Galitskii-1 (1185111), страница 36
Текст из файла (страница 36)
если иметь е виду, что, в отличие от классической механики, частипа проникает иод барьера>. При этом еатсстееиным являстсл уненьшсние г с увеличением 4/з, так что т = О при >/е —— аа. В заключение отметим, что т « а/зз, т.с. время задержки мало по сравнению со временем пролета часгипей расстояния порядка ширины пакета. Глава 6. Изменение сосглолнол Во Времени В.ф.
системы при С > 0 имеет вид -,Оз ф -чгг/з где значения с, г определяются начальными условиями. В рассиатриваемом случае, Ф(0) ы (, ), нахолим с'бг (с) '( 1 Г "'"'+ |ь!'е """ 1 Р)=(„(С) ! —, „(Ь|г(ь(,чюг.а .ч...) ). (2) и вероятность перехсла системы в лругое (2-е) состояние иевозмущенного гзинльтониана ыг(С) = )Рг(С)! = мп ~ — (сг — с!)С~. г 4|Ь!' . г Г 1 (3) (1+|Ь|г)г ~2А Ес величина ослиллируст межзу 0 и ы = 4|Ь|г(1+ |Ь|г) .
Значение ы „может быть близко к 1, если матричный элемент Рг является достаточно большим. Такая ситуация Реализуется, например, в случае ' с! = с! ' (вырожденные уровни) прн ггн = 1ы = О, как видно из (1), при этом в станионарнык состояниях эозиущснной системы нсколные состояния представлены с одинаковой, равной 1)2, вероятностью. 52. Изменение во времени физических величин. Интегрвяы движения 6.11, Для нейтральной частицы со спином з, имеющей собственный магнитный момент рс и движущейся а электромагнитном полем!, найти операторы скорости т, ускорения В и производной по времени вектора спина в. Ржиенле. Кзк и в прсдылущей заезчс, находим Р - ре - т ! -- реп= — Вжб(зрт(г,С)), С = -(СГ, э) = — (зрр(г 1)| р рз ' А Гы (сравнить с соответствующими классическими выражениями лля нейтральной частном, имсхнпей магнитимй момент и и собственный механический момент М = изт, эзаинолсйствие которой с электромагнитным вжсм онисытжтся потснниалом ГГ = -Рзг(г, С); при этом гСМГгв = Сч = ( мг)).
н! Отметин почти внроилсвныс гь- и 2р-состояния атома зодорола, значчмльныс ясрехсюл межау кстсрыни возникают уже з сравнительно слабом электрическом лслс Эго, з свою счсрсль, привозит к сумсстзсииону азияиию злекгрячсскону паля из время жизни ммастзбнльиого 2з-соси!линя, сн. 1! 62. 'г! Гз мил ьтоиизи частицы — см. (та Ь ! |. гг! Ис пугать век!свисс псоиззслснпе с комнумтсаем! ! Гамильтеииан частиц» — см. (Ът!.1!. б. 1О. Для заряженной бесспиновой частицы, находящейся е электромагнитном поле '", найти операторы сиорости 7 н ускорения %.
Сравнить с выражениями классической теории. Решение. Имея а виду гамильтониан (Ч(1,1), по форчулс (Ч1,4) находим'г! Сг' е РвХ= — ~р — -А), (Й с ВР т - е е Е В т = — + -~Й,т) = -Е+ — ((тМ'! -(РГФ!), (2) ВС Л ' С! 2рс где Е = -зур — ВА/с ВС, ыу = го! А, что представляет естественное квантовомсханичсское обобщение соотаетствующик выражений каассичсской теории (при этом правая часть (2) опРеделяет оператор силы лоренца Фл.р). Я 2. Изменение Во Времени физических Величин. Интепзплы ддизкеноя 147 6.12. Показать, что среднее значение производной по времени физической величины, не зависящей явно от времени, в стационарном состоянии дискретного спектра равно нулю.
