, чэо гз « аз/шгз . прн эгон сэойемэ сгктояннй частлны с ионснтом ! = Е н энергией В « еэ/тгз схзсо зэьнсхт от конкретною ьнхэ 0 (г). применения нсмнниьхое нулехою рзаиуса е эзхзчзх атон ной н хлорное фнэнки рэс смыве мы е глэеах 11 и 13, си. также ноиегрзфни (!У, 20). 91. Сосглояния дискретного спектра б центральньш полях 93 В случае пе > 0 имеется, и толька одно, свиэан нос состояние с энергией Ез = -Лзазз/2т, Для нормировки в. ф.
(2) этого состояния на единицу следует выбрать А = »/Ййе. При этом и. ф. в импульсном представлении имеет вип =Г г Фе = зз 3+дз 2' Отсюда следует, что ' Т = р!/2т = оо, соответственно У = -сю (Т+//= Ее). Сделаем несколько заключительных замечаний. 1) П. н. р. независимо от знака параметра ае носит характер притяжения. При этом случай аз < 0 соответствует достаточно мелкой яме», которая не может связать частицу. Однако дее такие»ямы», расположенные близко друг от друга, совместно 1скс ма~уг привести к обраэощнию связанного сосзояния, см. 1!.23. 2) Параметр пе связан с длиной Лассееиил ае лля п. и.
р. соатношением ое = 1/ав, см. 13.20. 2) Предельный случай ае жсо соответствует выключению» п. н. р. 4) Обратим внимание на слелуюгиее свойство соотношения (1), определяюшлго п. н. Рз оно не зависит от значения энергии частицм. Такое свойство является общим лля всякого условия семосопряженнаго расширения эрмитова оператора, сравнить с 9.14, 4.
з1. Найти энергетический спектр частицы, находящейся в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме радиуса а и испытывающей также действие в точке г = 0 потенциала нулевого радиуса (п. н. р.). Сравнить со спектрами в яме и в и. н. р. в отдельности. Обратить внимание на возможность существенной перестройки спектра «ямных» уровней под влиянием л. н. р. Решение. Энергетический спектр состояний с ! Ф 0 такой же, как и в случае одной ямы, см. 4.9 б). При ! = 0 решение у.
Ш., удовлетворяющее условию Ф(а) = О, имеет вид Ф = (А/» ) х з1пй(г — а). При г 0 его аснмптстика: Ф ш -Айова(1/г — Лсгдйа). Сравнив ее с соотношением (1) из условия задачи 4.!О, определяющим л.и.р., получаем уравнение для спектра з-уровней: Г2тЕ яа сга Ла = аеа, !г = )! †.
1 Л Отсюда при пе = Лсо следует Ла = (п, + 1) г, что воспроизводит спектр в яме (см. 4.1), а при а = со в случае ае > 0 имеем Ле = !ае, т.е. Е» = -Л'ае/2т — уровень е изолированном п. н.р. (при Е > 0 спектр уже нспрермвный). Рассмотрим некоторые следствия уравнения (!): 1) При (аеа) » 1 в области значений Ла С (аеа) (не слишком сильна возбужленнме уровни) ямные уровни кспытытют лишь небольшой сдвиг ш счет тйшвия л. н.р. Записав при этом Ла = (и,+1)я+г, где )г! «1, из (1) находим»1 Е е ш Ьгче(1+2/а»а).
Если аз > О, то имеющийся в л. н.р. уротнь Е«такке испытывтт небольшой сдвиг, равный ЬЕ»м -4е 3» Ез. 2) При а«а б ! ситуация совершенно иная. При этом у имеющепюя в и. н. р. уровня (реального или виртуального) энергия — порядка эмергии нижних уровней в яме н, как видно из (1), спектр частицм при совместном действии п.
н. р. и ямы сильно отличается от спектров а изолированных п. н. р. и яме; происхалит перестройка спектра. В частности, при аа = 0 (когда в и.н.р. имеется уровень с нулевой энергией связи) спектр имеет вид Ечл = Л'гг'(л„ч.1/2) /2таз. Эта же формула описыщет спектр сильно возбужденных уровней и при произвольном ае. »1 Зи»чели« т = са сл»лует гзкж«нз условия, по ьее(г) ьг ~ .= -4яй(г) аан г о. Г! Зтт р«зультат саагвегегегег чг«р»» тзиумг»ий л«д»»г у гг«г» я, сравнить с 4.29.
Глава 4. г(бижеиие 6 центральном поле 2) Длв потенциала Яма!учи у = е т"/г, прн этом 9(р) =,гтйту«(рт+Л'7') . Вычисляя интеграл в (2), получаем т 4«шЛ (Лт+ Л(~2т(-Е) ) Отсюда внлно, что елннственнсе связанное состояние возникаег ирн Л > Ле ш Л'7'14«ш, прн этом его энергия т (4) а нормированная в.ф. в координатном н импульсном представлениях имеет внл тсчю' г Фс() = «(рз+Л~хт)(р'+Л'у') ' хе'у(хе 1-'у) е "" — е "' Фс(г) = 2«(7 — хе) г 4.13. Рассмотреть связанные з-состояння частицы в б-потенцнале (У = -об(г — а), исходя нэ решения уравнения Шредингера в импульсном представлении. Решвиие. У. Ш. в импульсном представлении имеет внд 2 Р Ф(р)+ ) й(р-р')Ф(р')4'р'=ЕФ(р), 2ш (1) где ц(9) ' р(г)е-ч д,„,, (2«Л)з / (сравнить с 2.17).
Для 6-потенциала й(9)= — ', йп ( — "') г гтЛ'9 Л н уравнение (1), с учетом тонг, что прн 1 = О в. ф. нс зависит ст углов, принимает внд ( Е~ Ф(р) — ~~~ (р) ' Раей", гг ( %'+'г'-Вягшч Ф(тг)р зюеледр, 2ш / «Л Ц рз+рт 2ррсозе (2) 4.12. Обсудить вопрос о связанных состояниях частицы в случае селирибельиого потенциала, представляющего интегральный оператор с ядром (сравнить с 2.19): (у(т,г') = -Л)(г))'(г'), причем )(г) -+ О прн г -т оо. Рассмотреть конкретный случай (у = -(Л/гг') ехр(-7(г+ г')) (потенциал Ямоеучи).
Решение. 1) У. Ш. для сепарабсльного потенциала удобно решать в импульсном представяенин. где оно принимает внд (сравнить с 2Л9 и 1.41): т — Ф(р) — Лй(р) / р'(р')Ф(в) д~р' = ЕФ(р), р(р) = (2«Л) ттт / у(г)е 'ит 4К (!) 2гп Из (!) видно, что рассматриваемый потснонал оказывает действие только на частнну с 1 ы О (в ф сфсрнчсскн симметрична).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
