Galitskii-1 (1185111), страница 34
Текст из файла (страница 34)
условие зэлвч и), следует, очевидна, в (2) считать а, направленным вдаль осн з. Так кик гэб+ г ]У, (В ы О)] м д— то теперь наладим рны = б,ьб чь. Этот результат имеет нягляпный смысл. Ои оэничаст, что проекция спина чвстипы нв ниправлсние в имеет определенное, равное нулю значение. Это непосредственно следует нз сохранения момента: в условияк заавчн (2 = О) проекция б на любое направление равна нулю, а твк квк праскюы орбитального моменте нв нвпрввлсние в всегда равна нулю, та, следовательно, и проскцяя спина нв это нварвэленне также рвенв нулю. ~вямашм, чза ярннсрэмя аэсаидаэ тяяага тяня, нятмнх с несазрзненясн чмнызн, яньяямся рисиэды гяигреюэ ни нуклан я пнан, яиаркмср, л ри.. Чнгитслю пасывгаскя свмасгаязгльно яакязять, чза ь таяня аясяяяя» нсааяярязазввнмз чэсгнц у нукяаяя «азяякяст яаляанзязшя, аааяз» 2 ас аэ' (я)Ть )э)з я 3.
Слинобоя /лоляризоционноя/ матрица ллотностн $.35. В условиях предыдущей задачи частица В в свою очередь распадается на дее бесспиновые частицы: В Ь+ с. Найти функцию распределения по значениям угла Т мшкду векторами р„— импульса частицы а а системе покоя Х н рь — импульса ЧаетИцЫ Ь В СИСТЕМЕ ПОКОяи1 В (таК ЧтО СОЗТ ш р,рЬ/р,рэ), ОПНСЫВаЮщуЮ КОррЕЛяцИЮ иежду направлениями вылета этих частиц.
Решение. Прсскпив спина чвстипы В иа ось з, направленную ааоль вектора ае = р,/р„ равна нулю. Соответственно в снсгеме покоя этой частицы, частицы Ь н с (после распада) имеют орбитальные монент 1 = 1 и его проекцию 1, = О, в их угловое рвспрелеление онисыевеюя выражением — = )Ри(п)( = — Р, (ваг) бш, 21 +1 бй» ев (таксе же рвспрелсление слевуег из результата 5.32, если дпя матрицы штотносги рмч шхпользоваться ее вилем, установленным в пункте б) пред мвушей задачи).
Твк как )Р (соз В)( ( 1 н Я(Ы)( = 1, то часгиеы в распаае В Ь+ с вылетают преииушественно ааоль (по или против) импульса частицы а (при 1 м 0). 5.36. Установить соотношение между спиновыми матрицами плотности Р(" 11(п) частиц а н Ь, имеющих спин 1/2 н образующихся в распаде Х а+ Ь бесспиновой частицы Х (вектор и направлен вдоль относительного импульса частиц а и Ь). Обсудить случаи, когда о) четность в распаде сохраняется; б) распад происходит с иесохранеинем четности.
Решение. Спиновые матрицы плотности имеют вид Р ' = -(1+ Рвам) 2 (они описывают спиновсе актояние одной из частиц в случае, когда проведено усреднение по спниовому состоянию Лругой). В силу сферической симметрии рассматриваемого постелив (2 = О) векторы поляризации Рчь = бььа мшуг опрелелвтьсв елинсгвенным вектором а, Такое соотношение мсжлу вкснааьным Р и полярным а векторами, неинввривитное по отношению к инверсии кпорлинат, мажет ииеть ивето лишь при несохраиении четности в распаде. Если чстность сохраняется, то бвь = 0 и спиномю состояние кюкаой нз частил яюяется полностью неполяриюевнным.
