Galitskii-1 (1185111), страница 54
Текст из файла (страница 54)
28 (сплоюная линия, причем для определенности вмбрвно У = О). Учет взаимодействия привгщит к появлению зонной структурм с энергети- ческой щелью в спектре. Ширина щели — расстояние меж!!у соседними юнами и и п+ !в равна 2 23„. Коэффициеиты С, з в (6) находятся обычным образом: (!0) Š— У вЂ” Ет(д) (два значения Е зтсь определяются соотношением (9)). В частности, непосредственно в точке квазнпересечения невозмушенных уровней С, = жСг т 1гиг2. Отметим, что при таком удалении (с изменением д) от точки квазипересечення, прн котором бЕ!э!(д) ы Е! 1,(д) — Е!'1(д) Ф г5., кз (9) следует ег — 25„ ем., г(д) е"„.„(д)+ и+ —" + ! 6Еге!( )' Последний член здесь является частью поправки второго порядка теории возмущений, соответствующей учету а (тП1.1) лишь одного слашемого, огвечаюшспг блюкайшсму уровню.
Воспользовавшись явным выражением лая ЕГ, формулу (9) мткно переписать в более наглядном виде. Так, в случае, когда в (9) юш нижней зоны значение и нечетное (квазипересеченнс уровней прн д = О), имеем Е ! !(д) = (» +д ) +йт — +гз Л'йгдг 2т пгг (!2) причем здесь в обоих случаях и = 1, 3, 5,.... 1а! Лри указанных выше значениях д дэя вычисления сдвигов Е„[д) следует использовать теорию возмущений лля близких уровней, сравнить с 8.6.
Теперь, квк и в случае спюпжо вырождения уровней, возмущение сильно ьперепугыватт невозмушенные с.ф. с близкими энергиями, так что Ф(в) = С~Ф1„,! (и) + СгФ1„1, (а); и = О, 1,2, .. (6) Возмущенные уровни и коэффициенты Сьз, определяющие правильные функции нулевого приближения, находятся так жс, как и в теории возмущений при наличии вмрождения. Секулярное уравнение принимает вид (7 + ЕП!(д) — Е (У„,„„ ,"!хь =0, (7) месь учтено значение (5) для У .
В матричном элементе У„„„можно воспользоваться с.ф. Ф „, (а) при значсии» д, отвечаюнюм непосредственно условию совпадения рас!а! сматриваемых уровней. Значеггия соответствующих импульсов равны йй = жя(п+ 1)йга (подчеркнеи, что обсулщастся случай пересечения и и о+! зон), так что в (7) Глава 8. Теория Возмущений. ВириониоллмйМЕГЛод 2!В где !г„ш з(п+ 1)/е, п = 1, 3,.... При (д! ь т Ь„/Лзй„отсюда следует ~зг йз з — ! й йгз 1 Вж„,г(д) м — й„+ (ГтЬ„т -~ — Š— (й д . 2ш 2 (тзд„т) (13) В случае, когда дла нижней эоны значение п четное и кеазнпересечение уровней имеет место при д жя/а, получаем аналогичные (12) и (13) выражения, но уже с и = О, 2,..., с единственной заменой в них (д( иа и/а - (д).
В заключение отыш им, что в применении к потенциалу из 2.53 имеем ЕУ = а, и Ь„= (а(, так что энергетическая щель между соссднимн зонами принимает постоянное значение (не зависит ст н; заесь проявляется спепифика б-потенпиаза, эля любого аругого Ь„О при п со). В то же время ширина раэренмнной зоны растет гк п с увеличением и. $4. Нестацнонарная теория возмутаеннй. Переходы в непрерывном спектре 8.33. Заряженный линейный осцнллятор подвергается воздействию однородного электрическое полл, изменяющегося во времени по закону: и) е(Ф) = 4!схр (-!з/тз)! б) Я(!) ы,$(1 + !з/тз) д) гл(!) = 4! ехр (-!т/тт/ созыв!.
