Galitskii-1 (1185111), страница 30
Текст из файла (страница 30)
он переставляет слиновые переменные обеих частиц (задача состоит в том, чтобы выразить С через матрицы Паули). Решение. Запишем спнновую функцию системы в виде Ф,зла, Ф и Ф д + Ф д' "да Ф и Имен в визу характер симметрии функции Фзз,, эзмсчвем, что Ф "д отвечает суммарному спину Я = 1, в Ф,з — значению Я ш О (срввнить с (5.!1)).
Поэтому В'Ф»д ш 2Ф+ н соатвстстзенно г Ф., = Ф., - - 8 Ф, 2 Согласно определению С, имеем СФ,з = Фн, = Ф,з — Ф,з. Иэ орин»денных выше соотно- шений сЛедует — ! = -(!+У Ут) 2 (о связи операторов 8' н У, гг, см. предмвушую эашму). Отметим свойапм оператора С. Это — эрмитов оператор. Слнновые функции Фз (8— суммарный спин) являютая аю с,ф., в соотвататвуюшиа с.э, равны +! прн 8 =! и -1 прн Я = О; очевидно, также С' = 1. Глава б.
Слои 122 5.14. Для системы иэ двух частиц со спином и = 1/2 найти собственные функции и собственные значения операторов: о) р! = л'(а+ ЬУ!Уг), г(л) — некоторая функция к; 6) рт = а(У„+ о„) + Ьа, У т; 8) (гз = аУ1,Узт+ЬУ!Ут! г) )ге — ш а!У„+азУгт+ЬУ~Ут (параметры а и Ь вещественны, так что все операторы (Г эрмитовы). Решение. Напомним сначала, что о ~У! = -3 + 2$, 8, = (ам + ем)/2.
а) Спиновые функции Фг являются также с.ф. оператора / = а+ ЬУ, У,, отвечающими с.з. /г = и - ЗЬ+ 2Ь8(8+!); соответственно с.э. оператора К равны (И)з = 8(/з). б) Сливовые фУнкции Фзз, пвпаютса с.ф. опсРатоРа тгт, отвечающими с. з. (Рт)пг, = 2в8, — ЗЬ+ 2Ь8(8+ 1). и) Так как Уолт, = 28~ — 1, то, как и в 6), функнии Фзг, явлаютсп с. ф. Уэ, а с.
з. Равны (Уз)гг. = -а + 2орт — ЗЬ+ 2Ь8(8+ 1), г) Найлем еил операто1ю 1 1 И = — (е, а ат)(У!, + Уз ) 4. -(е, — вт)(рп - Уи) + ЬУ|Ут а 88,-представлении, тле он ааляетса матрицей с элементами (88,(35(88,). Испсльзуи в матричных элементах следующую нумерацию состояний„опрелспяемых квантовыми числамн 8, 8,: (8 ! 8 !) 1. (! 1) 2, (1,0) 3; (0,0) 4 и учитывал явный вид спиновых функшгй Фзз, (см. 5.10), находим А 0 0 О Д а!+вт+Ь р 0 В 0 0 В=-е~-от+а, О О С В ' С=Ь,Р=-ЗЬ, 0 0 В Р В=В'=е> — ет.
Унитарным преобразованием зта эрмитова матрица может быть приведена к диагонапьному виду, непосредственно определяющему ее с. з. Из вида матрицы Рп легко заключить, что дпа ее с. з. равны (тп), = А н (К)т = В, и им отвечают с.ф., равные Фз-ьп,-! и Фь 1, соответственно.
унитарный оператор (матрица), диагонапиэуюший ры «перемешивает лишь ссстоппин с квантовыми чиспамн (1, 0) и (О, 0), и звпача отыскания двух других с.з. сжшитсв /С В~ к лиагонализации двухрядной матрины ~ . /. Зги с э. легко найти, если учесть, что прн уиитарнык преобразованиях след и детерминант матрицы нс изменяются (см.
1.51); отсюда получаем 5.15. Спины )т/ частиц, равные п каждый, складываются в результирующий спин 8 = дгз. Какое при этом суммарный спин любых 2, 3,..., и частицу Имеет лн спиновая функция определенную симметрию по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух частнц7 Ршиепне.
Спин любых п частиц имыт опрелеленнсе значение, равное пг. При этом си иновал функция симметрична по отношению к шаимной пе!мстановке спииовых переменных любык двух частии (сравнить с 3.30). Если же 8 С Лт/2 дла и = 1/2, то при Лт > 2 спииовал фуикцив уже нс имеет определенной симметрии при перестановке любых двух частиц (см., например, 5.19). 124 Глвеа б. Спин множитель С = 3 '!' введен лля нормировкм. Из (1) следуют искомые вероятности в состоя- нии с У = 3/2 и У, = 1/2: в(1, = 1) = в (з, = --/! = -, в(1, = О) = в (з, = -г) =— и сред«ис значения 1< = 1/3, з„= 1/б (2, = !, +з,).
Записав «апиновую функцию для состояния с Х = 1/2 н Х< =!/2 в вкас ° - (!)(() - (~) М и васпользошвшись ортоганэльностью се к Фггглл, накопим значения С, = л/2/3, Сг = -Л/!/3 (с учетом нормировки), а с ними искомые вероятности в состоянии а У = 1/2, ,1, =!/2: в(1, = !) = в з, = --) = —, в(1, = 0) = в (з, = -/! =— и средине 1, = 2/3, з„= -1/б Результаты лля состоянии с 2, < 0 могут быть получены аналогично и представвяютсв очевидными, 5.19. В системе иэ трех частиц со спинам з = 1/2 имеется восемь независимых спииовых состояний. Произвести их классификацию по значениям суммарного спина системы.
Найти полную систему спиноаь<х функций Фзэ„ опись<вающих состояния с определенными значениями 8, Я, суммарного спина. Обратить внимание иа карактер симметрии этих функций по отношению к перестановке спиновых переменных частиц и сравнить со случаем системы из двух частиц. Ревенае. 1) Возможные значения сумнарнаго спина: 8= 3/2 и 1/2, Теперь набор а. з, 8 = 1/2, 8, явшстся вырожденным в том смысле, что прн Я = 1/2 и паннам 8, имеется дев независимых спиновых состояния.
2(едствимльно, значение Я = 1/2 может быть получено двумя независимыми (при данном Я,) способами: !) пумм сложения спиноз первых двух чвстип в их !мзультирую<пил спин Я,г = О. при этом значение полного спина системы определяется алином третьед частипы, 2) путем сложения Результирующего спина Яп --! со спинам третьей частнпы в суммарный спин Ям 1/2. Так квк чиано независимых спинавых соагоянип при данном Я (в огаугствии вырождения по Я, Я,) равно 2Я+ 1, то абшес число независимых спиновыл состояний равно (2 3/2+ 1) +2(2 1/2+ 1) = О, как и следует.
2) Вил апиновых функций Фз <газ, ь<Г< очевиаен: ф<Г<,гтг = (Р) (0) (Р) фэд-<Г< = (1) (1) (1) . Также без вычислений можно указать спнновые функции лля 8 = 3/2, 8, = ж!/2, имея в виду их симметричность по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух частиц, лля которых их рсзультируюшид спин Равен 1 (сравнить а 5.! 0): 'ц" вЬ(('),('),('),.