При несокрвнении четности в рвслвле, жюбше говоря, пврвмстрм Ель м О, но иежву ними существует соотношение (, = -(ь. 2(ействительно, твк как / = О, то проекция,г, нв любое направление равна нулю. Рассмотрим теперь срелнсе значение прсскнии полного момента Х =4,' +з +1„= 0 нв направление и. Так квк 1„н О, то з„' = -з„и соотвстсттнно Р, = -Рь (так квк Р = 2з). 1> 1ы Примером рассматриваемого распааа, илушето с несохрвнсннем чеппхти, является эм-рвспвл: е+ гг+ + н. В этом распахе нюон н нейтрино полностью поляризованы, Р = 1, вйтипвраллсвьно своим импульсам. т'10брэтхм ьвимеиве нв то, что мегеры р и рь опрслслсим ле атиомсихю к пьэлхчиым системам емчФзь.
ГлаВа 6 Изменение состояния во времени ЫЧ Г) = мФ(Ч 1)~ д д1 (Ч(.1) а операторы динамических переменных: коорлинат к, импульсов рг, спина в, от времени не зависят. Если гамильтонивн не зависит явно от времени, то волновая функция системы может быть записана в виде разложенная Ф(Ч, 1) = ~ с(Е„)е ' му Фв,(Ч) л по полной системе собственных функций Фв.(Ч) гамильтониана (описывающих сгпаималарлые еаставмил). Коэффициенты в нем однозначно определяются заданием волновой функции в начальный момент времени с(Е„) = / Фл„(Ч)Ф(Ч,1 = 0) Йтс.
(Ч(.3) Если некоторой физической величине р сопосшвляется квантовомеханический оператор р ш Г (Ч р 1), то оператор, соответствующий физической величине Г ш с(р/сй (производной по времени), определяется соотношением - - д~ У=-.г = — + — ~Н,У]. дг А (Ч1.4) Физическую величину, для которой р = О, называют интегралом двмэкелилз>. Времеиийя функция Фина С(Ч,1;Ч',г), удовлетворяющая уравнению Шрбдингера по переменным Ч,1 и начальному условию С(Ч,Г = ги,Ч',д) ю 6(Ч вЂ” Ч'), позволяет записзть решение уравнения (Ч(.1) в виде Ф(Ч,Г) = ~а(Ч,1;Ч',О)Фе(Ч') Ы,, (Ч(.5) по разллчных способах (прслставлсннлх) оппсанп» сремсннеа ззолюпн» квантовомсхзнпчесюа снсюм говорят такне как о сос пмтствуююнх кермлвлт гевлселел.
Л По помюу формы запнсп развомснп» см. полстрочпос прнмсчанне на сэл. З1 Длн тзкнх вслнчнн с|юктр собспмнных значснпа н рвспрслслснлс мх мроатностеа в пролззоланом сосювннн пе завнснт от врсмснн. Измененме во времени состояний кваитовомеханических систем может быть описано несколькнмн различными способами. В гарвдимгермскам пргдсталлепип и виновая функция (вектор состояния) изменяется во времени в соответствии с уравнением Шредингера б !. Предстадлелае Шредингера.
Дбижекие долкобе«х локетоб 139 где Фе(9) ш Ф(9,1 = О), При не зависящем от времени гамильтониане для функции Грина имеем 6(0,1; 9,1) =~~ е ' '' С/"Фп (0)Ф' (0') (З«3.6) ч В частности, лля свободной частицы, Й = р з/2тп, временнбп функция Грина имеет вид (ЪЧ.7) В гейзекбергоескон лредопаеггкиа, наоборот, от времени не зависит волновая функция системы, а врсменнбя зависимость операторов динамических переменных определяется уравнениями' ! — ег(1) ю - [Й, 9;(1)], — р,«) = - [Й, р,(1)], д с — А з «й'й'''«М'й (Зг(.8) причем гамильтониан Й[«ССС), р«), 1) выражается уже через гейэенберговские операторы 9(1), р«), удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению [р,«), тз(1)] = — сйбп.