Счигшг, что до включения поля (при ! -ч -со) осциллятор находился в и-м квантовом состоянии, найти в первом посылке теории возмущений вероятности возбуждения различных его состояний при ! +сю. Для случая и = О сравнить полученный результат с точным, см. 6.25. Решение. Возмущение сспиллаторз ичест вид тг = -сед(!).
Его матричные элементы Ъ~„(!), а соответственно и вероятности переходов осциллятора в первом порядке теории возмущений отличны от нуля лишь дея значений Ь = п ж 1, сы. (Н.З) (переходы возникают только между соседними уровнямн). Воспользовавшись формулой (тц11.9), получаем Иг !(л В) =— 1, ез)1(з !(п+ 1), я=и+ 1, (!) 2пгйы ~( п, д = л — 1, где 1(ы) = ) е гд(!)ег (заметны, что !1(ы)(з не зависит от знака ш). Лля рассматриваеммх зависимостей Д(!) находим (г > О); !з 1 1 ю]гзт ехр ~ !ы — — ) гт! = т/кг/ч схр з - — ), гз ° ) е~' М , = кт/че-и', 1+ (!/т)' Лг Оврзшзсм внимание на кездрзтичную зависимость от «зззьнмяуяьсз энергии ебзкзх грзнинм зоим: Д(9) — В(0) н д .
а) 1(ы) ='йг / Р) 1(ы) =/,/ е) 1(ы) =-/е / -х !з Ъ схр ( !тч! — — ) сот (ыр) гй = , П) -,/яузе~сэр --(ы-ыз) т1+схр ~--(ы+ые) т 2 ( ~ 4 219 б 4. Нестоциоиориоя теория Возмущений Основным условием применимости полученных по теории возмущения результатов является выполнение нсравенатва (т311,3), принимающего в данной запачс вид пхи Для нсрсзонансного возмущения это условие обеспечивает малость вероятностей переходов, Вг!'!(п й) ь !.
В случае жс слабого резонансного воздсйатвия (см. е)) уаловис малости вероятности перехода наклааыааст ограниченна на время дайатаия возмущения. Отметим, что прн медленном включении и выключении поатояиного поля, т, с. пРи г со, веРоЯтности парсходов стРематаЯ к нУлю (однако в слУчае а) пРи ы из они и! с ростом г, наоборот, возрастают, чта саазала с рсюнансным характером лсйатвия поля). 8.34, На плоский ротатор, имеющий днпольный момент б, накладывается однородное, переменное во времени электрическое поле л(1) = а(1) на.
До включения поля ротатор имел определенное значение энергии и проекции момента и!. Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятности различных значений проекции момента н энергии ротатора при 1 — +оо. Рассмотреть конкретные зависимости а(1), укаэанные в предыдущей задаче. Ремелие. Возмущение рататора имеет вид Р = -ба(1) соз и (р — упш мсжау осью Ротатора и направлением электрического паля), Матричные элементы возмущения отличны ат нуля лишь при щ = от к! н равны при этом ба (1) Зг 2 см.
8,8, Соответственно в первом порядке теории возмущений возникают псрсхалы лишь на сосслиис па энергии уровни, нх вероятности бт! г !2 И'!'!(ш т') = — / / а(1)с '"'бс~, ш'=аж !. 48'(,/ Значения интеграла в (!) привалены в предыдущей задача; сшяуст только учесть, что таперь значения частот перехода и ° равны (! Я Зш)Д/22 аля ш' = ш Ш !. В связи с условиями приыснимости полученного результата ам. Я.ЗЗ.
В.ЗВ. То же, что и в предыдущей задаче. но для сферического ротатора. До включения электрического поля ротагор находился в состоянии с квантовыми числами 1, 1, = гп; поле направлено вдоль оси я. Решелие. Вознушанис ротэтара Зг = -дя(1) сщ В. Испалъзуя значения матричных элементов ! ы из 8.11 (где рассматривался случай стационарного поля), по фоРмуле (зг!11.9) получасы И'! !(1, ш 1 т) = — з( / я(1)с "' 41! В первом порядке теории возмущений возникают переходы лишь на соааднис по энергии уровни, прн этом из-за сохранения 1, значение ш нс изменяется.
