Galitskii-1 (1185111), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(26). 6.32. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы в однородном пале Г/ = — Уег. Решение. Так каку(С) = г+РС/гл+Уетг/2лг, см. 6 20, то УРавнение два фУнкции ГРина г( — С)С = ггС отличается от рассмотренного в предмдушей задаче лишь заменой г' на г' — Уста/2т. Это же замечение справедливо и в отношении его Смшения (3) из 6.3 !. Теперь, однако, Отсюда накодим а(г',1) и окончательное выражение для функции Грина а коорсинатиом прелставлении С(г,т; г',0) = ( —,) ехр ( — [ — (г-г' Уст ) +у С Рес 1) (кзк н в 6.31, показатель экспоненты — действие дая классической частнцм, движущейся в однородном поле).
В импульсном представления С(Р,С; Р',О) = ехр (- — !ХР— Усрт+ -Уст Г! 16(Р— Р— УеС). И /, 2нгй 'х 3' 11 6.33. То же, что и в двух предыдущих задачах, для линейного гармонического осцнллятора. Решение. 1] Сначала найдем функцию Грина с помощью (УС.
6). дяя асциллятора яг Ф„= (2"йяап1) ехр (- —,)И„(-), Е„= йьг(п+ -), где а = т/й/ты; суммирование в (Ч!.6) проводится с использованием известной из теории полиномов Эрмита формулы „..гтг (2яУа — (я'+У')з'\ ч" ы (я)СТ (У) !1-з) ехр1 — з и приводит к следующему результату: С(я,т; я,О) = схр (г стб (ыт) яг — 2зя' тес ыС+ (я )г)/2аг) (1) г/2яте' ага ьгС 163 94. Временные функции Грина 2) Прн определении вида функции Грина с помощью уравнения (1) из б.3! имеем (гейэенберговский оператор координаты осцналятара см.
в б.20); В(-1)6 ш ~ясозит+!а нпит — )6 = сС. В Ве) Отсюда г(э' сгбм! — 2ее' созсс ит) ) С = с(е', 1) схр (' 2а Подставив зто выражение в у. Ш., получаем уравнение 1/ 1и(е') с+ -~иезуит+ )с=О. а' мп 'и1) Его решение с=ос(мпи1) ттехр ( Г г(е')г стд (ит) ) 2аэ прн этом нз начальною условия имеем сэ = (2гша ) 'тт и для функини Грина опять приходим к выражен и ю ( ! ). Так как лля осшщлятора у.
Ш. в импульсном представленмн имеет такой же вид, как н в координатном, то выражение лля функции Грина 6(р,1; р', 0) получается нз (1) в результате очевидных пераабозначеннй: е ~ р, а тгйщи. 6.34. Найти временную функцию Грина заряженной частицы в циркулярном электри- ческом поле во вращающейся системе координат; см. в связи с этим задачу 6.29. Решение.
Гамивьтоинен частицы ва вращающейся системе координат имеет вив (см. б.29) -т Р 22 = — -ий„-Рщ Р=свь 2ги Временную функцию Пгнна найдем с помощью уравнения (1) нэ 4.31. Для этого сначала установим вид геяэенберговскнх операторов г(1) и р(1). Для упрощения записи ниже в них будем опускать аргумент 1 (а лля шредингероаских операторов будем использовать лишь их явные выражения: г н -1йт1), а также положим Д = вт = 1. Уравнения движения для операторов имеют аид у=р,+иу, у=р„— ие, з=р„ р2ш р„+Р, р„=- р„р,=б. Ввиду линейности зту сисщму уравнений можно решать как лля обычных неоператорных функция. Вводя комбинации р, ж гр и В ж гу, накоднм р,+гр =А е '- —, В+ту= (А,+!Ар)е и Р г где А„А — нс зависящие от времени неэрмнтовы операторы.