Теперь соотношение (З«(.4) является уже не определением /, а непосредственным следствием (ЪЧ.8). Шредингеровское и гейзенберговское прелставления лля описания временнбй эволюции системы связаны унитарным преобразованием; Ф(удг) = Й(1)Фг(д). Если гамильтониан не зависит явно от времени, то Й/(1) = ехр [-СЙС/й) и соотношение между операторами в этих представлениях имеет вид Уг(1) = е'~'/~вше '~~/~ (М.9) Еше одна картина двшкення, так называемое лредсжаелекие еювмсдейстеив, рассмотрена в задаче б.30.
91. Представление Шредингера. Движение волновых пакетов Б.1. /(ля указанных ниже систем и их волновых функций Фе в начальный момент времени « = О): 1) частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины в н Фс(х) = А пп (Сгх/е) при 0 < х < е; 2) ~~~~к~~~ ротйторй н Фе(«г) = А з«п йч 3) сферического ротатора и Фе(д, р) = А сов!0 найти волновые функции в произвольный момент цэемени.
Показать, что через некоторое время 2' рассматриваемые системы возвращаются в исходное состояние. Решение. Отзционзрнме ссстяниз этих систем были Рассмотрены в 2. 1, 3.2 н 3.3. Восполь- зовавшись (у3.2), нахслнм: !) Ф(з,1) = (А/4)с '(3зСп (зс/е) — с з"'з«в (Зз*/е)), ш = к~а/2те~, 2) Ф(р, 1) = (А/2) [! — схр (-21аг/2) .
соз 2р], 3) Ф(д,С) = (А/3)[!асср(-ЗСЬС//) (3ссззв — !)!, «учтсбм рзззвчмз невель«у«нес пр«лстгззснхс (кзвтвну лзюксннз), у опер«торез звизнвческнх счрсисвинх з мвмнбсрювсюн врнюшвпзпчн укззммсюз ез их зсснчччСю зззисинссгь: 8(с), р(с). Обозначения с, р сехрзняююл злв оссвзчерсз з юрбзиигсзчзсксн пвчзстзззснвв. Обычно связь зпм прсзстззлснвй зваштск тзкнн сбзззси, чзс псп с = е сссюс«сюуюми«операторы и зслнсвнс еункввк сесюзкчй ссзпзззют, срззнччь с (тг.9). Глава 6.
Иэменение состояния Во Времени (дял определения коэффициентов разложения в. ф, Фь по с. ф. »анильтониана удобно воспользоттьсв известными тритиомстрическнми формулами, не прнбепм к (2»3.3)). Через время 2', равнгм: 1) та»/2хд, 2) х1/Л, 3) 2к1/ЗЛ, рассматриваемые системы впзврашаются в исходные состояния (чнттлю предьагаетея СамОСтоятеЛЬНО Обсудить вопрос о периодичности авижеиня» квантовомеханическнх систем в общем случае). 6.2. Состояние свободной частицы при С = б описывается волновой функцией хз зр х) Фс(х) = А ехр С вЂ” — Ф вЂ” 2. 2а» Л Решение.
Разл»яким в. ф. Фс(*) по с. ф. пператпра импульса, яштюшимся также с. ф. гамиль- тоииана своболной частицы»: Фь(х) = / с(р)Ф2(х) Вр, Ф (х) = (2хЛ) '2»е'г*н, Используя значение интеграла Пуассона, находим с(р) = /1 Фь(х) Фг(х) Ях = — ехр 1- ад Г (р — рс)а 1 ,/Л 1 2Л» (1) Теперь, воспользовавшись (У3.2), пгмучаеи ср»с 1 Ф(х, С) = / с(р) сз р (- — 2 Ф (х) Яр = 2Л1 ГЛС '-п»а Л (х-нсг) +»Л х С+»а »п сса(2х-сьг) ' -»р 1 2 2 4 2 (2) / д!+ — ~ ехр( п»а2 2т(а4Л1+ РЛ»4/ 2) тле ас = рс/»п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
