Galitskii-1 (1185111), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Решение. Возмущение Г = -сяв и очевилио Е, = О. Дяя вычисления поправки второго о> приближения согласно (ЧШ.!) шюпохьзуемся известными значениями матричньш элементов коорвинаты ссциллятерв. см, (П.З). Учитывая также вил спектра й!> невезмушенного !з> осциллятора, тшучвем зл > П. ш П.п+ й>п+ П!в ш Ь (н+ -' ! - — ' 2/ 2пгы>' так что Поляризуемость Кля всех состояний осциллятера одинакова и равна рт = е /ты>.
Результат ( !) совпшшт с точимм, см. 2.2. Поэтому прелстаахяется очевнлным, что поправки третьего и более высоких порядков теории возмущения равны нулю. И Состояния кхзнтсзнх снеюм с в Ъ > явххютсх тазиыяггххыххях. Тхернх хсзнтшеиих хл» тхиих сссгехнвя вхсснстрснх з зхххчах 9 !0-9.>?. 77. нх под действием не зависящего от времени возмущения У: >(ш(т."/) = Л (У/! б(Рп — Юг( / 2з' (Ч1П.10) где >( / характеризует число таких состояний. Интегрирование по энергии этих состояний дает залитое правило Ферми для вероятности перехода: ш(з () = — !1П! р/(Рпт) 2я з Л (Ч(П.11) где р/(Е,) — плотность конечных состояний.
Обобщение (ЧП!.10) на случай периодического во времени возмущения вида 194 Глава 8. Теория Возмущений. Вориоционный метод 6.3. То же, что н в предыдущей задаче, для зарюкенной частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме в основном состоянии. Решение. Возмущение Ч ш -едх.
Используя вид в.ф. иевоэмущеиною юмильтоннана, см. 8.1, и симметричность [Ф,)(х)[ относительно центра ямы, находим (п1х[н) = а/2, так что в первом порядке теории возмущений лля всех уровней аь =- -еаза/2. Давее, вычислив (О матричный элемент координаты (ллв н й 0): 2 / хх «(и+ 1)х 4[(-1)" -1[(н+!)а х„= — /г хзш — зтп Нх= а,/ а а «)п'(н+ 2)' е (ан отличен ат нуля лишь лля нечетных значений и) и учтя внд невозмущенного энергетического спектра частицы в яме, см.
2.1, согласно (ЧП1.!) находим поправку второго приближения В( ) ш -(Уегу)/2, определяющую поляризуемоаю основною состояния р) 1024 юа"е( ~~ (й + !)1 «ь г' е.~ (28 + П)(2й + 3)»' Зтот ряд бмстро сходится и его значение определяется практически лишь первым членом, так что ре ш 4,39 10 'гпе'а'/Л'. Сделаем замечание по поводу числовой мвнюти коэффициента. естественная оценка шш поляризуемосгн имеет вид р е)/пьн), где ы — характерная частста (сравнить с полярнзуемостью осциллятара из 8.2). В свою очередь, оценке для ы следует из соотношения йы = ЬВ, где ЬЖ вЂ” расстояние до саселнею уровня (противоположная четности).
В рассматриваемой задаче слеауст считать ВШ вЂ” йкеи 3(г'й н 1 й 2пнзг при этом, согласно (!), получаем Ре м 0,96е'/ты'. 8.4. Для плоского изогропного осциллятора найти в первом неисчезающем приближении теории возмущений сдвиг основного уровня под действием возмущения У = аху. Указать условия применимости полученного результата и сравнить ею с точным, см. 2.49. Решение. Собственные функдии и спектр невозмушеннаго гамильтониана рассмотрены в 2 48 и имеют вид Ф())м = Ф„,"(х) Ф„"(у), Е[~1 Ш811 =йм(РГ+1), йГ мп, +из =0,1,2, (!) Сдвиг основного уровня в нервом порялке теории возмущений отсутствует, ае = О.
Прн и) вычислении пощхшки второго приближения, согласно (ЧП1.1), пад ю теперь следует понимать набор из двух чисел (п,,п,), определяющий невазмушенные с.ф. (!). Воспользовавшись известнмми значениями для матричных элементов координаты линейного асциллятора, см. (П.3), находим, чта (п1п()У)00) отлично от нуля лишь дри и, = п) = 1, причем (! 1 ! У [00) = ой/2п«н, и получаем Ее = -агй/Згп)ыг.
