Galitskii-1 (1185111), страница 28
Текст из файла (страница 28)
иэ соображений симметрии представляется очевидным, что оиа является функцией вила Св(Р, р') = /((р — р'(). При этом уравнение (!) прн р Р Р' и его ревгение имеют вид < 42 — + — — — и /(Р) ш О, /(Р) = сКе(ир), йрт Р ар (2) где Ке(*) — функция Макдональда (второе независимое решение, сг Уе(ир), экспоненцнально растет при р оо). Лля определения с проинтшрируем обе части уравнения (1) по кругу малого радиуса г с центром в точке р = р'.
При этом в правой части получаем единицу. Интегрирование второго слашемого в левой части (с и') дает нуль при с -ч О. Интеграл жс ст первого слагаемого преобразуем с помощью теоремы Остроцгадского — Гаусса: ~ОСвар = ~тус,йй. где е, > 0 — й-й нуль функции Бесселя Х (а) (в порялке возрастания еь„). В частггости, учитыяая значения еи ш 2,40 и оп ш 3,83, наводим энергии основного уровня Км ш 2,888'/Ре' (лля него пг = 0) н Км ш 7,33й'/Ре' — самого июкнего уровня с ((гн( = 1).
Отметим, наконец, что уровни, отвечающие гл = О, являются невырождеиными, а для (т) ть 0 — лвукратно вырожденными. 1!3 6 3. Системы с алсиильной симметрией В двумерном случае йг' ы йя, йя ы гй = п гй зтг. Твк как при л -т О имеем Кь(я) ш 1п 2/тв, то ЗгКг(хр) м -р/р' при р О и в резулыцте интегрирования получаем ггй с/Р = 1. твк что окончательное вырыкение для Сь имеет вид РКь(х)Р— Р 0 (3) ггдт 4.36.
То же, что и в предыдущей задаче, но для Е > О. Рассмотреть функции Грина сгл, имеющие асимптотики при р со вида расходящейся и сходящейся волн. (е) Решение. Рассмотрение, аналогичное проведенному в предыдущей задаче, приводит к следующему виду функций Вина: Сь (Р Р) = шг —,Ез "(х(Р Р П (!) где х = тг/2ре/й' > О, в еьгГЛ (з) — функции Гвнкеля.
4.37. Найти функцию Грина Сл((р, гр') плоского ротатора (см. 3.2). Рассматривая ее как аналитическую функцию комплексной переменной Е, показать, что она имеет особые точки — полюсы, и установить связь между положенивми этих полюсов е плоскости Е и энергетическими уровнями ротатора, сравнить с 2.26. Решение. Функция Грина удовлетворяет уравнению ЕСв ы — — 1 — ь х ) Св(р, и) =й(р-р), 22 ~Яр зассь х = т]ме/дт. Нз соображений симметрии очсвнвно, что сл является функцией впав Сь = Св((р — и'(). При этом из урввнеимя (1) при р р р' слелуст Сь = Ссоз [х)р — р')+а]. Значение С = 2/хй' мп а вытчкэт из условия сшиюния функции Св в точке р = р' (сравнить с 2.6), в величина а находится из усяовия равенства функции 1)жна и се производной по р в точках р -р' = де, соответствующих одной и той мс точке пространстве, и равна а = -хе.
Таким обрезом, Функции Гунна имеет виа з соз [х(р — и ( — хгг] Св(р р') =— (2) нй ппхгг Онв имеет полюсы в точках х = мт (пт — целые числа, гп = 0,1,2,...), т.е. в точках Е„= йзгпт/2/ плоскости комплексной переменной Е. При этом, квк н следовало ожидать, полакенпя полюсов совпалвют со значениями энергетических уровней рагаторв. 4.3(3. Найти функцию Грина Св(в, и') сферического ротатора, и — единичный вектор вдоль оси ротатора (см.
3.3). Задачу предлагается решить двумя способами: 1) непосредственно решая уравнение для функции Грина, 2) используя общий алгоритм построения функции Грина; см. (15, с. 136). Решение. !) Функция Грина являстсв решением уравнения гй г ' (Š— Е)Слы [ — 1 Е)Св=б(в — п'). [,2/ ттг Оврзшзьм виимзихс ие те, чю евт е (овт внсшнсв нермзти ) пьвпьхлнкулясен кенгуру иитсгрирееаихв. В лепной ззлзчс д=еяг==ряр=йяр (Р=)р-р'1=г) р 154 Глава 4.
