Galitskii-1 (1185111), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Злесыекторы т„лвляюшиеся с. ф. оператора з„равны "' 1 то.„м У вЂ” (1,ф!,О), т„.е =(0,0,1) (6) э/2 (сравнить с 341). Ввиду взаимной ортогональности этих векторов имеем ф(о) = Ут'(н), откупа следует связь в ф. а векторном и в з,-представлениях: 1 ф(ж1) = — (УУ, + гУ„), ф(0) = У„ тг2 7 () У. = — '(Ф(-!) - Р(!)), У, = — '(Ф(!)+ Ф(-!)).
о2 т/2 С помошью (4), (7) приходим к соотношенмям между спинорной м векторной залповыми функмиями гг, и) р г (,,н+ „и) у /2„,и (0) Более наглядно эти соотношения могут быть записаны в виде У = Сат,р"лдтл ш Сот ф,', (9) где дз — антисимметричный единичный спинор второго ранга, компоненты которого Равны дц = -дп = 1. дн = дп = О, а С = 1/г/2; пРн этом Рл — — Р'"дв„, пРичем фь' = 0 ввиду симметричности спинора ф "В. В таком виде связь волновых функпий У н ф Л очевидна заранее, так как о'лрьз является единственным (с точностью до множителя, естественно) вектором, который можно сопоставить спинору рьл.
Используя равенство и и"„= 2б„без — бабе, соотношения (9) можно обратить; рл — Угт л У = гг лр р (руд + г/ггд ) ~т ~ ~г т и Фз=-юг=а, Фг=-р Ф!мф (значения компонент комнраеярвалмлою антисиммстричного слинора д Л совлааают с д,а). 3) Обсуггим тснсрь лля частипы со си ином з = 1 вопрос о спин-орбитальных с.
ф, )Фг,г,) (в различных представленияк). Конечно, в обшем виде он решастса соотношением из теории сложения моментов (орбитального 1 и спинового з = 1 в рсзуяьтируюший у): (фш„)=~ С,";,У (а)(1, ), где (1, с) — чисто спиновая (т.е. не заалевшая от координат) с.ф. оператора е„отвечающая с.э. з, м е; напомним, что коэффиниеиты Клебшв — Гордана в (1!) отличны от нуля лишь при у', = го+ л. В соответствии с формой записи соотношения (11) козффипиент перел )1, и) в нем яалвется в ф рассматриваемого состояния в з,-представлении, т. с.
ф,гь(а) = С;";,Угн(а), т = /д — л. (12) иг Очистим, что амбор фаюзмх множитстей з амражсниях (3), (6! зля с. ф т,, Р,"в при различима знамниех з, ссотмтсгауег лрииатону в теория нсмента, см. (1, 927! (впрочем, в (б) ло сравнению с (!) олумеи иссушсствсиимя, обшил аля зссх ееюсров «,„фазосыя множитель, расина г), О 2. Слил-орбитальные состояния частицы со алином з = 1/2 131 т/2 У2 т/2 (13) где О, р — полярный и юимугальный углм направления вектора а, а по бюрмулам (4) или (У) находим в. ф. в з.-прелставлении: Р(1) = ', Р(О) = — —, Р(-1) =— Ус,(п) Ум(я) Кп(п) /3 йЭ /3 в согласии с (12). В заключение слелщм замечание о виде спин-угловык в. ф. в случае / тс 0 на примере состояний частицы с 1 = 1.
Теперь в. ф. включает евнешние ° тенэоры, харакюриэуюшие состояния с атяичным ат нуля моментом у, сравнить с 3.41. В частности, в нектарном представлении искомые в.ф. имеют вид 3 Чин ю ( — ) [еп[, 1', т„= ( — ) гиггь, (!4) причем иэ условия нормировки е'е = 1, е,;еэ = !. Конкретный выбор е(Г,), сь(у„), прн котором векторные функции (!4) описывают састояггия с определенным значением у„ определяется результатом иэ 3.41. Вид в.ф.