Условие применимости теории и) 1 возмущений (ЧП).3) в рассматриваемой эаааче принимает вид [а! ч. п(ш~ = й. Согласно 2.49, точное значение энергии аснавнога состояния Ее = йы(ф+ а/й+ чз) — а/й)/2, Разложение его по параметру а/8 соответствует ряду теории возмущений. Кэк виана, в случае [а/й[ ч. 1, соответствующем применимости теории возмущений, ряд быстро сходиюв. При [а/й! > 1 в рассматриваемой задаче уже не возникает квантования энергстическо(О спектра, а ряд теории вазмуп(еиий оказывается расмшяшимися. б 1.
Стационарная теория Возмущений /дискретный слеяглр) !Фб 8.5. В условиях предыдущей задачи найти расщепление: а) первого возбужденного, 6] второго возбужденного уровней осциллятора. Указать правильные собственные функции нулевого приближения. Решение. а) Нсвозмушснный Уровень осинллятара с ЛГ = ! яввмтся двукратно вырожденным. Отвечающие ему невазмушениыс с. ф. Ф„,„„см. прельибчпую задачу, обозначим го> как Ф, ю Ф,о и Ф, и Фи. Матричные элементы возмущения с такими с.ф. с учетом (Н.З) го> >о> >о> го> равны: !и и Уп = О, !',г = >г, = од/2иин. Секулярное уравнение (УН1.5) и его решение имеют вид и> од -Е, од 2 ион Ш о = О, Ег'г>> — — Ф— (!) го " 2тм' 2тн так чта вырогкдение уровня снимается.
Правильные функции нулевого приближения Ф... = н> (Ф>о> Ф10>)/,/2 б) Зтат уровень с ЛГ = 2 трехкрэтно выражаем. Ему отвечают с ф. Ф," ж Фгн>, Ф~~ ж Ф>П, >о> >П Фг ш Фю. Отличные от нуля матричные элементы возмущения равны: Уи = >ггг = Угг = !и = од/ъ/2пгм. Региение секулярного уравнен и» дает следующие значения поправок первого порыва: Е,=- —, Екь,=о, 1> од г», од (2) так что уровень расщепляется иа три палуровня и вырсышсние полностью снимастая. Отвечающие расщепленным уровням (2) правильные функпии нулевого приближения имеют вид ,го> иг2 ,го> ,го> го> ,>о> Ф>о> г р г + г Ф>о> г > г, г 1>> 2 г, г /2 Читателю ирсдлагастся сравнить палуче ни ме но теории возмущений результаты с точным решением, см.
2,49. 8.6. На двухуровневую систему (уровни невырожденные, их энергии с, и с,] накладывается возмущение, >гарактернзуемое матричными элементами Уи, Угг, Ую = Уго между походными иевозмущеннымн состояниями ! и 2. Найти сдвиги уровней в первых двук порядках теории возмущений, указать условия применимости полученных результатов и сравнить нх с точными. Решение. 1) Сдвиги уровней в первых двух порядках теории возмущений равны: г Ег Угг Ег = Угг, Ег и> >п и> ш ]У! (1) сг сг Условие применимости: ]Нг], ]Угг), ]Угг! «сг — сг.
2) Зти результаты полезно сравнить с точным решением задачи, состоящим в лиагоналиэации оператора (матрицы) Й Й >; /с>+К> Уг ) Й=Йо+У= ~ Угг сг + Угг Эта иатрица является гамипьтонианом возиушсннаа двухуровневой системы в знергемическан лргг>смееоении элв невазмушеиного гамнвьтаниана. Ес с. з. равны'> 1г Еьг ->с, + го+ Угг+ Угг Р (ог — О+ Ун — Уп)'+ 4]Угг!' ). 2( (2) В условиях отмеченной выше малости матричных элементов Ум разоажсние в (2) >мликала по смпеням параистра У/(с, — сг) саатвотатвуст раау теории возмущений лля о> Срооннть с 6.9, Глава В. Теория Возмущений. Вориоиионный метод невмрожде ни мх уровней, первые члены которого сов лакают, естественно, с выражениями (1).