Основываясь на этом результате пг, усреднением оператора 4(рс)/41 доназать лшоремд Видиало для частицы, двишущейсн в потенциале (/ = ог". Региеяия. 1) Усредияя опсрпор /, находим /= )/Ф„'/Фхд =-' ) Ф„'(й/"-/й)Фса =Ю Л,/ (1) (здесь учтено, что ЙФ, = Е„Ф„и под интегралом Ф'„Й...
= (ЙФ„)'... ввиду эрмитовости Й). 2) Учитывая, что бг/бс = р/вь и бр/ВГ = — Вшб гу, лля Г/ = аг" имеем — = р г+ р г = 2У вЂ” ий 4(рг» бг (2) и, согласно (1), дш средних значений получаем х ы = И7„ /2, что и п1мдставляет квантовомсхаиичсское обод~испив теоремы вириала кхассическоа механики (в которой усреднение проводится по времени). Приведем еше одни вмвод теоремы виривла, основанный на использовании соотношения (1.6). 2(ля этого заметим, что степенной потенциал (Г = +от" характеризуется только одним размерным парамстрон а. Так как из трек размерных парвчстров Л, гн, а можно лишь единственным способом составить комбинацию, имеющую размерность энергии, се = а(Л /то)", и нельзя образовать ни алного безразмерного параметра, то лля с.
з. з Лгт) юмильтониана Й = — (л'/2ш)/ь+ г/, относящихся к д, с., из сообрахенив размерности следует Е„= С(и, г )ее. Замечая, что 1/ ш пдй/да, согласно (1.6), получаем дЕ» 2 ~е — гг = Е ° ы да г+2 Из этого соотношения и равенства Е = 2' „+ гт„„непосредственно следует утверждение теоремы вириыш. Отметим, что полученное соотношение справедливо и лля системы иэ произвольного чиСла частип, если взаимодействие нх друг с другом и с внешним полем описывается степенными пстенпиаламн с одинаковым показателем х. 6.13. Показать, что для системы иэ )У зарюкениых частиц, находящейся в и-м стационарном состоянии дискретного спектра, справедливо равенство (так называемое ° правило сумм», см. также 14.11) —,", ~ (ń— Е„)((4,) )' = Лг (1 = 1, г, З), езй где (4,) „— матричные элементы дипольного момента системы; суммирование проводится по всем мезависимым стационарным состояниям системы, р и с — масса и за(шд кзшдой частицы.
Решение. УсРелнаа ссагношенка (2Тгч хм] = -гдб гб,г и Нхххгг/а = (1/ЛР)(Рмд, + ххР ) (индексы е,б нумеруют чвстипы) по состоянию д. с. с в.ф. Ф„с учетом равенства нулю второго среднего, находим при г = Л (без суммирошния1) ((и(х Пт)(т(рь (и) + (и(дг, (ш)(пт(р,1л)) = (дб г (П 'згв ряде сэучыв хля конкретною вива яоынаиахв арн лохюляшсн выборе оператора /(г,р) кз условия /= — (Й,/) = в л можно вспучить сомноыснмг мхссу ремнчяыми срсвнкмн; см. в связи с этим (15, с. 61). Глава б. Изменение состояния Во Времени (алесь использовано уогееяе незнемы 2 (т)(т( = 1). Учтем теперь, что р, = (гр/Л)[Й, ге[, и полому ч (т)р (н) =1-(Я вЂ” Я,)(пэ(В.(и). Л (2) Так как б ш е 2 г„то после умножения (1) на е', поястановки в него (2) и выполксния суммирования по о и Ь (по всем частицам) приходим к призелсиному в условии задачи правилу сумм.
6.14. Показать, что если не зависящий явно от времени унитарный оператор 0 оставляет гамильтониан системы неизменным, так что ЙЫ0+ = Й, то связанный с 0 = ехр [эй) (см. !50) зрмнтов оператор Й описывает сохраняющуюся величину— интеграл движения. Выяснить физический смысл интегралов движения системы из ЛГ частиц, связанных с инварнантностью ее гамильтониана относительно преобразований координат: а) сдвига г„- г'„=г„+а; б) повоРота на Угол (ое = (эспе1 В) отражения г, ьзч = -г„; и = 1, 2,..., № Решение.