Ддгокеиие д центральном поле /23 дэ Пь ( — з) ш ! -/! оп (ли) 1п д лри з = 1 — — — ь 1, 2 то, имея в виду результат задачи 4.35, находим значение с~ = -1/2Д' ип ви и окончательный внд функции Грина Л С = —, иэ(-ав), и = -- + ~ —, + -[ (5) 26'з!пви 2 Ч Л' 4/ 2) Нахождение функции Грина па общему методу сводится влаиноп задаче к вычислению суммы 3ш(а)1/ (п') Св(в, в) = э Б,— Я где Е, = йэ!(1+ 1)/21 — уровни энергии ротатора, У, — шаровые функнии, соатщтствуюнгие с.ф. шмильтониана.
Воспользовавшись теоремой сложения для шаровых функций (см. (П1.6)), выражение (6) можно преобразовать к виау 1 '3 (~ + 1)Р1(яв ) Св = (7) 2ябэ 1(1+!) — и(и+ 1) Испольэун также соотношение (см. [33. с. 1033[) / ! 1 т гг Е[ —— /Рг(э) = — Пь (-з), (В) г=с чи — 1 и+1+ 1/ эшли замечаем, что вмражения (6) н (7) совпадают с (5).
(6) и! Такая злвлошя лс случайна, твк квк оператор -Тэ является ллпласианом нв сбмрс, а малая часть сферы совазлвет с «лсатсльиаа шюскастьм. Прн этом «скгор л - вс приближенно перпендикулярен ле и !в — вс! и д лвллстсл сиасоюн лсрснснлой р. э'! Зчат рсэулывт лспю получить иэ нзыстного мютношслия (33) г Ф (сшд! = — 11 бд, сш (и + 1/2) Р ч/2(сщд - тай[ е эансчзл, чта при Е з ииэсгрзл раокыныя нз ырхисм пределе, и вычисляя сю расховящуюсл чьсгь. Из сааб!жжений симметрии представляется очевидным, что Ся является функцией вила Св ш Св(ап'), т.е. зависит только ат угла мехшу векторами а и и'.
Соответственно, выбрав направление полярной оси ис аваль в' и введя обозначения з = пас = сщ д, Е щ Лэи(и+1)/21, перепишем у!ювнение (!) в виде [1- з ) Св(э) — 2зСл(з) + и(и+ 1)Сл(*) = — — э б(в -ве). э 21 (2) При д Ф О (т. е. при з Ф. 1) правая часть (2) равна нулю; решение такого уравнения, хак известно [33[, можно представить в виде Ся(э) = сиеь( з)+сэоф(*) (3) где чф(*) — сферическая функция лежандра 1-го рода. так как ог„(1) = 1, а дф оо при з - 1, то в (3) следую положить сэ = О; значение же с, определяется б-функцноиным слагаемым в (2). 2(ля определения с, рассмотрим предел з 1, положив * ш ! — дэ/2. Уравнение (2) при этом принимает внл дэ ! 21 ддэ д дд — + — — + и(г + !)~Св = — — б(п — ве), л' (4) совершенно аналогичный уравнению для функции Грина свободной часгицм в двумерном случае'э! (см.
4.35.). Так квкм! /лава 5 Спин 1) Волновая функция частицы со спином з имеет (2з+ 1) компоненту и в з,-представлении изображается в виде столбца Ф(г, з — 1) (Ч.1) где Ф(г, о) является амплитудой состояния с проекцией спина на ось х, равной о, причем и = з, з — 1,, -з. В этом представлении операторы компонент вектора спина — механического момента по своей физической природе — изображаются матрицами з„зт, з„элементы которых опрелеляютсл общими формулами (ПЕ9) и (Н!.1О) с 1 = а, го м с; матрица з, лиагональна и (з,)»; = об, .
