Galitskii-1 (1185111), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Обратить внимание на снятие случайноео кулоновского выролгдения уровней. Решение. При г « о рассматриеаемме потенциалы имеют вид У ю -Уеа/г. В таком кулоновском поле в, ф. нижних энергетических уровней локализованы на расстоянии поряд- ка г„аеи от центра пола; алесь ас —— Л /шоУе, н — главно» квантовое число. Если г„« а г 1 (т. е. 4 ш гпотУе/Л » пг), то, очеаилно, в нулевом приближении искомые уровни нижней части спектра и соответствующие им с. ф, будут такие же, как и в кулоновском поле: гуг (П з„т ' см. (!ЧЗ). При этом отличие рассматрнеаемык потенциалов от кулоновского играет роль возмущения тг(г) = У(г) + Уео/г.
Ввиду того, что орбитальный момент частицы является интвгрваом движения и при действии возмущения, с ф. (1) являются яравиеьимннфункцнями яулееою приближения и поправка первого порядка ооределяется вырюкением (Ч2П.1): О 1. Стационарная теория Воля»ущелий /дискретный спектр! 201 (заметим, что учет в разяожснии (3) слашемого гз/аз бьгл бы превышением точности, так как его вклаа в сдвиг уровня Ус/6» имеет такой же порядок величины, как и нс учитывается поправка второго прнблтксния теории возмущениЯ).
6) Теперь У м Уе(! -г/?а+г'/ба') и Е, ~ = Уе~ ! + — [5нз + 1 — 3!(1 + 1)[ ~. 1,> 1 Зпз — 1(1+ 1) пз 4( 1?бг (6) Как видно из (5) н (6), случайнгю кулоноаскас вырождение уровней по 1 снимается. Заметим, что для потеннизла Хюльтена у. Ш. дяя з-состояний допускает точное решение, см.
4.8. При этом (для 1 = 0) и. с совместно с (5) описывают точный результат. гс) 8.16. Для капицы в центральном потенциале У = -а/г", причем О < и < 2 н а > О, найти энергетические уровни Ем! с большим значением момента 1 л» ! и с не слишком большим радиальным квантовым числом и,. В случае кулаковского потенциала, и ю 1, сравнить полученный результат с точным. Решение. У. Ш. лля рааиальной части, Х = г?1, с.ф.
гамильтониана имеет вид Лз, а Лзг(! + !) Х „Х+ Х = м нХ. 2яз г" 2тгз Эффсктивная погснииывнэя энергия в этом уравнении а Л !(1 + 1) Уюе — — — — + 2пзгз имеет минимум в точке Л'!(1+ 1)~'" " ге = аит В случае и < 2 и значениях момента частипы ! -ь ао лля нижних радиальных состояний область локаяизаннн в.ф. вблизи этой точки минимума (при этом гс со) существен- но уже (меньше) области, в которой можно ограничиться первыми членами разложения эффективного патипиала Ум„з = — -а(2 — и)гс™+ -а(2и — и )г " (г - ге) + ! ! з 1»ш! 3 2 2 с (!) (сравнить с правил?ными задачами 8.13-8.15).
Поэтому в нулевом приближении мы прнхолнм фактически к задаче о пцнюничсском осцнлляторе с точкой равновеаня г = гс и упруго- ю в=У» (г), з ляе ю учить' !(с с(П.2)) г )з (2) е (2и — ит)а / !Х Е~л = — -а(2 — и)ге" +Л»! „~п, + -/1, (3) 2 [/ т~ з'" 'ь 2) ' е зассь а = [Л ге'"/та(2и — ь ~)[ Для применимости полученных результатов требуется выполнение использованного при их выводе условия; рааиальнзя функния (2) дал:кна быть локазизовзиа на раста!ниах (г — гс! « гс, Отсюда следует, что 1 Ъ (л, + !/2) /с/2 — и (сравнить с 8 13 и 8!4), Проиллхктрируем полученный результат на примере часпшы в кулоновском потенциале, т. е, лля и = 1; при этом Ь» = -таз/?Лзнз.
Записав л = 1 4. !/2+ п, !. 1/2 и выполнив рэзвоженне та 1 та та' Е,=-— + (п, .!. 1/2), (4) ?Лз О+ 1/2+,+ 1/2)з ?дз(!+ !/2)з Л'(1+!/2)з з) учете»елуюын» ч»снов в разяажсннн (!) (внгерманпчески» поправок) ноззсляьт с помощью »сорин возмущений уючнить зпн результат, сравнпть с ззлачзнн 84 глазы 9. Глава б. Теория Возмущений. Еориоционншй метод замечаем, что результат (3) представляет первые два члена ратаожения (4) для Е„по маэому параметРу (и, +!/2)/(1+ 1/2) (при этом следует учесть, что !(1+ 1) ш (1+ 1/2) ввиду ! »! ). 8.17.
То же, что и в предыдущей задаче„но для потенциала (/ = аг" с а, и > 0 (теперь Е„,[ > 0). В случае сферического осциллятора, и = 2, сравнить пол)менный результат с точным. Решение. Решение даииод задачи получается заменой -о на а и -и на и в формулах предмдушсд задачи (теперь Е„и > О и ограничения на эначенпя и > О нс возникает). В СЛуЧаЕ СфернЧЕСКОГО Оецнппятара тОЧНЫН СПЕКтр Еа ш ЛШ (ЛГ+ 3/2), Гдс Лт = 2П, +! (см. 4.5) и и = ъ/2а/т. Формула (э) из предьшушед задачи воспроизводит этот спектр с единствсннмм отличиеи: эамсиов ! е!/2 на х/!(! е!) (иесугцественнмм авилу ! > 1).
8.18. цастица находится внутри непроницаемого эллипсонда вращения, так что по- тенциал имеет внд 2 1 2 2 О, — + — <1, аг 62 2 1, 2 2 оо — + — > 1 аг 62 (/(и, у, *) = При этом 8 выступает как оператор возмущения. ))ля основного состояния невоэмушенного гэмильтониана имеем (сравнить с 4П) 2 2 Фе (г)= — мп —, г<а; Рч [е) 1, Яг [ег х Л (2) ~/гка г а ' ' 2таг (эдесь н ниже для упрощения записи пприхн у переменных опушены). Расчет поправки первого параша по малому параметру с, согласно (1), сводится к вычислению среднего значения ВЭ/Вэг для основного состояния.
Ввиду сферической симметрии его в.ф. имеем, очевидна, Вг Вг Вг — = — = — ш-д В 2 Вуг Вэг Отсюда с учетом вырюкенид (!) и (2) следует [П кдс 2 2 2 2 Е = —, ЕсшЕ +бд = ~1+ — ) —. [и дг Г 2ЕХ ХЛ с Эптаг' е .о-~. 3)2шаг (3) Так как объем эллипсонла равен 4к 2 4и з 4х — а Ь ш — а (1- е) ш — Е, 3 то, сопюсно (3), замечаем, что Ее ш ягдг/2шдг, элесь  — рааиус шара такого же объема, как и у эллипсоила. Таким образом, в первом порядке по параметру деформации е энергия причем (а — Ь( ~ а. Найти в первом порядке теории возмущений сдвиг основного энергетического уровня по отношению к уровню в сферической яме такого же объема. Решение.
Замена переменных и' = и, у' = у, х' = аэ/Ь привалит у. Ш. и граничное условие для с. ф, гамидьтониана к виду а' [22 Х вЂ” — ~ — + — + — — )ФшЕФ, Ф(г'=а)=О. гт ~бэ'2 Вуо 62 Вх" ) Так как по условны )а — Ь( < а. та, эаписэв а = (1 + с)Ь, тле )г( < 1, представим гамнльтоииэн а виде Й = Йе + 8, выбрав Л2 Л2 2 Вг 8еш- — д', 1 =- — (2сег') —,.
(8 2т ' 2пт Вх'» б 1. Стационарная теория Возмущений (оискретяый спектр) 203 основного уровня опрелеляется лишь обьемом эллнпсонда. Имея в внлу, что в з-состояниях чаатнца оказывает одинаковое по всей поверхности дааненнс на стенки сферической ямы, а также выраженне лля аовершаемой работы, -Р Ар, прн изменении объема, легко сообразить, что реэуяьтат остается справедливым прн малых дсбюрмацнях поверхности достаточно произвольного вила, сохраняющих объем.
6.19. Обобщить результат предыдущей задачи на случай возбужденных состояний частицы. Обсудить вопрос о характере снятия вырождения по проекциям момента в первом м более высоких порядках теории возмущений. Ре»кение. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь »е> С 1» '> »с> Л »г з > Ф„,»н = — 3»+»>»~а„ы,» -/И», Въ» = 2ра см. 4.9; невозмушеиный уровень (21+!)-кратно вырожлен. Ввнву сохранения Ц приведенные в. ф. яышются правнльнымн функшшмн нулевого приближенна лля возмущенного гамнльтаннана, так что слвнп» уровней (!) Вля вычнслення щесь интеграла рассмотрим сначала более общий матричный элемент внаа (п,1щ' ~ — ~ »Ъ1т) .
После выполнения в нем ннтырнровання ло координатам он принимает внд (т'(Тз )»и), пм Та является уже абмчной матрнпсй. действующей в пространстве векторов состояний момента величины 1, в катаром векторы !»и) определяют базис. Из соображений а тензорном хари»тере оператора Тн слщуег (сравннть с 3.40, 1» — мшрнцы-векторы компонент момента). Тз = А б ° + Вез>1» + С (1 1, + 1»1») . (2) Ввиду симметричности Тн имеем В = О. Далее, нз условна !Те=1,— шб ' бя, бя» слслует соотношение (3) А т (2>(1+ 1) — !)С = 0. Наконец, свертка и (2) по индексам з н 1» дает ЗА еВ(1+!)С =Т» =Х (4) Определяя нэ (3) н (4) значения А н С, а также учнтывая, что - (Л~/2р) Ь = В"',, получаем »»> 21з + 21 - ! - 2»п' »с> (21 - !)(2> 4 3) (5) Отсюда следует, что вмрожаенне уровня частично сннмастся: он расшыпшепл на 1+ 1 подуровней, нз котрых один (с ш = О) является невырожленным, а остааьные (с гп = й(шО двукратно еырождснм.
В более высоких порялках теорни возмущений дальнейшего сенна вмрожвсння, очевидно. не прансходпт. Заметмм, по среднее по всем вшуровням значение поправкн первого порядка равно (о вычисления суммы см. ЗА), так что эначенне Вм»„. как н в случае основного аостояння, опрелсляется только объемом эллнпсонла (см. по этому поводу замечание в предыдущей задаче). Глава 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
