Galitskii-1 (1185111), страница 29
Текст из файла (страница 29)
й), 2 2 где В, р — полярный н азимуглльиыя углы направления о. Используя явный внд матриц Петий (У. 2), имеем 1 (' созВ е 'гяпр') 3 (1) 2 ~е'из!яр — сгнВ / I!'! 2) Значение и, в состоянии Фа пт — — ~0) равно Анаэагич«о дия состояния с з, = -1/2 находим и„= -сазВ/2 (отметим, чта сост»аше- нис и, = з, саз В аналогично результату ЗЛ 1). Обозначим ю(+) вероятность значения э, = +!/2, при этом ю(-) = 1 — ю(+)— вероятность значения з, = -1/2.
Учитьишя, что э, = в, соз В, находим з, = ю(+) — +ю(-). ~--) = -[2ю(+) — 1) = з,созб, 2 ч 2) 2 1 1 ю(+) = -(1+ 2и, созВ), ю(-) = -(1 — 2и, сот В). 2 * ' 2 (2) 5.3. В случае спина з = 1/2 нормированная волновая функция наиболее общего спииового состоянии имеетвид Ф = ~,Л , ), где 0(я ~ (у, 0 (/у (2п. Найти (,е' япо)' полярный и аэимугальный углы такой оси п в пространстве, вдоль которой проекция спина имеет определенное значение, равное + 1/2 (воэможность указать такую ось для произвольного состояния — специФика спина з = !/2; сравнить с результатом 3.42 для момента Ь = 1).
Используя полученный результат, решить задачу 5.1. тат Решение. 1) Наплем сначала с.ф. Фь ~тт = 1 Ь) оператора праекпли спина Иа НаПРавлеине в. Используя явный вид оператоРа э„установленный з предызушея эахаче, из уравнения на с.ф. 1 эиФ,, цт = - Фашд 2 получаем соотношение а яп(9/2) = Ье "'сш (В/2).
Отсюда, выбрав (лля нормировки на 1) а = саз(9/2), иахолим Ь = е'"яп(В/2), тзк что спнновая функция Ф ~тт принимает вна, указанный в условии задачи; яри этом В = 2о и р = б опрсделвют искомые палярнып и ззимугальныя углы. 2) Выбрав В = 2о = х/2, р = !У = О, находим с. ф. Ф,, Пт. При 9 = я/2 и р = я шшучзсм а ф. Фь нт, и т аз сравнить с результатами из 5 1. 5.4. Показать, что коэффициенты в разложении произвольной квадратной матриц!и 2-го ранга А по полной системе матриц 1, й„йг, й;! А = ае ! + аеУ, + оий„+ а,и, ш аз+ агг (1) рваны 2аз = Зр А, 2а = Зр (ю А). з1 С точностью аа батавию ииажиггзя гп. 11В Глава З.
Спин Решении, Взяв мяур от обеих частей соотношения (1) и вхпольтовавшись тем, что брй, = О, ЗРТ= 2, находим ! аь я — ЗрА 2 2(злее, умножив обе части (!) нз матрицу р, справь, оппь вмчмглнм шнур. Используя при этом соотношение (У, 3), находим 1 аь = -Зр(Ааь) = -Зр(рья). 2 2 $.$. Упростить выражение (вУ)", где а — вещественный числовой вектор, и — целое число, а" — матрицы Паули. Отбет. (эУ)" = а" 1, если и четное, и (ад)" = а" '(ар), если и нсчетисс. $.$. Найти: !) собственньге значения и собственные функции оператора / = е+ ЬУ; 2) явное выражение для оператора вида Р = Р(а+ ЬУ); здесь а и Ь— вещественные скалярный и аекторшяй параметры, Р(з) — достаточно произвольная функция переменной з. рассмотреть в качестве иллюстрации оператор )ь(грв) = схр(т(рзУ/2), описывающий преобразование спинозой функции, Ф' = Я(угз)Ф, прм повороте системы координат ма угол грз, и с его помощью найти собственные функции Фн=ш/г оператора проекции спина иа направление вектора а (сравнить с 5.3).
Решение. 1) Оператор имеет всего двв с. з., рввнмс /, г = а я 6. Соответствующие им с.ф. опредслякггся результатом из 5.3, причем теперь в = АЬ/Ь. 2) Вид апсрзтарз Р = Р(/) гдшуст нз результата 1.22: ! Р = — [Р(а + Ь) + Р(а — 6)1 + — [Р(а а Ь) — Р(а — Ь)1 Ьи. 2 2Ь 3) В частности, оператор поворота примет знл Я(тзз) =соз(рз/2)+нбп (уь/2)'((!рз/рь)й). 23табм спинавмс функции Ф.
