Galitskii-1 (1185111), страница 26
Текст из файла (страница 26)
'Ф = 0 при г < а. д) /2таа»-с~ сп ! 2(и+!)( /! =*,„, .=-!+ —, (5) а в, ф. в момент пояшмния уровня: Ф = Сую(йгс!Х"ы!)/с~~ при г < а и Ф = Сс/а х ,1„„(/!аи'!"ы!) /г при г > а; здесь !! = (и + Ц3/8та/Л». В случае г = ! (собреэаиный» кулоновский потенциал) иэ (5) сяслуст: таа/Л» = хт/В. Имея в внпу значение хз, сч 2,40 первого нуля функции Бесселя /з(х), находим условие сущсстваваиня сеаэаиНЫХ сОСтОянИй В таКОм Патсицпапе: »иаа/Л > 0,72. 4.26.
Обсудить вопрос об условиях существования н появления новых связанных состояний частицьс с отличнымн от муля значениями орбитального момента прн углублении потенциальной ямы на основе уравнения Шредингера для Е = О. Каково качественное отличие волновой функции в момент возникновения связанного состояния с 1 Ф 0 по сравнению со случаем 1 = 07 Рассмотреть конкретные потенциалы о) (/ = — а б(г — а); 6) 1/ = — о/гс прн г > а и (/ = оо при г < а, рис.20. Глава 4. Дбихсение б центральном поле Решение.
Условию пояаасния нового связанного состояния с моментом ! отвечает существование решения у. Ш. с Е = О, радиальная функция которою имеет при г ч оз аснмптотнку Я ш Сг ' ' (в Общем случае Д ш Аг'+ Сг ' '), сравнить с 4.25. При зтоы в случае ! зз 0 в.ф. в момент появления уровня норм прусы а на един ипу, т.
е, отвечает истинно сааза иному состоянию. а) Радиальная в. ф, в момент появления уровня (т.с. при Е = О) согласна (1Ы5) имеет вид х = Агин при г < О и х = с/г' при г > а. сшиваиие решения в точке г = а согласно 2.6 даст: с = Аены и 2шаа/л = (2! + 1), что н определяет условие появления единственного дискрстиогО урОаня с мОментом ! Прн Углублении б-ямы. Очистим, что шш нормировки в.ф. в момент возникиошния уровня с ! Ф 0 на слиницу слсвует выбрать , „ш (2! — 1)(2! + 3) 2(2! 4- 1) б) Уравнение (!Ы2) для У = -а/г' при Е = 0 шмсной переменной е = 1/г приводится к виду (' )- !(!+ 1) Х 2ша — +а — — /!Я=0, а= —. (1) б*' *' / ' й' ' его Решение и =,/а тгцз(/Ве), или д = г ' 'ум 11(ьгй/г),лвстлал г > а Рааиальную в.
ф. в момент пояадсииа уровня; при этом условие Я(О) = 0 приводит к соотношению т/о/е = Е1Н!Ь Н, ОлзмасляЮШСМУ Услоаиа Сущеспюванил тако!о урппив, здесь ез 1М и — Зт-Я нуль функпин Белесая .71„!1(е), ис считая л = О. 48.27. параметры центрального потенциала Щт) таковынз, что в нем имеется состояние дискретного спектра с моментом 1 = 0 и Е = О. Волновая функция Фе = Хв(г)/ /4пг этого состояния (т е. в момент возникновения уровня» считается известной н нормированной„для определенности, условием хв(з) 1 при г - оо.
Показать, что смещение этого уровня бЕО пОД Впияннем маЛОго вовмущения бУ < О описывается выражением м 2тп( / б Ее ш — — ~ / бУ (г)хе(г) бг~ к' (/ т Применить полученный результат к потенциалу У = -ззб(г — О) и сравнить с точным решением, см. 4.8 а. Решение. Запишем у. Ш. (РЕ5) в пошнпналс Ут(г) при Е = 0 и в потенциале Уз 4- бУ при энергии бдз = -й'н'/2т: -Х,"+й,()ха=О, -Х" +(Ус(г)+бй()+н')Х=О (1) (У и 2ЮУ/й') Умножив первое из ннх на Х(г), а второе — на Хт(г) и почленио вы па, получаем —,(х.х' - хьх) = (бУ( ) + ') хх (2) Проинтегрируем теперь (2) по г в пределах от г = 0 ло 1 = О, шс Π— рвлиус вотснцишзов Ут(з ) и бУ(г). Учитывая, что1 1) хс(0) = х(0) = О' 2) хз(е) = 1 14 хт(О) = О1 3) Х(г) Хт(г) прн г з а (это условие фактически определяет нормировку в.ф. Х(г), нормировка жс функции Хз(г) определяется сс асинптотнкой: Хз(г) ы 1 при г > е), при Ьа Пвк ртшсикк считать ллп пресням, что У и В при г > а, а — рази!с пстскпкала.
