Galitskii-1 (1185111), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ф. оператора Ус, отвечаюшнмп с. з. ве — — -р /рм. Однако ввиду некомыугатнвностн операторов хе н уе положенне самого центра орбнтм точно не определено п ограннчсно соатношеннем неопределенности Ьае . гйрв > ай/2, сравннзь с !.30. 3) а) Воспользовавшись выраженнямн (4) н (5) нз 7.! для в.ф.
рассматрнвасмьш состояннй частицы с гп = -еп/)е), получаем распределение аераятносшй г ч" йв(р) =)Ф„м( 2ярйр= —, ( — ) е ~ рар, (7) с поиашью которого находнм Г (п + 3/2) р= / рлв = чг2, аа, р'=2(п+1)аг, р„, = з/2п41ал. (8) Здесь р„„— наиболее вероятное злаченые переменной р, отвечающее макснмуму распреде- ления Лв/Ир.
Заметпм такие, что в РассматРнваемых состонниЯх опеРатоРы Рсг н Рл' нмеют опРгде- леннме значення, равные согласно (5) н (б) (Р(), = ал, (Р!т)„= (2п+ !)ал. (9) В случае и 2 ! (кеаэикеассичеслий предел), используя для имма-функцпн аснмптотнку Г(л) юг/Злая* ! е * прн а-гсо, согласно (8) находим р ш гг2!и ан и, таким образом, Рн ь = 3/(Рв).
= )/Рз ю Рш 42п пан УР ал (10) Полученнме соотношения означают. что раяпальное (па переменной р) распредеяенне веро- ятностей прн и Ъ ! имеет резкий максимум вблнзи знвчюгня р„, Прн этом аырвженне (7) в наиболее существенной области значеннй р можно преобразовать к виду йвш (:гал) ехр г - ! г1р -гц ( (Р Р..) ) ан н найтн Ьр м )/Рг -р'вал/чг2 «Ф. Таким образом, вероятность нахождения частицы заметно отлична от нуля лишь в узкой кольцеобразной области с рышусом г/Запал н шириной порядка а„.
Зто соответствует переходу к классической картнне лвн:кения, усредненной по пернолу врашенняг крушвой арбате частицы, раанус которой связан с энергией частнцы точно так же, как н в классической механике Прн этом соатношеине гп = -еп/)е( для значений и > ! после подстановок т = М,/Ь н п м Е,/йыя переходит в каасснческую связь между моментом частицы относительна центра орбиты н энергией поперечного движения; (е!РР)М, ! Вг —— = вМ. ггс б) Теперь, прн и = 0 н т = е(т!/)е), нмеем распределение вероятностей йв = —,, ( —,~ ехр~ — —, (рцр, (!2) — )т(!аг (,2алг/' ~ 2аг .( что отлнчается ат (7) лишь заменой п на )т). Анавогнчиая замена в формулах (8), (!О), (1!) определяет лля данного случая и лругне характеристнкн радиального распределения частицы. Однако н нтерпраи пня рассматрнваемьш состояний частя цы н мест мало обшепг с преаы- душнм случаем.
Знерпш поперечного движения при п = 0 прнннмаег мнннмальнае значенне, равное йвн/2, н такие састояння являются сушсственно некласснческнмн . Тем не менее, имея в валу, что теперь вместо (9) (Рл)с =ай Р!с!ь ! =(2)т)+1)ая, 778 Глаза 7. Дбижение д магнитном поле при (гн( «1 пространственному распределению частицы в таких состояниях можно совкта- вить следующую классическую картину. однородное раси рекелснне орбит м инимаяьнонг раан- уса, рваного ф(рлг) = ля по узкой кольцеобраэной области с радиусом Я м,/2(т) ал «еи н шмриной порядка огг. 7.3. Намти волновые функции стационарных состояний и соответствующие им значе- ния энергии для заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно перпен- дикулярных однородных магнитном и электрическом полях.
имеем гамильтониан частицы г Е= Яр.'+ ~-,— — '*) +р.'~-. *, Его с. ф. ввиду взаимной коммугвтивностн операторов р„, р„Й можно выбрать в виде (1(рту+у. )) При этом из у. Ш. следует уравнение 7 (э)+ [2РЕ,+2деуь- (р„— — '~ 1 —, У(э) =О, здесь Е, = Š— Ы. Последнее уравнение сводится к у. Ш, для линейного осцнллатора гг с себе~венной часпмой ыи = — ', и, воспользовавшись его решением, см. (П.2), нэходмм с.ф.
и спектр гамильтониана (1) а виве О„, = — схр 1-(р у+р,з) ге„ч э — —" —— п= 0,1,... (4) гдг Е „, =Выгг п+ -à — — г — — + —, и,г. 1, 27 уг 2Л г 2д' (3) Отметнм ряд свойств полученных результатов (4). 1) Энсргстический спектр частицы — непрерывный, причем не ограничен снизу. Это означает, что любой уровень д. с. заряженной частицы в потенциале, мсчеэающем (77 0) на болыпик расстояниях, при наложении электрического поля даме совместно с мапгитным, приобретает мирилу н становится кеазисмякиснернмм, сравнить с 6.36. 2) Собственные функции гамильтониана (4) описывают состояния, в которых частица влоль оси л лвлястся локалнэоваиной. Это обстоятельство при 4 <,ХГ согласуется с финитним характером движения в направлении сои в классической частицы, см.
(27, 422). 3) Производные ОЕми р, ОЕпи =- —,с Вр, р' Вр„ определяют соответственно э-компоненту скорости частицы н скорость се фгйеа 1 в направлении осн у, см. [27). 7.4. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае параллельных полей. Решение. Направив ось э ашжь совместного направления электрического н магнитного полей, замечаем, что гамильтоннан частицы отличается от рассмотренного в 7.1 лишь одним г1 Вэиау условна г е с лслтчсяноэ рсюскяс (4) лркмеинио фактически в слгчас, когда г <:х . Решение. Напраанв ось э вдаль магнитного поля, а ось э — вдоль электрического и выбрав векторный потенциал в анде А =0 Аг=ЯЪг А =0 б !. Станионорнме состояния частицы д лрисутстбии магнитного поля 179 допалнительнмм слагаенмм, равнмм -ее а. При этом сохраняется разделение «поперечного» н «продольного» движения частицы, ио теперь продольное движение соответствует частице в однородном вале, а нс своболиой, как в 7.1.
Соатве»ставило решение рассматрныемоЯ задачи палучаетса из формул задачи 7.1 шменой в них р,'/2Р на энергию Е, продольного двюксния и плоскоЯ волны Ф,(з) на волновую функцию Фп(л) частицы в однородном пале, см. 2.41, а также [1, $24~. Отметим в заключение, что, как н а прелыаушей зыаче, энергетический спектр частицы явюмтся непрерывным и нео»раиичениым снизу. ».5. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных со- стояний заряженного сферического осциллятора (заряженная частица а потенциа- ле (/ = Ьгз/2), находящегося в однородном магнитном поле. Исследовать предельные случаи о) слабого н б) сильного магнитных полей.
Решение. Прн выборе векторного потенциала А = [Ргг)/2, гзмильтаниан частицы в цилин- дрических координатах с осью з, направленной вдоль магнитного поля, принимает вид Ь» (1 д д 1 д» еЛ'-1 /Ь е»Л'»'г Й + + 1 + +»+Й 2Р[.РВР Лр Р Вр сй *~ [,2 Ь„. ! где + —.*. 2Р Ьа» 2 Блшодаря азаимиаЯ коммугатнвностн операторов 1„Н» н Н с.ф. гамильтоннана можно выбрать в виде (оператор Й» описывает линейныЯ оспиллатар) е'"» йа г = г/ — й г (а)г/Р/(Р) н» = О, 1,2,.... г/2~г Прн этом у.
Ш. свалится к уравнению 2 [2РЕ, еЛ'т т» — !/4 р 1 »1 Р Ь» гл Р» 4а« где Ег = Š— Ви(нг+ 1/2), ы = »/Ь/Р, ил = [с(Л'/Рс, а = (Ь/Р)»»[4м»+и» ) ' . Опалишь переабозначеннем величин отлнчаетая аг уравнения Шредингера, рассмотренного в задаче 4.5. Отсылая к ней за деталями решения, приведем окончательные резуяьтатьс ъ/р/н = С(-) схр (- — »)Е~-п„[т[+ 1, — ), и, = О, 1, 2,....
(2) Ьыле»п / г» 2'г'+(т[+! Егин 2)е[ 2 +Ь1/мг +4и~ Выражения (1) н (2) определяют собственные функции н спектр гамильтоннана асциллятора в магнитном пале: Г 2нг + [пг[+ 1 Г' 1 г Гк«ле»л Е, „=Ьг/ым» »таи» 2 + Ьы [н + -/! — —, ) (3) В случае слабого поля, котла ыл с ш, сесюда имеем г»1 ейп е Ь(2н, + [т[+ 1) Е„, „, мЕи ЬГ+ Л»г (4) 2лс ЗР»с»и здесь ег»1 = Ви(лг + 3/2) описывает уровни невозмушенного асциллятора, см.
4.5, при шом ЬГ = 2л, + [т[+ нг. Линейны по Л' четь сданы уровня соатвегствуст взаимодействию магнитного момента оспиллятгюа с магнитным полем, которое опнсмажтся выражени- ем Р = -Рьк, где Р = (ел/2лс)1 — оператор орбитального магнитного момента заряжеиноЯ частицы. Квааратичнае по Л» слагаемое в (4) определяет диане»нимало часть сленги уровня. В частности, для основного уровни линейный по полю сдвиг атсугствуег н 1, г ей »ХЕ« ш — -Х»Л', тле Хс = —— 2 4Р'с'м определяет магнитную еаслриимтишммь основного состояния осцнллятора. Глава 7.
Дрожание 8 магнитном поле В случае сильного нагннтпого полк, когда ил > и, нз (3) слшгуст д 2 В»~и»г ш Лг, + (2ш е (т) + О+ Й, г. (5) ид ?еперь «поперечная» часть спектра опргдезястся з основион дейстзнеы нзгнктнолг поля. и Юг „= Аи„(п+ 1/2) воспроизводит спектр уровней Ландау, ори тон н = п~ + )т(/2— сгп/2)с(. Второе слвгзеыос в (5) лает поправку, учитыеэюшую шкяннс упругой силы нв поперечноее двинские частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