Их явный вид определяется из совпадения при 1 = 0 геязенберговскнх н шредннгсровскнх операторов, что лает Р -,В В 1Р А„= е + зу + —, Аг = -г — + — + —. из' " Ве Ву и Функция Грина с точноатью да множителя с(г,1) определяется из системм уравнений гт-1)6 = г'6, сравнить с предыаушими задачами. Лля решения системы уравнений улабно перейти от переменных в, у к и = в+ ту и в = е-гу.
Левее, определяя с(г',1) также, как и в укаэанных задачах и!, можно получить окончательное вырюксние для функции Грина: тт! Прк этом, учитывая независемссть щмюьтониана аг времени. арв палсмнезкс фтнкпих тулка е у. Ш. гэмильтоинаи уаабис анрззюь через шгд шимваэскнс операторы каарлинатм к импульсе чэстваи. Глава б.
Иш»пление состояния уо гяаемени С(г 1; г', 0) = (2яг!) '1' ехр ( - (-(г - г ) + рр (1 — саз ья) + (е у — ей ) з1 п и! + 1 1 1 г г г1) + — Р(1 — сом»!)(х + е ) — — Р(иг - згп ыг)(у - у ) + — Р (1- сот шг) - — Р г 1 ), (1) ыг г,гг гг 2ыг зсесь р — составляющая равнус-вектора в плоскости *, у. Прн ы О выршкенне (1) переходит в функцию Грина мз 6.32. 6.35. Нанти временную функцию Грина заряженной частицы в однородном магнитном поле. Решение. Рассмотрим сначала поперечнас дви:кение частицы в магнитном пале, воспользовавшись векторным потенциалом А = (О, ЯГе,0). Учитывая установленный в засачс 7.1 а) вид Ф„(р), с.ф.
гамильтониана и епг спектр Рч „, согласно формула (Ч1.6), как н в 6.33, получаем Сг(Р !! Рс О) = ), / е " 'У.э,(Р)Ф'г,(ра) брг = — [/Си (е,г; йе, 0)ечьгг "У" брт. (1) Здесь С „- функция Грина линейного осциллятара, найденная в 6.33, с частотой ия = [е[Л»/тс; В = х — срт/ем" н аналогично лля ус. Вычис»ив в (1) интеграл и умножив получившиеся выраженнег»1 на Са(»,1; за 0) — функцию Грина свободной частицы, см. 631, приладим к искомой временнбй функции Грина (а' = й/яи»л): ~ '1' и! С(г,г; г»,0) = ~ —.~ .
е'ггг, (2) ггг(з — хс) 1 Г мгг! г е й 'у= 2лг ф,г ~ 2 с + ~с18 '(Р Рс) +2 (Я+ее)(У Уе)] тле б — действие для классической частицы в магнитном пале, сравнить 6.31 и 6.32. Заметим, что при изменении ка»ибровки векторного потенциала, т.е. при перехале к А' = А+Тг/(г), функция Грина в новой калибровке получается умножением (2) на ге[/(г) — /(ге)[ ~ -( Лс сравнить с 6.27. В частности, лля перехода к векторному погенпивлу А' = [м'г[/2 слеаует выбрать / ш —.ГГеу/2. $5.
Квазнстационарнме и ивазизнергетичесиие состояниязс' 6.36. Найти сдвиг и ширину основного уровня частицы в одномерной б-яме (см. 2.7), возникающие при наложении однородного воля У = -Ран. Поле предполагается слабым, так что аРс ~ йз/гнат, где а = 1/ис = йг/пгш определяет область локализации частицы в основном состоянии. Решение.