ьц, В Результате вРзшения системы каопдиивт псРсшзи в Фа=а нг, вектор рз слелует вмбрвть равным рь = (р яп р, -р совр О), см. 324, где р и р— палЯРнмв и ззммУгзльнмй Угла векюРз и. пРи этом 22(Рт) = саз(Р/2) + тЯп (Ргь)(з!птмэ,— соз рр ), тзк чта / 1 '! г' соз (9/2) (" з) (~ О / 1, е'г т!и (Р/2) / в согласии с 5.3.
$.7. Используя закон преобразования спиновмх функций Ф = гт г! при вращении /!Ь, Ь системы координат, Ф' = 22(грз)Ф (см. предыдущую задачу), показать, что прн этом величины вида 8 = Ф Ф = ьг Ф! + ьггфг не нзменяюгса, т. е. являются скалярами, а вида У=Ф'УФ (млн 3ггш'( р'.(У!)арфр) а,р преобразуются как вектор. Ф 1. Спин вы !/2 119 Ре«иение. Из преобразования (пе = у«е/рь) Ф ° (, / = екр т >Ф» - > Ф = (соз — +» мп — пе«т/ Ф следует закон преобразования комплексно сопряженной спнновой функции Ф' = (р;, р;): ° / рс ..
рс (р«рт ) Ф ~сщ — — » з«п — н«й) . 2 Отсюда сразу накопим, что Ф" Ф' = Ф'Ф. используя (1), (2) и соотношение (и. 3), после простыл преобразований накопим Ч' = Ф" й Ф' = сов ум Ч - зш р» [«цЧ(+ 2 з>п ~ ае(е»Ч), 2 (3) что представляет закон преобразования вектора при ново>нпе системы координат на угол у« . В частности, при ве = (О, О, 1) (поворот относительно осн з) из (3) следует Ч,' = К и Ч» =сОьр» Р +з!пр» 1», 1» = — яв>»е г +со«ус !г». (2) 5.о. Рассмотреть матричный элемент вида'> г, (г»А~ 0>)1Ф(г>>В«Ф0>) шф(г>. „О> РИВ О> где А,  — некоторые матрицы 2 х 2, а Ф(">, Ф(' г> — спииовые функции. Показать возможность записи его в форме з С.
ГФ(г»Э >ФП>)ГФ(г>>Э >ФО>) «, ьы> с переставленными спииовыми функциями; здесь для единообразия записи положе- но ! »д Эо. Записать текин образом скалярные матричные элементы (Ф(г>~Ф(«>)(ФР>(ФП>) н (Ф(г> ! Э ~Ф(«>)(Ф(г> ! Э ! Ф0>) > Пол»сукном, что «весь инасксм > н 2 нумеру»п различим» спинозы, ь нс оатлкчкыс компонснты слнаа н тоа жс »пином«В функпнк> «> Т.е. поло:кить м «(ъ;9> - =А»вдт« Решение. Вырюкение А,»В„можно рассматривать как матрицу«> М,«( г, /!), зависящую от /> и т как от параметров, н зайисать ес в виде разложения « М.»(т«В) = ~, С(Ъ В)(и)«»« «с где значения С ( т, В) опрсаеля ются рсзулыатом 5 4.
Точно так жс можно раззожнть и С ( т, В). Таким обрезом, приводим к соотношениям А »В « = ч> с«(а),г(а«)» сь = ",'>,(й)м(й»)«нА лВ,« (!) ,«с вт« Используя (!), нетрудно получить (Ф>П(Ф>>)(Ф>П(Ф«>) ! ((Фгп(ФО>)(Ф>П(Ф«О) + (Ф>з(и(Ф>П)(Ф<З(Э(Ф>«>)) 2> (вэтом случае А л = б,л, В„= бы и Сн =б,«/2), в»экие (Ф«т> (й (Ф««>)(Ф<п (э (Ф>«>) = -!(3(Ф>т>(Ф««>)(Ф«п (Фг«>) - (Ф«т>(э(Ф<«>)(Ф>«> ! В(Ф««>)) 2 120 Глаза б.
Спин (в этом случае А е = (э),л„д.,г = (е~)тв и се! = 3/2, сь = -(1/2)бь для г, й = 1, 2, 3 и Сь = О, если г и й); обратить внимание иа скаеялянй характер всех фи!Урируюших в этих соотношениях матричных элементов, си. э связи с этим 5.7. 5.9. Найти пРоекЦионные опеРатоРы шго сыт Дла состоаиий с ОпРеДеЛЕнным значением проекции спина на ось з.
