Galitskii-1 (1185111), страница 41
Текст из файла (страница 41)
рис. 24. Специально обсудить случай малопроинцаемого барьера тоа/й~ >> 1 и не очень сильно возбужденных уровней. Связать ширину уровня с проницаемостью б-барьера, см. 2.30. Решение. В.ф. кеазнствционарного з-состояния, Фк~ з = Хз(г)/г, удовлетворяет уравнению ПтЕ 2та Хз+аз(г-о)Хз = Ь Хм Ь= )/ — з, а = — з, (1) )/ й'' й'' !7(г) граничному условию Хз(0) м 0 и имеет прн г оо асимптотику вида Хз ск ехр (ийг). В такой постановке задачи решение существует лишь прн некоторых комплексных значениях й = Ь~ — 1йз, прн этом Лз(й) — Ьзт) 2йзй,й, Е,=, Г= 2ги ' т а Г Рис.
24 тле ńà — энергия н ширина квазистацнонарного состояния (отмстим, что Ьь г > О). Решение уравнения (1) имеет виа /С,з1пйг, с<а, Х'(г) = )( Сз ахр (!Ь ), > а. (2) Условия сшизання в.ф. в точке г = а согласно 2.б лают 1Ьа - йасгвйа = аа, (3) что н определяет спектр квазиднскретных з-уровней. В случае аа » 1 нз уравнения (3) следует, что значения йа дзя нижних уровней (такнх, что (йа! ~ аа ) близки к (и+ 1) я. Записав Ь„а = (п + 1)я + с, — 1сз! п = О, 1,..., )ечз! ч.
1 н подставив в (3), легка находим приближенные значения с~ з. (и+ !)я с~м, езмен аа в с инин н спектр нижних квазидпскретнык з-уравнен: 2 ~ 1зз, 4я(п+ 1) п1 <сг язй'(п+ 1)' "=(-=)' '=— (4) Подчеркнем, что ширмны уровней много меньше расстояния межлу соселними уровнямн. Как и слеловэло ожидать, положения кввзилискретнмх уровней близки к з-уровням Е! 1зз частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме радиуса а н переходят в них прм а -ч оо, когда потенциальный барьер становится непрозрачным. Ширина квэзнстзпионврного состояния Г = йш определяет вероятность м его Ласнедп в единицу времени (илн время жизни состояния т = 1/м).
Выражение (4) лля ширины уровня позволяет нагляшю проиллюстрировать ту связь, если его записать в виде Г„ /2 ( + 1)~з й (и+ В й 'х аа,/ 2тот Экспоненцнальиая макость ширины уровня связана с малой проницаемостью барьера н может быть получена на основе кэазиклассического выражения дая его проницаемости, см. (!Х.7), а также закачу 9.28.
Такая экспоненциальнзя зависимость ширины уровня от его энергии и тнапряженгнктнз однородного поля характерна вш частицы в достаточно произвольном потенциале, убыеаюшем на больших рэсстовниях, см. 11.б7. 5 б. КИаэистационариьге и ябозиэнергетичеслие состояния 167 здесь Р(Еч„) — веРаатность пРахаждениа б-баР»сРа пРи опнокватнам столкновении, см. 2.30, а яй(п + 1) 2таз 2о определяет число столкновений («ударов> частицы а барьер) в единицу времени. В заключение отметим следующее обстоятельства. Полученные результаты полностью переносятся н нэ случай а < 0 (б-яма), что на первый югляд прслатавлястся удивительным. Здесь проявляется особенность каантовомсханическаго отражения частил потенциальной ямой в алучас, когда аиа инсат резкие скачки изи изломы: коэффициент прохождения при мом мажет быль малым, Р « 1, даже при достаточно большой энергии частниы. Однако если перейти к плавной яме ( размазать> б-функцию), то уже будет Р 1, и каазистацнанарнас состояние фактически исчезнет (время жизни его будет таком> же порядка, что и время пролета частицей области локализации).