в лругих представлениях может быть пайвен, как и выше в случае / = О. 5.27. Частицу со спиною з = 3/2 можно описывать квк симметричным спннором третьего ранга федг(г), твк и спин-векторной функцией 1'э" (г), удовлетворяющей дополнительному условию (аь) рУэ = О. Указать анд оператора апина н связь д волновых функций в этих представлениях друг с другом и с волновой функцией ф(г, а) в эг-представлении. Указать вид волновых Функций состояний частицы с 1 = 1 и полным моментом Э = 1/2. Рекюлке. 1) Для частицы со спинам в = 3/2 описание спиновых свойств с помощью спинора рют аналопгчна рассмотрению состояний с суммарным спинам Э/2 в системе 'эг Примером частицы са спинам з = ! является фаюн. Прн этом звнау апсинфичсскшо свойства фаюиа, сея минога с яюгггтлгсмью электромагнитною ваяя, ею в ф, — мкюрнне патеипищ А(р) (е импульсномм прсастезлсиии) — юажне удаелстеарять допалилтееьиаму условию вила рл(р) = О (нлн Шт А(г) = О, см.
главу !4) Найлсиню функиия А = /(р)р сссюяиия с / = 0 эюму условию не удовлетворяет. Это аэиачэст, чта соатаяииа фанаиа с / = О пе существует, и уюзыеэсг нэ иееазмапнасгь ега излучения системая, сели ес полный мамонт хак е начальном. так и э конечном сасюяииях равен нулю: ° 0-0 -лгуемд» зелрачглн. Если же под [1, гг) в соотношении (!1) понимать базисные векторы т, из (б), то ано будет описывать спин-угловую часть в.
ф, частииы в векторном представлении, а заменив [1,а) нв спи норы и* (3), прихолнм к в.ф. в спи парном ирелставлении. Поучительно, оливка, рассиотрегь состояния с низшими значениями у, ие прибегая к (!!), а исходя лишь из общих соображений, свяэаниык с трансформационными свойствами в.ф. аастояний, отвечающих различным значениям момента (сравнить с эапачами иэ $4 главы 3). Так, для определения вида в.ф. состояния частицы с 1 = 1 и у = О эамсчаси, что она должна линейно зависеть от вектора и (ввиду 1 = 1, см. 3.41) и в силу сферической сиыыегрии состояния с / = О не должна включать каких-либо внешнихь векторных илн спинорнык величин.
Отсюда савау следует вид в. ф. в векторном нрелставлеиии н1: К м стг„мли Ч = св, причем [с[ = 1/э/4к из условна нормировки [ Ч'Ч йй = 1. Конечно, этот результат можно получить и из (11) (коэффициенты Клсбша-Гордана лля этого случая найдены в 3.39). Теперь по бюрмулам (1О) легко нахопим в.ф. рассматриваемого состояния с 1 = 1, у = 0 в спииорнам препставлении 132 Глава б. Спин иэ трек спииов с е = 1/2, сравнить с 5.19. Так же, как и в прсдыаушей зааачей, имеем "' — -(Н бябг;-Ь ПЛ бт+Ь бяцг) 1 П) '"= © и'=ЛИ '"=ЛИ) "= И (3) (сравиить с (У.
3)), получаем л 2 2 У = — о'",гй,'л = — С(2п - !(пй))2 . (Я Это выраженно можно получить несколько иным способом. Для пюго заметим, что нанболсс обшил вид спин-вектора, звеневшего линейно от а и у, еегь У' = с, пК' + сз(пге'э) дл. ПРн этом дополнительное Условно м"тут пРивопит к соотношению сг = 2гсз; отсюда и следует (5), сравнить также с 5.23. 'Сгдокэзагсяьстее его с«иоыно на исасльзоэсиии соотношения "„= ы„'бг — гВб) и раэеистаэ В"Л .= О. (месь приведены лишь независимые конпоненты спинара).