Частоты псрсюдов равны: Д(1+ 1) 81 и щ-гл = у 7' Значения интеграла в (!) привалены в 8.33. и! зта угзсэжасикс прх адиазаматггхах вазхсйстзкхх нэ снстсму сохраняется х э случае хосвтачиа сихьнмл полей. см. З.5а и 1.55. Глава 8. Теория Возмущений.
Вориоционный метод 8.36. В условиях задачи 8.34 рассмотреть переходы ротатора в случае, когда вектор электрического поля вращается в плоскости вращения ротатора с угловой скоростью шп, так что Вэ = В(С) соя ыаС, Вг = 4'(С) ыпы»С. Обратить внимание на возможность существенного возрастания вероятности перехода дшке в случае «плавной» зависимости 4(С) вида о) и В) иэ 8.33. Решение. Рассматривая ащимодействне ротатора а полем как возмущение Р = -44!(С) = -ВВ(С) соз (р — ш»!), нетрудно заметить, что результаты для верщпнастей переполов ротатора во вращающемся иоле получаются непосредственно нз формулы (!) задачи 8.34 заменой фигурирующего в ней интеграла на В(с) ехр (С(ш + гпы, — гп'ы,)с) ш. -х Оугпественно, однако, что теперь вероятность перехода определяется фурье-компонентой поля Ф(С) а частотой ы =ы ы+ (гп — т)ш», которая при соответствующем значении ыз может быть мапо».
При этом вероятность такого перехола при большой длительности действия поля может резко возрасти. Возникновение резонансной ситуации легко понять, если перейти во вращающуюся совместно с полем систему координат, см. 6.29. В этой системе уровни энергии нсвозмущенного рота- тора, Е = л — Лш»ш, с рзззичными эначеникми проекции момента ш могут оказатьая и! вырожденнмми, и меппенно изменяющееся зо времегги вОзмущение может привести (при достаточной его длительности) к сушест»енным переходам ме:кду соответствующими состояниями, см 8.40. В связи с этим заметим, что значение х как раз и предстаапяет собой частоту перехода лля рассмвтриваеиых состояний ротвтора во вращающейся системе координат. Подчеркнем, что слеланиое замечание о переходах, вызывземмх возмущением, источники которого «вращаются» с постоянной угловой скоростью, носит достаточно общий характер.
(8.37. Получить выражении для волновой функции и амплитуды перехода системы нз начального (прн С -г -со) и-го состояния дискретного спектра в конечное (при С - +со) Сс-е во втором порядке нестационарной теории возмущений. Предполагается, что возмущение при С -г жсо отсутствует. Региение. Исходим из формул (ЧИ.6)-(ЧИ!.9), о!рыкающих постановку залачи и ее решение в пер»ом порядке теории возмущений. При этан аг„(С) = бы Е а„(С) Е аг, (С) х..., тле значения амплитуд первою прибвижения аьг(С) определяются формулой (ЧСИ.8).
Подставив их и уравнение (ЧИ!.7), получаем Отсюда, воспольшвавшись (ЧСИ.В) и учтв, что аг„(-ао) = О, находим гг! а!!!(С) = — —, ~ / Уг (С')е' Г / Сг „(С")е ' гднб!'. йг -х Вероятность перехода системы из начального в-го в конечное д-е (при С = +тю) состояние равна (Л м п ) Йг(п й) = (аг (! =+оп)! = (а'„(со)+а „(гю)+...( . 221 б 4. Нестоционарнол теория Возмущений Если а„(со) = б, то ур' '(и й) = !а„,(со)!, й зь и, опредешгст вероятность соотвествующего перехода, запрещенною в первом поряаке теории аозмушеиий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
