Galitskii-1 (1185111), страница 44

Файл №1185111 Galitskii-1 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике) 44 страницаGalitskii-1 (1185111) страница 442020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

ф. оператора Ус, отвечаюшнмп с. з. ве — — -р /рм. Однако ввиду некомыугатнвностн операторов хе н уе положенне самого центра орбнтм точно не определено п ограннчсно соатношеннем неопределенности Ьае . гйрв > ай/2, сравннзь с !.30. 3) а) Воспользовавшись выраженнямн (4) н (5) нз 7.! для в.ф.

рассматрнвасмьш состояннй частицы с гп = -еп/)е), получаем распределение аераятносшй г ч" йв(р) =)Ф„м( 2ярйр= —, ( — ) е ~ рар, (7) с поиашью которого находнм Г (п + 3/2) р= / рлв = чг2, аа, р'=2(п+1)аг, р„, = з/2п41ал. (8) Здесь р„„— наиболее вероятное злаченые переменной р, отвечающее макснмуму распреде- ления Лв/Ир.

Заметпм такие, что в РассматРнваемых состонниЯх опеРатоРы Рсг н Рл' нмеют опРгде- леннме значення, равные согласно (5) н (б) (Р(), = ал, (Р!т)„= (2п+ !)ал. (9) В случае и 2 ! (кеаэикеассичеслий предел), используя для имма-функцпн аснмптотнку Г(л) юг/Злая* ! е * прн а-гсо, согласно (8) находим р ш гг2!и ан и, таким образом, Рн ь = 3/(Рв).

= )/Рз ю Рш 42п пан УР ал (10) Полученнме соотношения означают. что раяпальное (па переменной р) распредеяенне веро- ятностей прн и Ъ ! имеет резкий максимум вблнзи знвчюгня р„, Прн этом аырвженне (7) в наиболее существенной области значеннй р можно преобразовать к виду йвш (:гал) ехр г - ! г1р -гц ( (Р Р..) ) ан н найтн Ьр м )/Рг -р'вал/чг2 «Ф. Таким образом, вероятность нахождения частицы заметно отлична от нуля лишь в узкой кольцеобразной области с рышусом г/Запал н шириной порядка а„.

Зто соответствует переходу к классической картнне лвн:кения, усредненной по пернолу врашенняг крушвой арбате частицы, раанус которой связан с энергией частнцы точно так же, как н в классической механике Прн этом соатношеине гп = -еп/)е( для значений и > ! после подстановок т = М,/Ь н п м Е,/йыя переходит в каасснческую связь между моментом частицы относительна центра орбиты н энергией поперечного движения; (е!РР)М, ! Вг —— = вМ. ггс б) Теперь, прн и = 0 н т = е(т!/)е), нмеем распределение вероятностей йв = —,, ( —,~ ехр~ — —, (рцр, (!2) — )т(!аг (,2алг/' ~ 2аг .( что отлнчается ат (7) лишь заменой п на )т). Анавогнчиая замена в формулах (8), (!О), (1!) определяет лля данного случая и лругне характеристнкн радиального распределения частицы. Однако н нтерпраи пня рассматрнваемьш состояний частя цы н мест мало обшепг с преаы- душнм случаем.

Знерпш поперечного движения при п = 0 прнннмаег мнннмальнае значенне, равное йвн/2, н такие састояння являются сушсственно некласснческнмн . Тем не менее, имея в валу, что теперь вместо (9) (Рл)с =ай Р!с!ь ! =(2)т)+1)ая, 778 Глаза 7. Дбижение д магнитном поле при (гн( «1 пространственному распределению частицы в таких состояниях можно совкта- вить следующую классическую картину. однородное раси рекелснне орбит м инимаяьнонг раан- уса, рваного ф(рлг) = ля по узкой кольцеобраэной области с радиусом Я м,/2(т) ал «еи н шмриной порядка огг. 7.3. Намти волновые функции стационарных состояний и соответствующие им значе- ния энергии для заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно перпен- дикулярных однородных магнитном и электрическом полях.

имеем гамильтониан частицы г Е= Яр.'+ ~-,— — '*) +р.'~-. *, Его с. ф. ввиду взаимной коммугвтивностн операторов р„, р„Й можно выбрать в виде (1(рту+у. )) При этом из у. Ш. следует уравнение 7 (э)+ [2РЕ,+2деуь- (р„— — '~ 1 —, У(э) =О, здесь Е, = Š— Ы. Последнее уравнение сводится к у. Ш, для линейного осцнллатора гг с себе~венной часпмой ыи = — ', и, воспользовавшись его решением, см. (П.2), нэходмм с.ф.

и спектр гамильтониана (1) а виве О„, = — схр 1-(р у+р,з) ге„ч э — —" —— п= 0,1,... (4) гдг Е „, =Выгг п+ -à — — г — — + —, и,г. 1, 27 уг 2Л г 2д' (3) Отметнм ряд свойств полученных результатов (4). 1) Энсргстический спектр частицы — непрерывный, причем не ограничен снизу. Это означает, что любой уровень д. с. заряженной частицы в потенциале, мсчеэающем (77 0) на болыпик расстояниях, при наложении электрического поля даме совместно с мапгитным, приобретает мирилу н становится кеазисмякиснернмм, сравнить с 6.36. 2) Собственные функции гамильтониана (4) описывают состояния, в которых частица влоль оси л лвлястся локалнэоваиной. Это обстоятельство при 4 <,ХГ согласуется с финитним характером движения в направлении сои в классической частицы, см.

