Galitskii-1 (1185111), страница 49
Текст из файла (страница 49)
а при значениях !т( > 2 происходит лишь сдвиг уровня (его расщепление возникает в 2!пг(-м перваке теории возмущений). ВЛО. Пространственный ротатор с моментом инерции 1 и дипольным моментом б, направленным вдоль оси ротатора, помещен в однородное электрическое поле, рассматриваемое нак возмущение. Найти поляризуемость основного состояния ротатора. Решение. С.ф. и с. з. шмнльтониана иевозмущснного ротаторв имеют внд (см.
3.3) ПГ „, „, Лгт(! 4 !) а возмущение У = -Ль"созе (ось з направлена вдоль ьлсхтрического поля). Учитывая ткжношенис сщ Е Уег — — -!Кз/АЗ, см. (1П.7), н ортогонааьнссть шаровых функций, находим, ио итричный элемент возмущенна Ут,м отличен от нуля лишь при ! = 1, гл = О и равен Ке сз = г ЛР/тгЗ. Согласно (ЗЛИ. !), получаем йсшйз ейз +Па !зг,п! О! 28 Р' Здг (2) так что поляризуемость основного состояния ротатора равна Рз = 21 Ег/ЗДГ. 8.езаз.
В условиях предыдущей задачи рассчитать в первом неисчезающем порядне теории возмущений сдвиги энергетических уровней возб~пкдениых состояний ротатора. Каков при этом характер снятия вырождения уровней? Происходит ли в более высоких порядках теории возмущений дальнейшее снятие вырошдеиия7 и гамильтонивн Ие, инвариантны при отражении координат относительно оси, направленной авель злсвтрнческшо поля, т.
с. при преобразовании р — р. Следсшисм этого явяястся возможность классифицировать с. ф. гамильтонианв ло значению Р = ж1 четности и рассматривать соответствующие состояния рашельио. При этом сразу определяется система правильных с.ф. нулевого приближенна (сравнить с 8.8): !98 Глава О. Теороя бозмущений.
Вориационний метод Решение. Для вычисления матричных элементов возмущения (см. предыдущую задачу) шюлользуемся соотношением ~В Ц то, Т, —,, У»н, 1>1, (1+г + 1)(1-т+ !) (1) (З+ !)(2>+ 3) (лля его пояучення следует учесть связь шаровмх функциЯ К„с прнсосанненными полниомами Лежандра Р! ! и воспользоваться рекуррснтнммн соотношеннямн дяя последних; фезовмЯ множитель у 1;, см.
(И! 5), выбран как в книге Л Д Ландау н Е. М Лифшица (!)). Согласно (!), отлнчнм от нуля матричные элементы возмущения толью межау соседннмн уровням н: К>ы,ь = У> лт> = бее> Хотя у>ювнн знергнн невозмушенного ротатора вы!южлены (по проекции момента гп прн 1 Р О), для расчета нх сдвнт и расщепления в электрическом поле нет необходимости пРименять теорню возмущений для вырожденных уровней.
Валлу сохранения 1, н прн деЯ- стали возмущенна, состояния с различными значениями и> можнО рассматривать разлелы>о по формулам теории возмущений без вырождения. С учетом этого замечания по формулам (Ч1Н.>) получаем: В>~ > = О н >г> И'б' 1(1+ 1) — Зт' 1> !. (2) «' 1(1 + 1)(21 - !)(21 + 3)' Как видно, (21+ !)-кратное вырождение невозмушенного уровня ротатора частично снимается: он расшешиется на 1+ ! подуровней, нэ которых одне, с т = О, является невмрожленнмм, а остальные 1 — двукратно вырохшеннммн ло знаку прткцин момента на направление электрического поля. Дальнейшего снятия вырождения в более высоких порялквх теории возмущений не происходнт.
Это связано с тем, что, с одной сторонм, велнчнна и> ш 1, является интегралом движения н мо:кет иметь определенное значение олновременно с энергией, а, с другоЯ стороны, энергня состояниЯ, различающихся лишь знаком проекции момента на направление электрического поля, оаннакова в силу инвврнантностн тмлльтоннвна относительно зсркавьного отражения координат в любой плоскости, проходящей через ось х (нрн п>ком преобразование энерп>я не нзменяется, а проекция акснвльного вектора (момент импульса) на направление полярного вектора (электрическое поле) меняет знак).
8.12. Найти сдвиг в слабом электрическом поле и полярнзуемость основного уровня заряженной частицы в одномерном б-погенцнале (/ = -а б(я). решение. Для основнот уровня частицы в б-потенциале имеем (см. 2Л): 2 2 Л! =- —, Ф (я)=>/ке"*, и= —. ба> д к >е» -,,! >но 2т ' « Для вычисления его сдвига под леЯствнем возмущенна >г = -еяя во тором порядке (очевидно Д) > = О) в качестве невозмушсннык с.ф. непрерывною спектра удобно выбрать фУнкцнн Фен>(л), отвечаюшне опРгдсленной четности Т = «!. Так как дла четнмх с.ф. гамильтоннана, искажаемых б-потенциалом, матричный элемент возмущенна равен нулю (н поэтому нх явный вид несуществен), а нечетнме в.ф. не искажаются б-потенциалом н поэтому совпадают с в.