('),('),('), (') ('),(')3 „, " - =л(('),('),('),. ('),('),('), ('),('),(')3 Далее, сали спиноеэя функция отвечает рсзультируюшсму спину первых двух частил, Равному Яп = О, то она, очевидно, описывает состояние с Я = 1/2. Поюаму ф<Г<.<!<в,/2 ~(О), (!), (1), (О),) (О), »л-Цг- „2'((0) (!) (1),(0),) (!),. б 2. Спин-орбитальные состояния частицы со слоном з = 1/2 12$ Вторую пару функций Фц, „, „линейно незьвисимых по отношению к (3), можно найти, р> рассмотрев состояния с результирующим спнном 8и ш О второй и третьей частиц: (4) Отметим, что хил функнни (3) и (4) линейно независимы, они прн саннаковых значениях 8, не яакяются ортогональнымн. Наиболее обшая спиновзя функция состояния с 8 = 1/2 представляет суперпознпию фуикпий (3) и (4). Читателю предхагается рассмотреть состояние с результирующим олином 8п = О, также отвечающее 8 = 1/2, и убсднтьсв в том, по соотвстсгвуюшзя функция вырюквстся через функции (3) и (4].
В заключение отметим, что спиновые функции состояний с суммарным спнном 8 = !/2 не сблааают определенной симметрией по отношению к перестзновке спиновых переменных любой пары частиц. Так, хотя первая из функпий (3) антисиммьтричнв при перестановке спнновьш переменных ]-й и 2-й частиц, при перестановке 1-й и 3-й частиц она переходит совсем в другую функцию (з йцг, ~гг). и> $2. Спин-орбитадпныв состояния частицы со спиноы в = 1/2. Выса!ив спины 5.2(]. Состояния частицы с определенным значением Л проекции спина на направление импульса называют слирояьнымиь!.
Для частицы со олином з = !/2 найти волновые функции Фм,» состояний с определенными импульсом рз н спиральностью Л = ж!/2. Решение. Укаэанные функции легко найти, имея в визу результат закзчи 5.3, см. также (У.4): с'мтв / соз (д/2) (2вй)ттт \ «'Эз!п (й/2] / е'з"Л ( пи (д/2) (2яй)хп \, -ефсеь(Е/2) здесь д, р — наварный и азнмугьзьный углы вектора рз. 5.21.
Для частицы со спнном з = 1/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции р!П-состояния (т.в. состояния с ! = ! и полным моментом 3 = !/2] имеет вид Ф = (оп)у, нли Ф» = о «лпуй, ГДЕ т = !ч б г! — ПРОНЭВОЛЬНЫй СПИНОР, НЕ ЗаВИСЯЩИй От НаПРаВЛЕНИЯ ВЕКтОРа П (П = Гп3 г/г или и = р/р, в зависимости от используемого представления]. Нормировать иа единицу зту волновую функцию.
Каково распределение (усредненное по спину] по направлениям импульса частицы в укаэанном состоянии? Вычислив среднее значение ], выяснить, как этот вектор зависит от конкретного выбора спинора т. Найти вид функций, описывающих р!Н-состояния с определенным значением 3, = ж!/2. и Отншнн, что тзк «эк ьькьзр импульса — яшшрхнд з спине — акгхагьхнй, те еписьчьнасгь является псепхккззьриез зззкчиноя и ьрп янзереии координат изменяет зиэк. 126 Глава б. Спин Лвюяиие.
1) Подействаеав на указанную функцию оператоРом уз, приходим к выражению (Т+ У/2) (Уа) Х. Учитывая соотношение'1 [уа Уп] = О и равенство ТХ = О, привалим зто выражение к виду (Уп)(У/2)'Х, нли (3/4)(Уп)Х. Отаюла следует, что~/Ф = (3/4)Ф, т с. 3 имеет определенное значение, рваное 1/2. То обстоятельства, что указанная фуикиия отвечает значению 1 = 1, следует ю ее линейной зависимости ат вектоРа л (сравнить с (Ш.у) н 3.42). 2) Твк квк Ф'Ф = Х'(Уп) Х = Х'Х = соаз! и не зависит аг н, то распределение по направлениям импульса (нли радиуса-векпхщ) является изотропным, как и в случае з.состояния, а условие нормировки / Ф'Ф г/й = 1 будет выполнено при Х'Х = !а(т + (Ь(~ = 1/4к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