(27, 422). 3) Производные ОЕми р, ОЕпи =- —,с Вр, р' Вр„ определяют соответственно э-компоненту скорости частицы н скорость се фгйеа 1 в направлении осн у, см. [27). 7.4. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае параллельных полей. Решение. Направив ось э ашжь совместного направления электрического н магнитного полей, замечаем, что гамильтоннан частицы отличается от рассмотренного в 7.1 лишь одним г1 Вэиау условна г е с лслтчсяноэ рсюскяс (4) лркмеинио фактически в слгчас, когда г <:х . Решение. Напраанв ось э вдаль магнитного поля, а ось э — вдоль электрического и выбрав векторный потенциал в анде А =0 Аг=ЯЪг А =0 б !. Станионорнме состояния частицы д лрисутстбии магнитного поля 179 допалнительнмм слагаенмм, равнмм -ее а. При этом сохраняется разделение «поперечного» н «продольного» движения частицы, ио теперь продольное движение соответствует частице в однородном вале, а нс своболиой, как в 7.1.

Соатве»ставило решение рассматрныемоЯ задачи палучаетса из формул задачи 7.1 шменой в них р,'/2Р на энергию Е, продольного двюксния и плоскоЯ волны Ф,(з) на волновую функцию Фп(л) частицы в однородном пале, см. 2.41, а также [1, $24~. Отметим в заключение, что, как н а прелыаушей зыаче, энергетический спектр частицы явюмтся непрерывным и нео»раиичениым снизу. ».5. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных со- стояний заряженного сферического осциллятора (заряженная частица а потенциа- ле (/ = Ьгз/2), находящегося в однородном магнитном поле. Исследовать предельные случаи о) слабого н б) сильного магнитных полей.

Решение. Прн выборе векторного потенциала А = [Ргг)/2, гзмильтаниан частицы в цилин- дрических координатах с осью з, направленной вдоль магнитного поля, принимает вид Ь» (1 д д 1 д» еЛ'-1 /Ь е»Л'»'г Й + + 1 + +»+Й 2Р[.РВР Лр Р Вр сй *~ [,2 Ь„. ! где + —.*. 2Р Ьа» 2 Блшодаря азаимиаЯ коммугатнвностн операторов 1„Н» н Н с.ф. гамильтоннана можно выбрать в виде (оператор Й» описывает линейныЯ оспиллатар) е'"» йа г = г/ — й г (а)г/Р/(Р) н» = О, 1,2,.... г/2~г Прн этом у.

Ш. свалится к уравнению 2 [2РЕ, еЛ'т т» — !/4 р 1 »1 Р Ь» гл Р» 4а« где Ег = Š— Ви(нг+ 1/2), ы = »/Ь/Р, ил = [с(Л'/Рс, а = (Ь/Р)»»[4м»+и» ) ' . Опалишь переабозначеннем величин отлнчаетая аг уравнения Шредингера, рассмотренного в задаче 4.5. Отсылая к ней за деталями решения, приведем окончательные резуяьтатьс ъ/р/н = С(-) схр (- — »)Е~-п„[т[+ 1, — ), и, = О, 1, 2,....

(2) Ьыле»п / г» 2'г'+(т[+! Егин 2)е[ 2 +Ь1/мг +4и~ Выражения (1) н (2) определяют собственные функции н спектр гамильтоннана асциллятора в магнитном пале: Г 2нг + [пг[+ 1 Г' 1 г Гк«ле»л Е, „=Ьг/ым» »таи» 2 + Ьы [н + -/! — —, ) (3) В случае слабого поля, котла ыл с ш, сесюда имеем г»1 ейп е Ь(2н, + [т[+ 1) Е„, „, мЕи ЬГ+ Л»г (4) 2лс ЗР»с»и здесь ег»1 = Ви(лг + 3/2) описывает уровни невозмушенного асциллятора, см.

4.5, при шом ЬГ = 2л, + [т[+ нг. Линейны по Л' четь сданы уровня соатвегствуст взаимодействию магнитного момента оспиллятгюа с магнитным полем, которое опнсмажтся выражени- ем Р = -Рьк, где Р = (ел/2лс)1 — оператор орбитального магнитного момента заряжеиноЯ частицы. Квааратичнае по Л» слагаемое в (4) определяет диане»нимало часть сленги уровня. В частности, для основного уровни линейный по полю сдвиг атсугствуег н 1, г ей »ХЕ« ш — -Х»Л', тле Хс = —— 2 4Р'с'м определяет магнитную еаслриимтишммь основного состояния осцнллятора. Глава 7.

Дрожание 8 магнитном поле В случае сильного нагннтпого полк, когда ил > и, нз (3) слшгуст д 2 В»~и»г ш Лг, + (2ш е (т) + О+ Й, г. (5) ид ?еперь «поперечная» часть спектра опргдезястся з основион дейстзнеы нзгнктнолг поля. и Юг „= Аи„(п+ 1/2) воспроизводит спектр уровней Ландау, ори тон н = п~ + )т(/2— сгп/2)с(. Второе слвгзеыос в (5) лает поправку, учитыеэюшую шкяннс упругой силы нв поперечноее двинские частицы.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,36 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее