Galitskii-1 (1185111), страница 55
Текст из файла (страница 55)
8.38. В условегк задачи 8.33 найти во втором порядке теории возмущений вероягиости переходов осциллятора, золрешенныж в первом порядкеи!. Сравнить их , ур!В(п й). Решение. Из выражения (1) предыдущей задачи с учетом значений ыатричиых элементов возмушеа и я Р ш — ед(1)а лля осцилл ягора, см. (П. 3), следует, что во вгорои порядке пол еляхпся переходы асциллятора из иачальиога и-го состояния в калечные состояиия с левитовыми числами аж 2, запрсшеииые е первом порядке теории возмушеиий, см.
8.33. При этом сумма в указаииом выражеиии сводится лишь к одному слагаемому, согжвстстьенио с пз = и й!. Фигурирующие в этом слагаемом частоты переходов совпадают: мг = ы „= жш (ваиду зкеидисгаитиссти уровней осциллятора), что позволяет упросишь иитегрироааиие, так как г ~З(1)е '41 / ((1')е г й'= -~ / З(1)е' ВГ~. В результате описанных пресбршоваиий получаем а„»ьз „(со) = — — р! ! ~ / В(1) е~ ' гй~, 4игйш где .."' = Ф и з ° ..-' м тг :и Вероятиости рассматриваемых переходов угпг(п й) = !апг, (со)!', Сравнение их с вероятиосгями перехолое, происжишших в первом порядке теории возмушеиий, см. 8.33, показывает, что И'!» (И'!'!)з; соответиюияо ВГ!гг/й'!'! Иг!'1 81 в условиях примеиимссти теории возмушеиий. 838.
Если воспользоваться выражением (Чй)8). то длл вероятности Иа = !а„„(+со) (з остаться системе в первоиачальиом и-м состояиии получится И'н > 1, что противоречит сохранению нормировки волновой функции. Объяснить возникающий парадокс и получить закон сохраиеимя нормировки волновой функции с учетом переходов в первом порядке теории возмущений. Решение. Парадокса, в действительиости, иег. Следует просто иметь в виду, что для вычислеиил квадрата молуля величины а = !+а! !+а!т!+..., прелставляюшей собой разложение врал по некоторому малому параметру У ~ 1 (так что |аиг! Р ), с точиостью до члеиов второго порялка ышгосш вгстючиттльио, с такой же точностью иесбхслимо знать и аешествеииую часть 1 а, так как (аз! =1+2йеа! !+ )а!'!! + 2йеаг~!+0(Р ), )а!'!! Кеа! ! Р (а, согласно (тПП.8) — мнимая величина). !» ! Тс ссп таких перехсхез, лаа которых П'!'г(я а) = С.
'г! М немую ие часгь а лсстатсч ее акать лишь е первом псаяаке! 222 Глава 8. Теория Оозмршений. Вориоцпонный метод Обсудим теперь вопрас о сохранении нормировки волновой функции снстены с учетом переходов в первом порядке теории возмущений. Согласно формуле (1) нз задачи 887 имеем м г п„„(1 = ню) 1 — — у„„(1) лг — —, ~ /1„(1)е / у „(1)е ' лт лг, твк что вероятность сншчнс остаться при 1 +со е исходном п-м состоянии с точностью до членов второго поряпкв по возмущению включительно г 3 м г Иггам! -(со)!'=1+ — з~/ Уьь(1)Ш~ — — з(~ / У..(1)е "'/ У.(Г)е -гЛГ'Лг+к.с~ М (к.с. означает слещемос, получающееся комплексным сопряжением предшествующего слвга- сногп. Учитывая, что ын„= -и„, У' (1) = 1'„„(1) н используя соотношение м г / /У(1,1')а= /лг'/)(1,1')лг, ь ь г выражение (1) легко преобразовать к искомому виду и з 1У1 1 = 1 — — ~ ~ / Уь„(1)с "и ЛГ! м 1 — ~ Цгг'Г(п -г т), Лг гле штрих у символа суммы означает отсутствие в не» слагаемого с пт = п.
ВАО. На систему, находящуюся при 1 -оо в п,-м квантовом состоянии, отно(е) сящемся к двукратно вырожденному уровню Вь гамильтоннана Ве, накладымется зависящее от времени возмущение Р(1). Найти волновую функцию системы в енулевом» приближении в произвольный момент времени. Считать, что диагональные матричные элементы для вырожденных состояний удовлетворяют условию У„,„, = У„,„, = О (это имеет место, например, в случае, когяа состояния (и, з) обладают определенной„причем противоположной четкостью, а возмущение пропорционально днпольному моменту системы).
Как теперь надо модифицировать формулу (Ч81.8), определяющую амплитуды переходов с изменением энергии состояния? Решение. ХОтя перекопы системы в состояния, отличающиеся ст исхолнопз по энергии, малы, псрехолы межау состояниями, относящимися к вырожлсннону уровню пан лостхточной длительности возмущенна могут быть существенными. Оозникаюшая ситуация аналогична случаю резонансного возлеаствня возмущения на систему, см.
(1, 840), и может рассматриваться форнаяьво квк случай точного резонанса на частоте и м О. Учнгыезя возможность псрехопов мсжеу вырожвеннымн састаяниями (ис преяполагвя малости их вероятностей), запишем волновую функпию системы в яулгеан приближении в виде, сравнить с (Ъ78.6), Ф(1) = (е>(1)Ф~П+ пз(1)Фгг 1)е '"' (яля краткости записи пишем 1, 2 вместо п,,). Ках обычно, получаем систему уравнений гбв, = Г(1)яз, таег = Г(1)еь (1) злясь учтено, что 1г„„= О, н введено обозначение з;з = У(1), причем функция 7(1) считается вещественнаа.
Нз (1) следует л т лг д — (е, ж е,) = Э- Т(1)(я, Е ег). б 4. Нестпционорная теория Возмущений Отсюда а учетом начальных условнй (прн 1 = -со) находим 3 1 о~(1) = сов((1) аг(1) = ° з1п ((1) ((1) = ) У(1 ) гй лУ (2) $.4!. Для периодического во времени возмущения, «(4,1+ Т) = «(4,1), действующего на систему, найти волновые функции квазнзнергегнческих состояний т (КЭС) в нулевом приближении н спектр квазнэнергнн в первом порядке теории возмущений. Энергетический спектр невозмущенного гамильтоннана считать дискретным и не содержащим уровней, отвечающнк резонансному переходу: юа — Еь те Мгн ла) <е) с ш = 2п(Т (в связи с этим см.
8.43). Решение. Запишем в. ф, КЭС в виде разложения Фо(д,г) = ехр (-1(бац+ с~о+...)1гй~(гч(1)Ф~ 1(4) + 2 гчь(1)йа (у)~ (1) ь (штрих у символа суммы означает отсутствие алаисного с Й = н). здесь еь н Ф„1 — с.з. <аг н с.ф, нсзозмущеннага шмнлщоннана, с которынн совпялакп каюпэнергия н в.ф.
КЭС в лузгаем прибляжсннн. Коэффициенты разложения являются псрнаднческнмн функцнямн, в частности, с (1+ Т) = с„(1). Подставив (1) в у. Ш., умножив ега слева на ФР (1) н проинтегрировав по координатам, получаем, ограничиваясь членами первого приближения: где„(1) + гц1с„(1) = «„„(1)с„(1).
(2) 1 с. (1) = га е р ( „- (4'1 — / 1' (1') 41') ~ (3) а Значение х, — поправки пссрвого порядка в кеазнзнсргнн, определяется нз уаловня лен! рноднчностн с„(1). Вводя «„„(1) — среднее значение матричного элемента зозмушеннл, перепишем показатель экспоненты в (3) в вндс ! Д1 -* ( (со> — «„.)1 — / («.„(1') — ЪГ„„) 41'~. а Так как ннтецмльнос слаиемое здесь является периодической функцией. то условие перноднчностн с„(1) даст с 1г (1), (4) 'гГ См. аадстрачнаа арнмачаннс нз а, 164. (этн результаты прн 1 4:! согласуются с («3П.8)). Теперь обобщение вырюкання (МП.8) для амплитуд переходов в сосгаяння с атлнчной от исходной энергией прелсчашшеюя очевнлным н имеет внд ! егь',1 (1) = -- ~ / «ь„Яа„(1')е * 41'.