Утывплснис задачи сотрзнтстся и лля пемншмлов, убывающих пеи г то бнствсс, чсм 1т 1/г . й сэшк с ьзаачани 421 и 4.2а сн. также 13.49. б 2. Состояния с молой энергией с6язи зтоы Х(а) м е '" — ! н Х'(а) ш -ке "' = -к. в результате интшрироваина получасы -к = Г Х(г)«о(г) бУ(г) бг+и / «(г)«е(г) бг.
(3) к ш / (-бУ) Хе~(г) бг, о а с иин н вырюеение для савино уровня, приведенное в условии задачи. Для б-потенпиела уровень с Е = 0 возникает при значении а = ао таком. что шаоа/Д' = 1/2, сн., нвпринер, 4.26. Прн этом ьф. в помене юзникновенил уровня икает внд: Хо = 1 при г > а и Хо = г/а при г < а, а бУ = -(а — ае) б(г — а), Соответственно сдвиг уровня прн калан а — ао > О равен М 11 2 Г/, 1 2ш бЕош — — !16! 6У«обг~ = — — (а — ао) о что совпазает с результзтон точною решения, см.
4,6 е), В заключение приведен еше один вывод формулы для сдвига уровня, основанный на соотношении (1.6). Дяя этого запишем потенпиаз в виде У(г) = Уо(г) + Л 6У(г), шс Л > О. Прн этом энергия уровня 6Ее(Л) ш -йзк'/2яз ташке зависит от Л, причен 6Ео(Л = О) = О. Согласно (1.6) ннеен — бЕо(Л) = ~бУ(г)«оз(г, Л) бг, д дЛ (4) о где хо(ш л) — норнироваиная иа слинииу в.ф. этэ функння просто связана с хо(о ): Хо(о-! Л) ш С(к)е Хо(г) действительно, прн г ж а функиии хо(г, л) лишь множителем отличается от хо(г) (при этом е""' ы 1), з при г > 0 имеем Хо(г;Л) = С(к)е™ (при эюи Хо(г) !). Дзя норннровкн в. ф, Хо(о-! Л) следует выбрать С'(к) ш 2к (доыинируюшую роль в нарыировочиом интеорзле играет область г !/к » а, в которой Хо(г,Л) = С(к)е "').
С учетом сказанного (4) приникает вид б йзк бк — бЕо(Л) ы — — — = 2к г/ 6У(г)«о(,) б . ОЛ ОЛ о Интегрируя зто соотношение к(Л = 0) = 0), находим к(Л) 7 Л ) 6У(г)«о(г) о Отсюда при Л = ! и следует выражение шш сдвиге уровня. 4.28. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи иа случай ! ы 0 имеет внд оо 6Е, = ~ бУ(г)(Х, (г)) бг, е В первом из интегралов в (3) кожно положить Х вЂ” Хо и затем устремить а аа. Второе же слатаенае справа, сс к, кожно опустить (оно нала по сравнению с к в левой части). Таким обРазом находим Глава 4.
Ддихсение О центральном поле где Х, — волновая функция в момент возникновения уровня (Ф ) = », )( /г) (о) (с (с) (с) 2 нормирована рке обычным условием ! (», ) бг = 1. о Обратить внимание на различные законы углубления уровня, бЕ( с( бУ н бЕо ш -(бУ)2, под влнянмем возмущения в случаях 1 ть 0 н ! = О соответственно. применить полученный результат к б-потенциалу н сравнить с точным решением, см. 4.9а). Решение. Зы(ача решается аналогично предыдущей.