Решение. 1) Поступая обычным образом, находим — Р(г,т)+дм1(г, 1) = — -У~(г))Ф(г,т)(, Р=)Ф(г,г)(, дг й 1 = — — (Ф'ФФ вЂ” Фтгй'). 2т Интегрирование (!) по произмыьному обшит дает — ~ (Ф(цг)) б =-уог угй- -~ у,())Ф(,1)( бк йгl ' ую л/ (2) В случае У, ш 0 соотношение (2) иредставтгет собой закон сохранения вероятности: изменение вероятности нахождения частицы в объеме У эа сдмннцу времени равно (са знаком минус) потоку всроятнастм через окрзакаюшую зтат объем повеРхность Я.
В случае жс У, гь 0 вгарас слагаемое в правой части соотношения (2) нарушает этот балана н тем саммм представляет дополнительный механизм изменения со временем вероятности, з следовательно, н нормировки залповой функции, что можно интерпретировать как изменение числа частиц: «поглощение» прн Ц > 0 н ражлснне» прн У~ < О. Отметим, чта оптический патенииал обычно нспользустся при описании какаго-тибо конкретного канала в многоканальной системе. При этом ярацсссы «пагтошения» и рождения» отражают связь каналов, см. следующую задачу. 2) Для комплексной б-ямы, как и в задаче 2.7, находим (ак, > 0) l 2тЕ'> Р >и Ф = Ас "1н, х = ( — — ~ = — (а».1.>о,).
= йз Отсюда Е = Еэ — >Г/2, гле т(а> о,) 2таэа, 1 3 Е« =— Г=— 2йз ' лз апредслают полажение н ширину квазиднскрстнога уровня. 6.38. Обсудить вопрос о сохранении нормировки волновой функции состояния частицы в случае, когда потенциальная энергиа является комплексной функцией: У = Цг(г) — 1У1(г) где Ув ~ — вещественные функции (так называемым оптический потенциал). Изменение со временем нормировки волновой функции можно интерпретировать как «поглощение» или «рождение» частицы при взаимодействии. Как связан знак мнимой части потенциала с характером таких процессов? Рассмотреть одномерную б-яму с У = -(па+ (о,) б(з) и найти сдвиг и ширину основного уровня в ней, связанные с возможностью «поглащенняэ частицы (см.
в связи с этим также следующую задачу). Глава б. Изменение состояния Во Времени 6,39. Рассмотреть следующую модель системы с двумя яинаяоми. Система состоит из двух частиц, совершающих одномерное движение. Одна иэ них явлвется бесструк- турной, а другая — составной, причем у нее имеетсв лишь два независимых состояния ° внутреннвгов дшакения, разность энергий которьш равна ()е (сравнить с системой электрон + ядро). Волновую функцию такой системы в с. ц.
и можно рассматривать У'Ф~(х, 1) ~ как двухкомпонвнтный столбец Ф = ~ ' ), где х = хз — х~ — относительная (.фт(х,() ! координата, а Ф ~ ы являются амплитудами нахождения составной частицы в 1-м и 2-м внутренних состояниях (соответственно этим двум возможностям н можно говорить о двух каналах). Взаимодействие частиц является точечным и описывается оператором (Г = -Иб(х) = — ~ ~ б(х); /а )31 ~)3 1 а и  — авщественныв параметры, причем а > О. Найти спектр дискретных и квазидискретньш уровней такой системы.
Показать, что при энвргияк, близких к порогу второго канала, динамика в нем может быть рассмотрена на основе (одноканального) оптического потенциала и найти его вид. Решение. 1) Ймнльтонивн рассматриваемой системы имеет виа гле т — приведенная масса частию; ниже считаем г)о > О, твк что 1-с аасгоянив составной частицы, которому соотвстствуот верхняя компонента волновоЯ функции (см. условие заддчи), яалястся оглоояын.