С другая стороны, в случае е, = ет, результат (2) иепосрелсгвснна следует нз секулярного уравнения (чи1.5) дая двукратно вмрохшсиного уровня. соответственна при г< Р ет формула (2) дает обобщение теории возмущений на случай двух близко расположенных уровней, взаимодействие которых друг с другом учитывается точно, в взаимодействием их с астахьныии уровнями системы пренебрегается.
8,7. Гамильтамнан системы зависит от некоторого параметра Л так, что Й(Л) = Л+ Лур, где Л и 3У от Л уже ие зависят. Доказать соотношение дтЕв(Л)/длт < О, где Же(Л) — основной уровень этого гамильтониана. Проиллюстрировать полученный результат на примере осциллягора и частицы в кулонаеском потенциале. Решение. Рассмотрим значения параметра Л близкие к некоторому Ла и запишем гамильто- ниан в виде й(Л) = й(за) + (А — Аа) Вг. Используя пр» А Ла теорию возмущений, находим В,(л) = В,(л,) + д(л,)(л — л,) + в(л,)(л — л,)'+..., при зтам В(ла) < О, так как поправка второго приближения к основному уровню всегда отрицательна.
Отсюда и следует угвержленне задачи, так как — = 2В(Л) < О. дЛ2 П роиллюстрируем установленное свойство емлукяасми зависимости Ее(Л) иг параметра Л на примере линейного асцнллятара. Длл него Й = р г/2т+лэг/2 и ее = лы/2, где и = чгл/т. В роли параметра Л можно выбрать А = Л и непосредственным лифферснпироюиием убелиться в выполнении неравенства Ве < О. Аны<агнчно можно рассмотреть и случай кулоновскою потенпнаев, 8,8. Плоский ротатор с моментом инерции 1 и электрическим дипольным моментом й помещен в однородное электрическое поле В, лежащее е плоскости вращения.
Рассматриаая действие поля как возмущение, найти поляризуемасть основного состояния ротагора. Решение. для невозмушенного ротатара имеем, см. 3.2: т т О<< ш — е' ", В<1= —, т=бж!,ж2, (П Возмущение У = -ей = -дд сазу. Воспользовавшись формулой сокр = (е'г + е ")/2, им<алим, что матРичные злементм Учи отличны ог нуля лшнь лля значений т' = т ж 1 н рввим при этом -дд/2.
Теперь, согласно (Ч1И.<) и (1), получаем ллв основного урания ротаторе 2 Ве + де +Ве <а; -го Ш <1 1 т Лг (2) Соответственно паляризуемость основного состояния рогатора Ре = 2 к<1/Лт, сравнить с 8.2 н 8.3. 8.9. В условиях предыдущей задачи нанти е первых двух порядках теории возмущений сдвиги и расщепления энергетических уровней возбужденных состояний ротатора н нх поляриэуемасги. Указать правильные собственные функции нулевого приближения. Обратить внимание на выделенность свойств первого возбужденного уровня. Решение.
Хотя возбулшенные уровни ротаторе являются двукратно вырожденными, лля расчета нх сляигав е олпароднам электрическом поле ма:кно использовать теорию возмущений для невырожденнык уровней, если заметить слеауюшсе. Возмущение У = -де"саар, как 51. Стационарная теория Возмущений/дискретный спектр) 197 Ьг з Фс! = — созрр, Ф = — па!яр, 8' ь = —, Р = (гл(=1 2 .. и Фа ~ = !/т/Зяя, Жта~, = О лля р = О (основной уровень). Йач нем с расчвгов сдвигов тстних уровней. Ллл них находим, что отличны от нуля л игиь слелуюшис матричные элементы возмущения: т лв — Р'=я~!, Р'РО, РЫО, 2' 1яь Ль Ер — р~ш!, Л=О или Р~шб, Р=!, з/2' и по форыулам (УЗ!1.1) получаем О! 1,Г 3 Ез/ВЯ !П йгудз бдг ' " (4Р -Пд' Для яечстлихурсвлей У„„= -Ея/2 при Л' = Р а! (остальные матричнме элементы равны нулю) и их сдвиги равны Езуйз азу 1 б;П = , Лпв Р > 2. (4рг — Цйз (2) Из сравнения емражсинй (1) н (2) следует, что во втором порядке теории возмущений уровень ротвтора с (т! = 1 расщепляется и вырожлсние снимается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