Переход к спин-векгюрнаму представлению осушеегвляется с помошью оюгеченной в прелылузцсй залача (сы. формулу (9)) евши спииора второго ранга с вектором. = /- гг лрюР - =уп лф 2 2 (2) Отсюла автоматически вытекает дополнительное условие |ег и'яуэ = О. Операторы компонент спина в этом представаенин имеют вца (сравнить с предмцущсй задачей) 1 (э.)„эг = — ы,нб + -баге,,ю 2 2) Для определения вида в.ф. состояний с ! м 1 н у ж 1/2 следует учесть, что они должны линейно зависеть ат вектора а н от внешиепг» спинора йс, задаюшего состояние сисганы с моментом 3 = 1/2.
При этом выбор спинора тс е инае б," и бз соответствует состояниям системы с у, = 1/2 и -!/2. Волноцы функция состояния частицы с / = 1/2, 1 = 1 в спинорном предстаалеиии имеет наиболее простой внд дпя есмсшаннызг (с кои коигравариантннми инаексами) компонент спинора ! фею=С(ву „Кл+впл„й' — -(вег'„2"Ф+впл„д"б„')~ (4) (алесь учтены «ак симметричность спи нора по верхним ииасксам, так и равенство р Э = О лая спкнпра ф;л = р,б л"). не останавливаясь подробно на анализе в. ф. состояния в е, -представлении, огрэийчнмса аидом лишь одной компоненты: Гб~п = +- = рн' = -рп = -2Сни ре '~ЗГ 2/ (пропорциональность ес шаровой функции у,,(е) и компоненте спинора йг, отвечаюшсй значению 3, — - + 1/2. очевидны ырансе из физических соображений, шк клк / = 1/2, ! = 1, /, = из+и, а с =+3/2).
Спин-векторная в.ф. Зг» состояния с 3 = 1/2, 1 = ! может быть найдена по формулан (2), (4). Воспользовавшись соотношением Е с с е,'лп,л = беб +еси,пгп 0 3. Слинобпя /лоллризпционнпл/ мпглрицо ллотностн 9 3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности. Угловые распределения и корреляции в распадах 5.28. Система из двук частиц с з = 1/2 находится в состоянии с определенными значениями Я и Я, (Я вЂ” суммарный спин). Найти спиновые матрицы плотности каждой из частиц в этих состояниях в случае, когда произведено усреднение (суммирование» по спиновому состоянию другой частицы. Решение.
Спиноззя матрица плачмосги 1-й частицы рги вмрззшется через спииовую функ- и) цию Фгэ,(пг,ег) систеиы (пг,г — спиновыс переиенные частиц) согласно обшей формуле (У. 5): р„, = ) Фээ,(е,вг)вээ,(е',аг). г Вгкпользовавшись явным выражением длл Фэзг иэ 5. !О, нвходии Сравнивзя (1) с общин выражением (У. 7) лля р, замечаем, что в состояниях с 8 = 1, Я, = О и $ = 0 вектор поляризации Р = О, т.с. имеем полностью неполяризованиые составные. В случае 8, = ж! уже Р = (0,0, жг), так что (Р! = 1, т.е. имеем полностью полярнэовзнные состояния; при этом спиновое состояние является ьчистым и рг = р (зто связано с мультипликативныы видом спинозой функции при з, = ж1). Матрице плотности 2-й частишя имеет такой же внл, как и для 1-й частицы.
Выражениа (!) нежно бмло бы написать и беэ вычислений, инея в зилу способ решения, использованный в следующей задаче. 5.29. Частица со спином з = 1/2 находится в состоянии с определенными значения- ми 2, 1 и 2,. Найти спиноаую матрицу плотности, характеризующую спиновое состояние частицы безотносительно к ее положению в пространстве. Решегке. спиноззя матрица плотности инест вид р = (! + Ра)/2, тле Р = лг — вектор поляризации. В данной задаче его легко найти, если воспользоваться результатом иэ 3.40 а): 7'(7+ 1) — 1(1+ 1) -г- з(э+ 1) = И+ 1) так, чтопг Р = (ОО,жг /(! + 1/2)), где знаки (ш) относятся к эначенивн 7 = 1 ж!/2. В случае у, = ж/ при У = 1+ 1/2 инеем )Р) =! и спиновое состояние является «чистым».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