Из условия неизменности гамильтониана слелуст 0Й вЂ” ЙО = О, и если записать унитарный оператор в внае 0 = схр [эй), где Й вЂ” уже зрнитов оператор, то, очевилио, н [Й, Й[ = О. Соствстственно, сслн ВР/Вг = О, то Р является оператором сохраняющейся (во времени) величины — интеграла лвжкеиия системы. Подчеркнем, чтосушестзование таких интегралов лвнжения связано именно с симмегриед азаимолействия (гамильтонианз) — его неизменностью при соответствующем преобразовании координат системы — и ие зависит от конкретного зила взаимодействия. а) Оператор сдвига 0 = ехр(гаР/Л), см. 1,7; его коммугатнвность с Й эквивалентна условию [Р,Н] = О, означающему сохранение импульса системы, Р = 2 р„. б) Оператор вращения координат 0 = сэра/реЗ), где 2 = 1 +6 — оператор полного момента системы.
Коммугвтиеность 0 с Й экаивакентна условию [3, Й[ = О, означающему сохранение полного момента системм (егли же вэаимслействне не зависит от спина, то инаарнантность шмяльтоииана относительно вращения координат приводит к сохранению как орбиталыюго, так и спнноаого моментов в отдельности). «) /(ля преобразования отражения координат 0О(г„) ш Ф(-гч) иэ коммугативности 0 с Й следуют сохранение четности. Гамнльтониан любод замкнутой системы частно инварнантсн относительно рассмотренных выше преобрюованнй, что связано со своястезми свободного пространства: его оанороаностью, нзотрописд и зквиылентнестью правого и левого (последняя ннвариантность и соответственно закон сохранения четности нарушаются так называемыми гзабнмн еэаимолействиями). Внешнее поле изменяет отмечснныс свойства пространства.
Соответственно гамильтониап системы ао внешнем поле уже не облахает такой высокой степенью симметрии. Однако отлельнме элементы симметрии и отвечающие нм ннтырааы лвижения могут иметь место и в этом случае, см. следующие задачи. 6.16. Указать механические интегралы движения для системы из )ь/ бесспнновых частиц, находящейся в следующих полях: 1) при свободном движении, 2) в поле бесконечной однородной плоскости, 3) в поле однородного шара, 4) в поле двух точек, 5) в однородном поле, зависящем ог времени, б) в поле равномерно заряженного прямого провода.
7) в поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии. В 2. Изменение Во бремени физических Величин. Интегралы д8изкенил 149 Решение. Гамильтониан Ы системы в отсутствие внешнего полн имеет наиболее высокую симметрию: он иивариантсн относительно произвольного сдвига, вращения и атрюксния координат. Внешнее поле нарушает щу аимметрию, тэк что именно симметрия потенциальной энергии частиц ва внешнем поле У.„ю(г„ ..., ° ) = ) У„(..) опрелсляет симметрию гамильтоннана системы Е = Не+ У,„в целом.
В свою очередь симметрия У,„,„однозначно определяется характерам симметрии «источников внешнего паля и для выявления ее следует позаботиться о выборе системы координат, адекватном симметрии системы (прояшшющейся в независимости У, от соответствующих координат). Имея в зилу высказанные соображения, явный вид операторов проекции импульса и момента, а - а Р,ж-гй~ —, Ь,=-г~ бг„' ' ае„' а таКжЕ СОХраНЕНИЕ Энсртнн СнетсНЫ В СзуЧас ВУ«м /ОЗ = О, Прнкадии К СпсдущщпМ заключениям об интегралах движения. 1) Интегралы двжкения: Е, Р, Ь, Х. Так как лля замкиугой системм движение центра масс и относительное движение йезависимы, то Е, Ь, У сохраняются не только для системм в целом, ио и лля обоих указанных движений в отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