Длв спина з = 1/2 эти операторы з = У/2 выражаются через матрицы Паули: '*=(1 О) "=(х О) =(О-1) (Ч.2) Матрицы Паули обладают следующим свойствам '>: сУгУь = б,ь+(згтлУг (здесь!, я = 1,2,3; при этом У, юУ„сэ ад У„, Уэ =У,), В случае з = 1/2 лля компонент спинозой функции часто используются обозначения Ф, м Ф (в = +1/2) и Фэ ж Ф (е = — 1/2), так чго Ф = ( ' ~1, а скалярное проз) изведение в спиновом пРостРанстве записываетсЯ в аиде (Ф ~ Ф) ж Ф Ф гв Р(Ф +Рафа.
Отметим характерное для з = 1/2 свойство произвольного спинового состояйия. возможность всегда указать такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное (равное ж1/2) значение. Если записать нормированную на единицу спиновую функцию наиболее общего состояния в виде -( '':-) (Ч.4) то д и р (О < д < а., 0 < р < 2л) определяют полярный и аэимугальный углы такой оси в, влоль которой з„= +1/2, см. 5.3 и 5.9. 2) Часто приходится иметь дело со синцовым состоянием, описываемым мамрвией лхотессти р. Элементы р„такой матрицы сопоставляются билинейной (Ч.3) П В чхмнсст»: »» = В» - -В, = К»»В„= гэ„и т.а.
иэ (У 3) сх»хт»г хюахсчитмпамссть еаэаи» изтэяа Петли; З,З» + Э»э, = с лхэ 1;6 3. 1(б Глава б. Спин комбинации ф(п)ф'(с') нэ спнновых волновых функций и могут рассматриваться как результат некоторого усреднения ее'1: р„м ф(п, Л)ч)'(а', Л) (Ч.5) (эдссь Л вЂ” параметр усреднения). При этом среднее значение оператора (матрицы) / в спинозом пространстве описывается выражением Ушбр(/р) =бр(р/). (Ч.б) Для спина з = 1/? матрица плотности может быть записана в виде ! р = -(1 + Рй), 2 где Р = 2э — так называемый вектор поляризации.
Случай Р = 0 соответствует пол- ностью неполяриэованному состоянию, а прн )Р) = 1, наоборот, состояние является чистим и описывастсл спинозой функцией (Ч. 4) с выбором соответствующей оси в вдоль вектора Р, $1. Спин в = 1/'2 5.1. Для частицы со спниом з = 1/2 найти собственные значения и собственные функции операторов зч, зз и з„соответственно. Решение. С.ф.
Фм = ( Ь) и с. э, з, оператора з, = Р /2 находятся из решения уравне- ния з,Ф,. = з„Фм; или Ь = 2з,а, а = 2з,Ь. Нетривиальное решение этол системы уравнений существует при условии 4з' = 1, определяющем воэмсжныс значения (спсктр) величины з, = ш!/2. При этом а ш Ь для з, ш !/2 и а = -Ь дхя з, м — !/2. Нормированные ив свинину, так по (Ф,,)Ф,,) =)е!ь+(ць = 1, с ф. Ф, имеют вид Аналогично нзходнн 1 /!Л /!'! Фпмл= ! В) 5.2.
Указать вид оператора проекции спина з, на произвольное направление, задаваемое единичным вектором и. В состояниях с определанным значением проекции спина на ось з найти з,. Каковы в этих состояниях вероятности значений проекции спина ш1/2 на направление и? ь) Мачэ«нв «лет«асти иорк«в«вана тсьеч«чи Эрр = !. Еч лхьюиь«ьинч ззсмчитн рч а«рсдомют мр««ти«стн охт«ктсгвуюш«х зньчснзя с «Пмшшн спине нь ась з.
В оччш рт = р катрина шкписсти ннсчч чхх р, = р(с)р'(с') х хзрзхтчрньтст чича«ч актсянис, е«иснвччнсс узн нмнсз«а фу«хинта р(ч). 117 б 1. Спин з = 1/2 Решение. 1) Оператор спина Ф = В/2 является оператором векторной (тачнсе, псеяшвектор- ноп) величины и поэтому оператор з, щшекции его не произвольное направление а (а' = 1) должен выражаться через операторы компонент э„и„, з, так же, «зк н в случае обычного (неаператариого) вектора, т.е. 1 1 и, = ш ю - вд = — (ял В саар. й„+ з1п Вял р йг + соз В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
