Galitskii-1 (1185111), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Теория боэмущеной Вориоционнмй метод 8.20. Используя теорию возмущений, получить правило квантования квадрата орбитального момента и найти внд щаровык функций в случае 1 щ (гп( Ъ 1. Решение. Уравнение 1 Фс„= Бей~ с помощью подстановки 1 й,„м Г 2(В) тг2~г пп В принимает вид одномерного уравнения Шрелингера 1 тэ — 1/4) Х' + [Ь'+ — — ~ 2 = б 4 згп гр С д = 1, МаССОй» р = 1/2, глотсицнаЛЬИОйзиерГИсй ГГ(В) = цщт/5 И Эисртнся», раеиай Ьт+ 1/4. В случае тт 2 1 гпотеииизл имеет глубокий минимум при значении В = э/2 и в. ф. нижник суровнсйь локализованы вблизи этой тачки.
Раэаапгя сг(в) в ряд г/(в) = ( — 4) ~!+ (в — 2) + 3 (в — -/ т...~, (2) замечаем, что рассматрищемая зыгачз сводится к у. Ш. лля линейного осциллятора. В яумеси приблюкснии, опускал в (2) слагаемое ( — е/2)', получаем (положено х = ( — е/2): ггг т/2" ьгэп! и = О, 1, 2,..., (Е„) = пг + 2(т) (и+ 1/2) — 1/2, ле С вЂ” ф а, .;в йфу цниввмр и д уг опущены члены порялка 1/)щ(. 2(ля утсчнения значения ь' найдем слсаующую поправку, соответствующую учету з (2) ангзрмоничности ( — з/2) . Она оказывается равной 4 2лэ' (г. )Гг! — 2 (В ) — пэ+л+ 1 3 2 2 (сравнить с (1, с. 1бб)), н, прибавив ее к значению нулевого приближения из (3), замечаем, что получающийся результат Ь' = (Ь'„) + (Ь'„) = ((щ(+ п)((щ(+ н+ 1) (4) воспроизводит точное значение Бг = 1(! + 1) с ! = (щ! + п.
Отметим, что условие локализации в.ф. (3) в области углов ( — гг/2! « 1, использованное при решении залачи, требует, чтобы и « !гл(, (т( > 1 (сравнить с 8.13). Наконец, как известно, фазовый множитель у щвровык функций фиксируетсе определенным условием, см. (111.8) и (111.5). В соответствии с ним в (3) слелуст выбрать Р( 1)Ь +! ЕГэ 82. Ваоиационный метод 8.21. Найти вариационным методом энергию основного уровня частицы в потенциале нз задачи 2.8: (Т м Рех для х > О и б' м оо для х < О. используя пробные функции вида о) ФщАхекр(-ах); б) ФщВхскр( — ахт/22 при х ) О.
Сравнить с точным значением. Реммгое. Вычислим среднюю энергию Й(о) и найдем ее минимавьное значение щгп8 щ Й(ос). В соответствии с основной идеей вариашюиного метода сто можно рассматривать Глава В. Теория Возмущений. Норноционнмй мешай Как видно из (!), значения Е(ае, и) близки к Еэ и при и, отличных ат ие = ао: (существенное различие проявляется лишь для малых значения и, при кагорых начинает сказываться медленное убывание иа больших расстояниях, по сравнению со значениями точной, пробной волновой функции). б) Используя значение интеграла (Д1.5), находим 2" '(и — 1)!аг" ' — и(2и — !)йз — йхз йа з(2и — 3)й ' 8(и+!)пгаг' 2 2(2и — 3) Минимизация по параметру а лает (м = т/В/ш ) (2 1)(2 3), ьч 2иг — и — 3 ' ъ 4йт(и+ 1) а послелуюшал минимизация по и воспроизводит (при и = ие —— ао) точное значение Бе —— йм/2 (объяснение этого обстоятельства — такое же, как и в случае д-ямы, а сделанное выше замечание о близоати Е(ам и) к Ее и прн и ~ ие остается справедливым и дея осциллятора), е) Для кулоновского потенциала, 1/ = -а/», находим «(и — !)(2и — 3) йз — (2и — 3)а 4яд = (и- !)(2и — 3)(2и-1)ам з, Т = —, Г/ =- 2(2и+ !) шаг' 2а Минимизация по параметрУ а лает 3 ! таз 2и(и.!.