Хотя теперь уравнение (1) этой задачи нзмсняются за счет членов с центробежной за срп(ей, соотношеннс (2) сохраняется н при ! Ф О. Проинтегрировав это соотношение по г в пределах от 0 до оо, получасы »((г)»( (( ) бУ(г) ф +» / » (()», (г) 4 = О. В существенной прн ннтсгрнрованнн в (1) области ( а имеем», ш», (прн ! = 0 (о) во втором ннтв(ралс такая эвмсна нс опраыына нз-за возннкающсй расхаанмшчн). Прп этом, нмса в внлу нормировку ) (», ) й' = ! дая в.ф. »,, сразу находам значение к(, (о) 2 (о) воспронэышяшсс приведенное в условии задачи вмрюкснне даа сдвига уровня. Отметин, что раж нчнс законов углубленна уровней паа со пан нем возмущенна: бЕ ы бУ прн ! Ф 0 н бЕ и — (бУ) прн ! = 0 отражают то обстоятельство, что прн ! м 0 состояние с Е = 0 является истинно с за ванн мм ссстоа пнем н ему отасчаст нормируемая на единицу в фз в случае жс ! = 0 это нс так — в.ф.
нснормнрусма. Фнзнчсская прнчнна такого различна связана с наличием центробежно(о барьера, препятствующего *уходу» частицы на бесконечность. Для б-потенциала в момент возннкновсння слпнствсннрго уровня (с данным !) имеем 2глаоа/Л' = (2) + 1), см, 4.2б; там жс привалена нормированная а.ф.
в момент возникновения уровня. Прн этом бУ = -(и — ао) б(г — а) н энсрп(я уровня при мазом (а — ао) > 0 оказывается равной бЕ(му! бУ(»( ) бг =— Г (о) ' (21- 1)(2(+3) (а-ао) 2(и+ Π— ! оо О, что совпаласт с результатом точного решения, см. 4.9 а). В заключение отмстнм, что прн ! )( 0 выраженно доя сданы уровня имеет внд формулы тсарпн возмущснпй 1-го порядка по взанмадойствню бУ(г), см. (УП1.!). Отметим такжс сщс олин простой вывод выражения дая сдвига уровня, основанный яа использованпн соотношения (4) нэ предыдущей задачи.
Ток как прн ! Ф 0 в. ф, », '(г) нормирована (о) на сднннну, то в области г 5 а, вносящей основной вкяаа в значсннс инте(раса в укшвнном соотношсннн, можно положить»2(г(») ы», (г) (сравнять с ! = О, когда функции»о(г: ») (о) н»о(г) имеют раж(энную нормировку(). Прн этом соотношсннс (4) нз 4.27 сразу приводит к выражению дха сдана( уровня. 4.29.
Найтим) сдвиги энергетических уровней частицы в центральном поле У(г) под влиянием потенциала нулевого радиуса (п. н.р., см. 4.10), считая нх малыми по сравнению с расстоянием между невозмущеннымн уровнями. Спектр и собственные функции оператора Гамильтона для потенцнала У(г) считать известными. Указать условие прнменммостн полученного результата. В качестве нллюстрацнн рассмотреть его приложение к задаче 4.1!. Решение. Под влнянисм п.н.р. пронсходнт сдвиг лишь о-уровней, Нормированная радиальная в. ф. нсвозмушснного состояния прн малмх г нмсст внд Е )(г) ю Е( (0).
Обозначим через Ь расстоаннс, нз котором сшс можно считать функцию Я„')(г) постоянной (значение Ь (о) 'О) Па (отэонттмм о зоаочох 4,29-2! оапиооон он. токае ((.4 н 9.3. р 2. Состояния с молой знергие(1 сдязи 1ВУ Рнс. 22 ),з ( — [Х(.'УХ.- ХР)Х'.[ [ = ДБ. ~ Х(й(г)Х.(г) Дг. (3) Левая часть алесь равна йзЯ(, (0)/2поао.
В правой части можно заменить Х„(г) на Х'„)(г) (О)2 (0) (такая замена не оправдана прн мавых г, но зта область не вносит существенного вклада в значение интеграле), так что ннтсюРад приближенно равен еднннпе. Таким образом, нз (3) следует нскомое выражение лвя сдвнге уровня: йт!!(од(0) йг ДБ» щ щ 2л — (Ф~~)(0)) ао, (4) 2тао т Здесь ао щ 1/ао — длина рассеянна на п.
н. р. (см. 13.20). Отметим, что приближенно (4) лля сленга уровня называют формулой теории нщмущеннй яа длине рассеяния. Зтп формула пРименима н в случае непентразьиых потеннналов ()(г), см. 4.3! а темке 8.6!. Рассмотрим применение фоРмУлы (4) в Условнях эащчн 4.!1. Прн этом (2 . (О) а г -О а '0) прелпалиаегсэ, что го(г) 0 прн о О. Лла бмвн сннтуэярныа патснннжюв аснмонстнка (() мавпфнннрусюя н граничное условно нз 4.Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
