Galitskii-1 (1185111), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Что жс касается случая ра/Л » 1, то Ащ ' и, „„, и, э 2 э (9) Лр(\ — 2гра/й) ' Л'рэ(1 — гро/й)(1 — 2тра/Л) Как вилла, при ра/Л 1, условие применимости тсорнн возмущений, )А!'!ЯА!'!( « 1, совпадаст с (б). Ввиду стспснпого убывания (г(р) тсорня воэмущсннй прнмсннмв н прн р оо, прн этом парамстром развожсння является т(тс/рз. Для рассматрнвасмого потснциала точное значсннс амплитуды йыэ за (21Е) У-ыз,г (2г() ' гдс й = р/Л. б = (2та~Ус/Л') у, У„(э) — фупкцмя Бссссля. с) Длл пстсгшнвла Г/ = Г/с сй '(х/а) в псРвом поРЯдке тсоРни возмУщениЯ !тт/с г сьгн' А!'! = — — / Ах. (11) й сй э (х/а) 214 Глава 8.
Теория Воэмущеиий. Вориоциониый метод 8.30. Найти коэффициент отражения Д(Е) для быстрых частиц в случае потенциала (Т(х). имеющего скачок в точке х = 0 (рис. 26). Обобщить полученный результат на случай, когда потенциал имеет разрывы в нескольких точках. Применить его к потенциалу иэ 8.29, б) и к прямоугольному барьеру иэ 2.31; сравнить с аснмпготикой при Е сю точного аырюкения для И(Е), см.
также 9.27. рек«ение. Фурье-компоненту потенциала, определяющую аипли- ТУВУ отражеиноЯ шшны Апг, согласно формуле (4), из прсдыяущей задачи, преобразуем к виду «г н Рис. 26 ГГ(Л) = ~ ГГ(э)е Ав = — ~ е — Ах (1) Г , ! Г , 8(г(з) Л/ бэ «н (для этого следует записать Гйе»» = де»/дя и выполнить нитецгированис по частям). Для разрывного в точке э = О потенпиаяа производная Гг'(э) содержит слагаемое ((гг — Ггг) б(я) с б-функцией, хогорж и определяет аснмптотнку 1(Г.«г — ГГ,) В» Л при Л оо (при этом вклаа остальноЯ области интегрирования несуществен из-за бмстрой «кшшляции подынтегральной функции).
Соответственно д(р)» ° (при р со), шг(уг ГГ«)г (2) 4р« в обобщение этой формулы на случай потенциала с разрывами в нескольких точках я„имеет внл г! «г К(р) = — ~ ~ «ЛГ/„с~»'1~ ~, р оз, -"! (3) теория возмущений применима лишь прн условии (Ге < Лг/тот. Такая ситуация отличается от имевшеЯ место для двух предЫдущих потенциалов И связана с зкспонснцнальным убыванием (Г(р) «х ре «мд при р со. Отметим, что даниыЯ потенциал аопускаст точнее вычисление А(р), см. (1, 9 25); на основании этого результата легко прийти к заключению, что при ((ге( > Лг/8ще' ряд теории возмущений является расходящимся даже при р -ч оо.
«Г г з) Для потенциала ГГ = Г/ее *Г' получаем шо(тю ( Ргег 1 А!1= -1«/я — схрг- —, 1. (15) Лр Л Для вичислеиил, согласно (5), вилли«уды второго приближения в случае быстрых частип, р » Л/о, замечаем, что в интеграле по 4 доминирующую роль траст область 1 < Л/а (вклад от остальной области несуществен из-за экспоненциального убывания подынтегральной функции), так что в знаменателе можно положить 4 = 9. После эюго интеграл легко вычищглспл, что позволяет получить шго(гг Г р'о' 1 Л А11»-г«/2я ехр)- — ), р» —. (16) сравнение с (15) показывает, что (А«" (/(Аг'1( со при р со и теория возмушеииЯ лля бмстрых частиц неприменима (ряд лля А(р) при этом является расховяшимся).
В заключение подчеркнем, что отмеченная в этоЯ задаче раэяичная роль вмсших порядков теории возмущений по взаимолеЯствию при р со в зависимости от закона убмвания Гг(р) отражает общую Физическую сгпувцию; при «медленном убывании (г(р) (грубо говоря, в случае 1ГГ( > Се "г) большое изменение импульса частицы происходит в результате олнокрзтного взаимодействие, а при «быстром убмшнии — в резульште большого числа актов взаимодсЯствия, каждмй из которых сопровождается уже сравнительно небольшим изменением импульса, сравнить с результатами 4.18 и 13.84.
8 3. Стоциогтриая теория Возмущений (иелрерыблый спектр/ 21$ 8.31. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда потенциал имеет излом в точке х = 0 (рис.27) илн изломы в нескольких точках х„. Применить полученный результат к параболическому барьеру вида У(х) = Уе(!— хг/аг) при (х( < а и У(х) = О при (х( > е. Решение. Аналоптчно формуле (1) предмдущей задачи, пол>чаем й(й) = — — 1 с' Уи(х) 6*, >г / (1) В случае потенциала, имеющего иззом, производная У'[л) разрмвна, а Уи(х) содержит 6-фуикциоиное слагаемое вида — гбрв(в), где -2>Р = У'(О+) — У" (О-) — скачок производной потенциала в точке излома, которос и опревеляст асимптотику А!'>.