Уравнение Шредингера сводится к системе двух уравнений, причем лля * Ф О имеем (О =тмп' о=гl и:ои'.ь ле фьг = С~ тсхр (ой, т(х(), здесь учтены квк условие непреРывности волновой функции в точке х = О, так и характер эснмпготики 1 — рвсхшшшвяся волна — при х хсо. зз1 Сшивзнио производных в.ф. в точке х = О производится кок в 2.б и даст (тй, + а)С, о ВСт = О, ВС, + (тйт + а)Ст = О, (2) ГЛС а = тауй' И В а т)ууйт. УСЛОВИЕ Сущеотзаааиия НЕтрИВИаЛЬНОГО рощсния Этай СИСШМЫ урввнсннЯ приводит к саотношснню (гй, +а)(гйгЧ-а) =р, -т (3) определяющему энергетический спектр дискретных н кэззиднскрстннх уровней системы.
Мы пв будем подробна исследовать этот спсктр, предоставляя это читателю. в ограничимся лишь несколькими замечаниями. Прежде всего отметим, что при В = О, когда нот связи мслшу каналами (т.о. взан- модсЯствис между частицами нс оказывает влияния на овнугрснисв движснио составной частицы), рвссмвтриоввмвя система хнсст лвв дискретных уровня: по ааному в кюкдом нэ каналов. Это — абычныв уровни д.с. в б-яме. При этом в случае ог = Яо + Ео > О, ш го1 глс о, ' = Енг = -тат/2дт, лискрстнмй уровень во втором канале лежит непосредственно нв фоне непрерывною спектра первого канала. В такой ситуации включение лаже слабеЯ связи мсжлу кзналвми, В чь а, приводит к появлению у зтога уровня ширины, в соотвст- ствуюшео состояние становится кввзиствцканзрным.
При этом из (3) ллл энорпги Ег этою состояния получаем ЕтшЕ,--ГшЪ1Ео -2 — т)Ео ( — +' з, (4) 1о1 В' гог еоп . [()о-!е)н() 4," 2 о от ~Цо Еб тт1 Пр» зюи о гягчзо зоглимого «вполз имновоя фуюшия убыовог нз асльши» рзсотолинвх. О б. 76изистиционорные и кбозизнергетические состояния 160 так что уровень сдвигается вверх н приобретает ширину (дискретный же уровень Ег я> нз первого канала испмтмвает лишь небольиюй сдвиг вниз). 2) В заключение нв примере рассматриваемой системы прапемонстрнруем возможность ввелення елшичгслега лемсгшиллл.
Считая, чта ва втором канале системе может оказаться лишь в результате перехода из первого канала, запишем в.ф. стационарного состояния снстемм с (вещественной!) энергией Е а виде Ф = ~ .„). Условна сшивания (ьг(е) ~ С> ехр (та >)э) ) в. ф, в точке е = 0 прнсадчт к соотношениям (сравнить с (2)) ! — — 60>(0) = аф, (0) + РС„ 2 -1Й,С, = аС>+ Рфг(0), (5) злясь 10',(0) — скачок производной функиин в точке и = О. Исключая Сг мз этна соотноше- ний, получаем -- бф>(0) = ~а - )0,(0).
l р> гйт (6) Так как при е и 0 функция ф,(э) по-прежнему удовлетворяет уравнению (1), то условие сшивания (6) (совместно с условием непрерывности ф> (э) ) означает, что зга функция является решением стационарного у. Ш. с гпотенпналом» Ц (л, Е) = -а,(Е) б(э), (7) 6АО. Заряженная частица находится в однородном электрическом поле Ф(1)„периодически изменяющемся со временем, Ф(1+ т) = Е(1), причем так, чта среднее эа период значение напряженности поля равно нулю. Найти спектр лбозиэиераии и вид волновым функций лдозиэнергетичеслих состояний. Специально обсудить случаи о) 6Г(1) = 4созы1; б) Е, = 4> сов ы1, 4т ш 4 мп ы(, Ег ш О (злектрическое поле соответственно линейно и циркулярно поляризованной монохроматнческой волны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