!)й» Е(ае,и) = — ~!— Ви(и — 1)/ 2йг ' (2и+1)ша' а послелуюшэя минимизация по и приводит к точному результату Ее = -тат/2Ь . Ситуашш здесь такал же, как и в случае рассмотренных выше потенциалов. В заключение отметим следующее обстоятельство. Как известно, если используемая пробная функция обеспечивает достаточно высокую точность варнациониаго рвсчюв Ее, так что то вычисление а ее помощью какик-либо друпш характеристик / основного состояния (таких, как плотность вероятности (Ф!', (гзх)з, и т.д.) имеет существенно меиыпую точность и, вообще говоря, (/ е// — 1( у.
Так, в случае б-вмы рассматриваемая пробная функшш при и = !О дает значейне Ее с погрешностью 0,2%. Вмчисленное же с се помощью среднее йй йз г (2и -3)(2и — 2)(2и+ !)' Хша) отличается от точного значения иа 19%. Далее, в случае кулоноаского потенциала, также при и = 1О, согласно (3), Ее,„отличается ат точном значения на 0,4%. В то же время отличие (2и -3)(2и — !)(2и+ 1)г /та'1 32яиг(и - 1)г 1, Л» / от точного значения аоставляет !5%.
Такая существенная потеря точности при вычислении пространствснимх характеристик частицы сввэана, по-видимому, с тем, что используемые пробные функции при конечных значениях вариацианного параметра и убывают на болыцих расстояниях лишь степенным абрагом, в отличие ат экспоненцнальнога убывания точных в.ф. расаматриваемых систем. б 2. Вориоционншй метод 8.23. Найти энермю: о) основного, 6) первого возбужденного уровней частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме, аппроксимируя собственные функции гамнльтониана простейшими полиномами, удовлетворяющими требуемым условиям. Решение.
При определении вида полиномоэ, аппроксимирующих в. ф. рассматриваемых со- стояний частицы н прелставллюшнх простейшие лробныс функции варнацианного метода, прсжлс всего следует учесть граничные условия Ф(0) = Ф(а) = 0 и отсутствие нулей у в. ф. основного состояния (нс считая граничных). Далее, пробная функция дая первого возбухщсн- ного уровня должна быть ортогоиальна а ф, основного состояния (именно при выполнении этою условия значение Е преаставляст ограничение сверху дня энергии возбужденного уров- ня, сравнить с 8.28).
В залачах с одномерным синметричиым потенциалом такое условие ортогональности легко обеспечить благодаря разяичиой четности в. ф. основного и первого возбужденного состояний при огрыкеиии координат относительно центра симметрии. а) Для основного состояния выбираем Ф = Аз(а — *) при 0 < а < а; зта пробная функция, как и точная в.ф., явлается четной при отрыкснии координаты относительно цензра ямы з = а/2. Пронормировав в.ф., находим (так как У = О, то Е = Т): А = —, Е= — у (Ф'(зК Аз= — м1013Ее 50 — Д /, 5й! (!) аз' 2т / та' о) теперь, для первого возбужденного уровня, выбираем Ф = Ва (а/2 — з) (а — з); множитель (- — з) опрслеляет требуемую симметрию в.ф. Находим В = —, Е=Т=21 — м1,064Е, 840 — — Л' (2) аз ' таз (при вычислении интегралов удобно сделать подстановку з' = з — а/2).