ьг В заключенно обратим внимание на осцнллнруюшнй характер времсннбй зависимости как амплитуд ос з(1), так н вероятностей переходов, возникающий даже в случае слабою возмущенна при его большой ллнтельностн. Заметим также, что согласно (!), суперпозиция )1) ж)2) нсходных аостояний являются дгшганазьныгш (мехшу ними нет переходов). Появление таких независимых састояннй связано с тем, что прн решенно задачи были использованы определенные ограничения на значения матрнчньи элементов возмущения уьь (ам. комментарий в связи а системой уразнсннй (1)). Глава 8. Теория бозмущений. Еариационный метод 224 Таким образом, значение квазизнсргии в первом порядке теории возмущения, с ш Е.
+4,), )з) щ соепаласг со средним за период значением энсрп«и уровня «мгногенного гамнльтоннана, Е„(В) = Е~) + У„„(В), в том же приближении (сравнить с результатом 8.56 для случая адиабатнчсского изменения гзмихьтониана системы) Указание. Дхя системы в электрическом поле линейно поляризованной волны динамическая поляризуемость й„(ш) связана с поправкой второго приближения в квазиэнергии соотнопюнисм с й (ы)«гс 4 Решение. )) Запишем волновую Функпню КЗС в виде (сравнить с прсдыдушсп задачей, ниже попашем Л = 1) Ф, (Гпз) = с '( ' "' '" ' ') ~ „(В)Ф)„)(В)+ )' с„ь(з)Ф) )(у)~, ь при этом в рамках теории возмущения с. = ) + щ+ са)+..., сы = с„",'+ ..
Подставив ()) в у. Ш. и умножив его слева'" на (Ф) )) с Д ,-Е и, как обычно, находим в первом приближении (шы = Е, ) — Е, ): ° с) (В) = шыг„ь(В)+ 7,„(В). Общее ренгснис этого уравнения имеет вид ! с~„'~(Г) = е (с~'~(0) — ! / У (В')с' " йв') . з (2) значение постоянной с! ь)(0) находится из условия псрноличности с„,(В е т) = с,','(В) и равно и) г!) о) с'„П(0) = - „' , / е™У!.()) йе з (3) (соотногнсния (2) и (3) будут использованы ниже дпя определения поправки второго приближения Лля квазиэнсргии). гс) Умножив теперь у, Ш на (ФГ,)~, находим для членов первого порялка по возмущению гс«(В) — с„+ У (В).
)а) ) Пеязлснхс здесь хепслнхтсльиего, пе спвзнснкю со статнчсскаи схучесм, множит«ха ))2 сзямио со спслпхм зпх генкам со! )н) = ))2, сравнять с 8.56. !«! таках сииеоххчссххх запись сзиачыт тмхсисиис ка еь (с) и пссхиоюпис интсгэнзоззиис пс хсерлхиатзм. оА2.
В условиях предыдущей задачи найти поправку второго приближения к кеазиэиергии в случае, когда У„„(В) Гй О. Специально обсудить временную зависимость возмущения вида У = У(у) сов шВ и рассмотреть при этом предельные случаи ш О и ы -! оо. Получить выражение для динамической пояяризуемости уремией я электрическом поле линейно поляризованной монохроматической волны, У = -осе сгаыВ, и найти ее для осциллятора. О 4. Нестациоиарноя теория возмущений 226 16(01(!) = —.и!+ ~„"'у~(!) м(!), где с(,'гг определяются формулами (2) н (3). Отсюда (4) (гг(!) =(е(гг -К1 у (!)с('1(!) !'+п(гг(о), г (5) пРн этом постоэнную и( (0) можно опУстить, кюс н с(г г(0) выцге. Значение с,' накопится нз Условия перноднчносги коэффициента с (!).
Имея в виду, ш что, как У„ь(!) н с„,(!), так и нх пронзведенне в (5) являются периодическими функциямн пг с псрнодом Т, находим искомую поправку: с(в=-~: / У. (!)спгг(!)4(м ,/' „, с т г г -- Е( . Ц ..эг.-' ( /ьгг' '/ ..г>-' ) гг э е Используя эрмятовость оператора возмущенна, нетрудно заметить (прн ыг„м 2вр//Т), что выражение в фигурных скобках является чисто мнимым, а е, — вещественным.
!г) Если Уг„(б, !) ш Уь,(д) (т.е. возмущение не зависят от вреыени), то (6) переходит в обычную формулу стационарной тсорнн возмущений (гг(п.!) для сленга уровня во втором поряаке. 2) В случае ирмоннческом возмущенна вида У = У(О) сш и! с ы = 2в/Т, вмраженнс (6) существенно упрощается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