ф. Ф е, = яп «х/>/я свободной частицы, то, согласно (Ч1И.!), !е> нмеем (Ле = Аг«>/2п>): П> ! з ч-, / )(«Т(ебл(О) 2н>ке>б' / Я«1 / .Я' 1 -+ ~1 е е м Используя здесь значения интеграла м 1 " =(») эяп«е е "* ба = як« (к'+ «>)г 9 1. Стоционорния теория Возмущений (дискретный спектр) 199 и интеграла (2(1.5), находим сдвиг уровня н палярнзуемасть дй 1 > 5яге 1 Ьс ю--Ф Х рв=— сйзн4 сравнить с 6.36. ю.13. Найти приближенный внд волновых функций стационарных состояний н энер- гетические уровни нижней части спектра плоского ротатора, имеющего днпольный момент б, в сильном электрическом поле Ф таком, что йр ~ 1~|1. Решение.
В сильном электрическом поле в.ф. нижних уровней рататора локализованы в области малых углов )р) Ф 1, так как патенцнавьная энергия ГУ = -йв саар имеет глубокий минимум при р = О, см. Рнс, 25. Рвзпашя (г(р) в ряд и о>раннчиваясь первымнчаенвмн разеаження: приводим в кувевем приближении гамильтоннан ротатора к гамнльтониану линейного осцнллятора н, васпольтовавшнсь (Н,З), получаем>> Условие применимости проведенного рассмотренна састант в малости с.ф. (2) прн )р! 1.Так кака.ф.
Ф~ >(р) существенноотлнчныот нуля лишь в области углов (доступных кеасснчсскому ротатору) Рпс. 25 йер !е> > — бЕ„+йу, нлн р бре ~а+-), 1~ 2 то отмеченное условие принимает вна е Ъ А'(н+ 1/2) /йу. 2 Замтим в жключенне, что, взяв в (1) следующие члены разложения по р' (анирмонические поправки), можно уточнить значение Рч в (2). 8.14. То же, что и в предыдущей задаче, но для сферического ротатора, см. 6,10, решение. Гамнльтониан системы имеет внд Л-1 Ь > > Н = — 1 — ВУ = — >Уе — йе соз Р 2Г 22 (полярная ась з направлена вдаль электрического поля В).
В случае снльнога поля с. ф. гамнльтониана лля нижних уровней локализованы прн маиых значениях угла Р < 1 из-за глубокого мкннмума прн Ре = О у потенциальной энерп>и (У = -Иегове, сРавнить с предыдущей задачей. Учнтмвая это обстоятельство, а также тот факт, что опеРатаР Ье,„— лаплвснан на сфере еДнничнаго РаДнУса — пРи малмх углах р можно рассматривать как лапвасиан в плоском двумерном пространстве (в плоскости, касательной к сфере ралнуса 22 = 1 в точке рс —— О„так что при этом р является раанальнайь переменной), гамнльтониан (!) можно приближенна записать в аиде > Конечна, э Рзссматркзаемам случае уке не прихаяится творить а Ротаторе кзк о врвшзюшепся чистке.
Глава б. Теория Возмущений. Вариоционныо метод (3) (2) а) Разлагая в этом случае потенцюш возмущения в ряд по степеням г/и, что дает !(.)=-У,[-;+ — „" +оЯ~, и зчитыамг значение интеграла (см. (1, б 36)) Л г)ЕЯ (таз ! г3 т У' согласно (2) — (4) находим ( ! Знз — !(!+ Ц 1 24( (4) (5) й м — — ~ — + — /1 — ай+ — 44 (х + у ). 21 ~бхт аут l Здесь х = Воши, у =Рипа, Р = т/хт+ рт. Гамильтон нам (2) описывает плоский осциллятор, что позволяет, воспользовавшись 2.48, получить в вуеееом приближении спектр и собственные функции исходного гам иль|он иана (1): !ез /адт т 112 кя = -альбы(йг+ 1) и= ~ — ~ лг = 0 ! 2* " рт Ф!'1ю = С„,См ехр ~- —, ~ Н„, Н Н„( — ), и~ + и! = ЛГ, тле Ве =- (л'/1де) .
так как с.ф. осциллятора (2) лакзлиэоеанм в области р' < (рт+ 1)4, ЧФ то использованное выюе условие В « ! опрслсляет условие применимости (3) в виде ре' « !/(Лт+!) Или М »Лт(!у+1)т/41, В рассматриваемом приближении уровень Жй имеет кратность выро:каспия д(йт) = Лг+!. Такое вырождение — свойство принятого приближения.
учтя в разложении сшр ш!е- дуюший, Рт, член, а также используя более точное вмражение длн Дг,„, можно уточнить (3), опрепелив малое расщепление уровней а» -из 8.1$. Частица находится в центральном потенциале вида (о > О) а) У = -Уо/(еы' — !). 6) У = — Уеае '!'/г, причем Ус » Л~/изот. В первом порядке теории возмущений найти отличие энергети- ческих уровней нижней части спектра от уровней в кулоновском поле У = -Уаа/г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