Коэффициент отражения двя потенпнала, имеющего изаомм в нескольких точках и„, при р оз равен и!!а» ! !г д(р) щ — ~~, >брз ~ (2) так что ири этом В(р) сг!/р'. В приложении к параболическому барьеру формула (2) дает В заключение сделаем замечание о связи асимптотккн при р со коэффициента отражения с анахнтнческими свопствами потенциальной энергии У(в) как функции перс- мснной л. Если потенциал имеет ессбие точки (сиигулзриссми) на веществениоп оси я, та Д(р) убывает степенным образом. При этои чеы слабее сингулярность, тем убывание более быстгию; сравнить результатм данной и предыдущей задач.
если:кс У(х) не имеет особых точек на вещественной оси и (бссконечиокрвтно дифференцируемаи функция), то >2(р) убывает экслоисициально, см. также 4.18. 0 х Рис. 27 8,32. Как известно, энергетический спектр частицы в периодическом потенциале имеет эонную структуру. Для такого одномерного потенциала (У(х+ о) = У(а)), рассматриваемого как возмущение, найти спектр ов(у), здесь и — номер зоны, Бу— кбазиимпульс (при этом -я/л ~< д < <к/а). Указать свваь иыпульса Бй свободной частицы с каазиимпульсом йд н правильные собственные функции нулевого прибпижениа Ф„,г(х).
Найти величину щели между соседними энергетическими зонами. !а> Рассмотреть приложения полученных результатов к потенциалу иэ 2.53. Ремеиив, Ввиду известного соотношения для функций Блоха — собственных функций гамнльтоииана гг 3' Ф.,(л+а) =еч'Ф,(*), -- <8<— (1) достаточно рассмотреть рви!ение у. Ш. лищь на отрезке 0 < и < о: в! — — Ф„(л) + У(в)Ф„(я) = В„ф.,г(в). (2) где Г>У вЂ” скачок потенциала в ыютвстстауюшеа точке х>й подчеркнем, что дхв разрывных потенциалов д ы 1/р' при р -г оо. Согласно (2) и (3).
нахолин коэффициенты отражения гп'У' т'У' !'рп'! 1) Им —; 2) дм згп ~ — ) ар ' р ~а) для потенциаха из 8.29 6) и лля прямоугольного потенциала соответственно, которые совпадают, естественно, с асимпттнками точных выражений лл» В(р) при р оз. В саязи с данной задачей см. также 8.31. Глава 8. Тес/ия болиущений.
Еориоционный метод 216 При этом (1) выступает как своеобринос граничное условие, определяющее самосопряжсниое расширенном! эрмитова оператора р'/2щ Ф (((е) на этом отрезке (для каждою значения 0), см. 1.29. Прн фиксированном О спектр Е„(О) дискретный, а непрерывная зависимость сто от Ф приводит к зонной структуре спектра в делом, В пренебрежении (Г(и) решение уравнения (2) дает невозмущеннме с. ф и с.
з. (с! 1 ьы (е( з з Ф = — е'', Е, тго * ' 2щ Произведем, имея в виду соотношение (1), их классификапию по значеииим квазиимпульса Ф (и номера и эоны). Замечая, что Л ю 2ттз/е + Ф, гле е = О, ж 1,..., нетрудно получить Л /кп — ~ — + (О(), и = 0,2,4, 2щ'х е Л /к(п+ 1) — ~ — — (Ф)/1, и =1,3,5, 2ги 'х а (3) и=0,2,4 Е(~1(Ф) = — / (Г(х) еэ и (Т (5) а,! с (в этом приближении сдвиг одинаков для всех значений и и 01). Условием применимости (5) является (Е(с!(О) Е(О (Ф)) » Е(~!(Ф) Как видно из (3) и рис. 28, оно нарушается прк следующих значениях О: 1) Ф ю 0 и 2) Ф щ кк/о, когда происхолвт касание соседних энергетических зон при значенияк -л/а 0 лТа О Рис. 28 'з! Фактически речь наст о нмюженни двух граничных условна. Ф(а) = е'т'Ф(0), Ф'(а) = е'г'Ф'(О) в сотпмтствин с теи, что иишксм дефекта зихо оператора суть (2,2). Эт(п спектр ьсобран из участков невозыушеиною спектра Е, см.
штриховые линии (с( на рнс. 28, так что соседние зоны касаются друг друга (нет запрещенных значений Е). Связь импульса свободной чвстипы с кваэиимпульсом определяетсл соопюшением Л= ти — +Ф, Ф>0, (св) — — +О, 0<0, ( гг(п+ 1) +ф д>0, Л= с н=1,35, (46) л(п+ !) +О, Ф<0, е нз которых слслует явный вил Фиг — — е'ь*/т/л невозмушенных с.ф.
гамильтониана, удовлс- (сг ы творяюшнх условию ( 1). Иэ выражений (3) или (4), см. также рис. 28, видно, что при фиксированном Ф невозмущенные уровни Е( ~(О) разделены, вообще говоря, конечным интервалом. Поэтому для вычисления их сдвигов под влиянием (Г(л) можно воспользоваться формулами (тЧП.!) теории возмущениЯ в отсутствие вырождения. В частности, поправка первого порядка 0 8. Стаиионорноя теория Возмущений (непрерогбный спектр) 217 энергии, равных соотвегтвенно 1!Г ( и) (У„, „(= -у ехр ~*2!я(и+ 1) — !С(в) Вв( ы г5„ п(/ о) (8) э (от выбора знака ж величина гз„не завкснт). Решение уравнения (7) лает ,.„,ы=а -,'~ гы !"„ы+ ( з,ы- гы)' ° «1 (зиак (-) отвечает нижней зоне и, а (+) — верхней зоне п + 1). График зависимости Е„(д), согласно (3), (5) и (9), представлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