Какой вид имеет ик обобщение Рм-ь!/т на случай определенного значения проекции спина на ось, направление которой задается единичным вектором й? С помощью этих операторов найти спиновые функции Ф,.-е,/т и сравнить с (т/.4) и 5.3. Решение. Вид искомых операторов непосредственно сяелует из результата 1 35: 1 1жР, — 1жво 2 " 2 здесь а' = 1. Подсйствовав оператором Р„ц, нв произвольную спиновую функцию Ф, получаем с, ф. оператора у„отвечающую с. з, е, = 1/2. Выбрав для простоты вычислений =(О)-- Фн.о, = Срн „,Ф = -(1+ пр) ( ) = ( „., ), 2 (О/ (с ип(З2/' здесь Ю, р — пширный и азимугальный углы направления и, а значение С = (соз (р/2)) выбрано лля нормировки спинозой функции на 1.
$.10. Для системы из двух спиноз с з = 1/2 найти собственные функции Фзз, операторов квадрата суммарного спина и его проекции на ось з. Обратить внимание на характер симметрии этих функций по отношению к взаимной перестановке спиновых переменных обеих частиц в зависимости от значения Я. Решение. Вид спнновых функций лля Я = 1 и Я, = ж! очевилен: ' ш('),('), - =('),('), Далее, спиновые функиии с Я, = 0 имеют вид Фз з, е = Сз (0) (1) +Се' (1) (О) .
Из уравнения Втфм = 0 сяеэует, что Я,Фм = О, т. е. Я Ф~ ~(рыееф*т! ~СО (О) (!) +Се (1) (О) ш (СО +СЕН) ((0) (0) + (1) (1) ) Отсюда ь, = -сс, при этом из условия нормировки спинозой функции имеем Сс = 1/т/2. ш для определения с! ' в(1) в случае я = 1 удсбно воспольюваться условиеи ортогоиальиости п,г! с. ф.
(Фш ! Фи) = О, что дает Сг ! = С! !. Такни образом, нормированныс с.ф. Фзл имеют вид (г) Сп и новые функпа и имеют определенную симметрию по отношению к перестановке оп иковых переменных обеих частиц: они симметричны прн Я = 1 и антисянмстричиы при Я = О в соответствии с результатом 3.30 (имея ею в визу, вырюкснне (2) для Фз,з,=е можно было написать неиосрелственно без вычислений).
б 1. Слил з = 1/2 121 б. 11. Система нх двух свинов с з = 1/2 находится в состоянии, описываемом спинозой функцией вида Ф»д = Ф»ХР (мультилликативный вид Ф„д указывает на отсутствие корреляции между саяновыми состояниями частиц). Каковы вероятности различных значений Я суммарного спина в этом состоянии? Чему равно значение бт? Рассмотреть, в частности, случай, когда 3»» = Х„. Решение. Запишем алиновую функцию в вндс супарлазицни симматрнчиою и антисимме- тричного слвгвеммх; 1 Ф д = (р ха+ х»рд)+ ~(р хн х рз). (1) Имея в виду характер симметрии функций Фгз, (см.
предыдущую задачу), замечаем, что первое, симматричнае, слагаемое в (1) отвечает Я = 1, з второе, внтиснмматричное— значению 8 = О. Прн этом (считаам апиновые функции р, и Хз, как н Ф,з, нормированными нз единицу) норма камаого нэ этих слагземык олреЛ»вват вероятность соответствующеЮ значения Я, твк чта 1 1 Ш(8 — О !) — (Р Хд УХ РЗ)(Р Х»РХ РЗ) — -(! т ((Р(ХН ) энзк + отвечает 8 = 1; наконец 3' = 2ш (Я = 1). $.'г2. Для системы из двух частиц со санками з = 1/2 показать, что 1) оператор У,Ут в состояниях, отвечающих определенному значению суммарного спина, также имеет определенное значение, 2) оператор (У,Ут)т может быть представлен в виде, содержащем матрицы Паули У, т в степени, не выше первой.
Решение. 1) Твк как 8~ = (У~ + Уг)~/4, то У~Уз —— -3+ 28» = О и с ф. апаРэтоРз Вг являются также собстзеннымн функциямн и оператора У ! Ут, отвечающими с э., равным -3 (лрн Я = О) и +1 (лри 8 = 1), 2) Так как у зрмитоза оператора У, У, только двэ различных с. з., имеет место соотношение (У, У! — 1)(У,У, + 3) = О (сравнить с 1 21); отсювз (У, У,)' = 3 - 2У, Ут. 5,13. Для системы иэ двух часгиц со спинами з = !/2 найти оператор спиноеого обмена С, действие которого на спиновую функцию Ф„д состоит в следующем: СФ,Р гд Фл„т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