Найденные значения (1) и (2) величины Е по смыслу расчета представляют при- ближенные значения эне/згетичсских уровней Ез и Е,. Ближкть их к точным значенн- яМ Е4 ш ЗД'(П+ 1)'/2та Саязаиа С теы, Чта раССМатрИВаЕМЫЕ ПрабНЫС фуНКцИИ Отражает основныс свойства точных в.ф. Фз(з) и Ф,(з), сравнить с 8.21. 6.24. Для двух частиц одинаковой массы т, находящихся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме и взаимодействующих друг с другом как непроницаемые точки, найти энергию основного уровня.
аппрокснмируя волновую функцию основного состояния простейшим полииомом, удовлетворяющим требуемым условиям. Сравнить с точным результатом, см. 2.51. Решение. Ввиду взаимной непронипаемости точек в.ф. системы улоахетеоряст условию Ф(ли аз) = 0 прн з~ = зз. Соответственно, учтывая граничные условия на стенках ямм и считая длл опрелслснности, что 1-я частица находится левее 2-й, аппраксимируем точную в. ф. основного состоянию еырыкением Ф=Ал(е, — аз)(а-зз), 0< а, ~(зз <а, игрмощим роль пробной функции при вариационнон расчете энергии основною уровня Ее.
Пронормировав в.ф., чта ласт А' = 5 040а ', с учетом У = 0 находим дз Еь р — — Т~ +Тз — — — — / / Ф'~ — 1- — 1Ф Аз, Азз = 28 — (Т, = Тз). 2т,/ / 1Взз де,'3 ' ' та' е з Это значение отличается на 13% от точного Ее = 5е'Л'/2лза', см. 2.51 н сделанное там замечание о вырождении уровня. В.ач5, Найти аариацнонным методом энергию нижнего р-уровня частицы в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме радиуса а, воспользовавшись пробной радиальной функцией вида Д(г) = Аг(а" — г") прн г < а, где и — ваоиационный параметр (Фг-!, м(г) ш В(т)К!м(н)).
Сравнить с точным значением. Глава 8. Теория Возмущений. Еарионионный метод Решение. Для частицы в центральном потенциале при вариацианнам расчете энергии нижнего уровня с произвольным значением орбитального момента ! не возникает осложнений, связанных с необходимостью выбора пробной функции быть ортогональной в. ф. более низких уровней (с меиьшимн значениями момента): уповал зависимость в. ф, в виде м 3«(а) обеспечивает такую артагонвльиость автоматически.
Пранармировав указанную в условии пробную функцию, что дает 5(5+ и)(5+ 2и) 2и«а«" «« с учетом значения «7 = 0 находим Д«Т (/ 1 4«2 «1 5(5+ и)(5+ 2и) Д« Е(и) =Т = — ) Е'(«) [~-- — г+ — )Е(«)~г Д 2т ) ('т г йг«г«) ~ 4(3+ 2и) «па' Минимум Е(и) апредеяяст оптимальное приближенное значение (дающее ограничение сверху) энергии нижнего уровня, и, = О, с моментом ! = 1.
При этом Еи р ш !0,30й«/п«а«,точка минимума ие ш 0,37. Однако и при друпгх значениях и 1 получается близкий результат, как эта видно из таблицы Отметим, что точное значение Ее, = Ю,100'/та' слелует из 4.9, если воспользоваться значением хт = 4,4934 первого нуля функции бесселя э«г«(е). Решение. В соответствии с аснавиай идеей зариационнаго метода надаем среднее значение Е(т, г), минимитция каталога позволит определить сленг уровня. Сначала нормируем пробную функцию, лля чет следует выбрать «Р«Ч -««Р« (1) 2(» е т)« ' 2(1 + т)'' «десь и никс используется сеаагють» внешнего паля, а также система единиц, в которой й = т = о = 1, при этом не —— 1 и Ее -- — !/2 — энергия уровил в отсутствии поля. Вычислив «е« тш-)(Ф(.)( дзш-С ~!+ ), «1 «Т г) 2 2(1+ т) « / Зер« «Т = -об(х) — Рх = -С ~1+ — ) (")) (2) 8.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