Гамильтониан частицы имеет аид Р )Г = — — о б(е) — Ре. (1) 2т ггг 1 м ульт»или»апг»имя»иа фуи каин Гри и» се»за и с лг»тсм»»г»»гмже»»м» па не усч и а та» прахгм ь наш »аижсии» Части»н Иго». па этим, «»к и па миаг»м ааугкм, еалсес»м к»»итазаа нс»»инки ма»ага»ф»ю А. и. Баы, Я Б. Зель»а»ича и А,М. Переломаю [15!. Оаш»е предстаю»ни» а юиэиэиерштичсск»» с»стоян»»х из»ажсиы» решении эааач» бяа, р»ссмагреиис и» а рэмхю теории»сз»ушсипа см е 8 »1-43. 0 б. Кбиэистиииоиирные и ябиэиэиергетичеслие состояния 16$ Уровень Ез днскретнога спектра в изолированной б-яме, см.
2.7, прн наложении однородного поля приобретает мирилу (размывзется) и становнюя квазистапнонарным состоянием частипы. Возникновение шмрнны уровня Г, опрелеляюшей ерема игизии т у з сОстОяния, связана с Возможностью проникновения частицы через барьер и ухода ее нв бесконечность, см. рнс, 23.
)(Ял определения параметров кввзнстеиионарного состояния следует найти решение у. Ш., нмеюшее требуемые асимптатики при я фсо: уходяшая направо волна при х +со (усяаеие изеучешм) и затухаюшвя волна в классически недоступной абластм при я -аа, см. [1, б 134]. Для решенив уравнения Шредингера замечаем, что как прн я > О,так н прм х < О, оио заменой переменной !Г/2 Рис.
23 привалится к уравнению Ф" + ЗФ = О. С учетом отмеченных выше аси следует выбрать в виде слелуюших комбинаций функций Эйрн, см. [34, Ф=с,[А!(-З) — 1В!(-Я)] ог з ! схр 11-зг з, — з ( 2 зз) 3 Ф=С,Д!(- ) м (- ) ™ р (--(- )згз~, гм 3 Условия ашивания решения в точке я = О согласно 2.б привалят к (йз 4Е И(,) В;(-,)+!И (,) = 2з.то' Р ' мптатнк его решение с. 264): х>0, (2) и<0. соатнашениюзя (3) и! исяальзазаиа значение ваонскиаиз и (ш (з), В! (з) ) = 1/е. ~П Пр» нарушении этого условия (е ластатачиа сильном паис) происходит сильнее ушяасиис уровня и слсвифя ~ескт сеаватза юмзистапиаизрнага састаяии» нз 4юнс исааермзиага спектра исчезают.
опрсаеляюшему спектр квазидискрсгных уровней. В случае слабого поля"', когда бйз/ти < 1, правая чаать в уравнении (3) мала, Чтобы оно было выполнено, требуется малосп и д! (-Зе), а шы зюга должно быть Ке(-зе) » !. Воспользовавшись аснмптотнками функциЯ Эйри ]34], согласно уравнению (3) получаем (- — ) [(!+ — +...) +- (1+0 (-)) е м~ = —, (4) где и = (2/3)(-сз)згт, «а — — нзп/йз. решая уравнение (4) последовательными итерациями (йег » !), находим в лутеам приближении (когла выражение в квваратиых скобкал заменяется на !) Е ш Ев — — -Л ха/2т, что сответствуст невозмушенному уровню в 4-яме.
Записав далее г Е = Ез + ТЗЕ - "Г 2 и заменив з в квадратных скобкзх в (4) значением нулевого приближения из = й'из/ЗтР, получаем сдвиг уровня ЗЗЕ и его ширину Г, возннкаюшне при наложении однородного поля: 5 тРТ йзизз 1 2дтизз ! гуЕ = -- —, Г = — ехр ~- — ~. (5) 8 йзиз т ( ЗтР) е Квадратичный по полю алвиг уровня опрслеляет полярнзуеыость основного состояния частицы в г-аме, РавнУю )Зз = 5гпез/4йзхаз (положено Р = СЕ), и может быть Рассчитан на основе второю порядка теории возмушений, сравнить с 8.!2. Глава б. Изменение состояния Ео Времени 6.37. Найти квазидискретные уровни энергии (их положение и ширину) з-состоя- ний частицы в потенциале Г/ = об(г — а), см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
