Galitskii-1 (1185111), страница 45
Текст из файла (страница 45)
наконец, последнее слагаемое, хь „, = ли (яг + 1/2), соотзстствуст знсргнн свободных хоясбанпй злсль напрапзення ыагнилюго поля. 7.6. Показать что нагннтное поле 5Ф(г), отличное от нуля в ограниченной области пространства, не пожег «связатьь заршкенную бесспиновую частицу, так что не существует стационарных состояний, в которых частица локалнэотана в ограниченной области пространства. Почему этот результат ие противоречит существованию магнитных лодуьтех для впряженных частиц в классической неханнке? Решение. Лслсгамтехьно, собстасниые значения ганильтониана частппы Й = (р — «д/с) /2гн шыяются полоккшяьиыии, а при значениях ыыргии Е ) О на больших расстояниях, где частица яшыется свободной, нс сушсствуег убывающих при г го решений урависния Шредингера.
Оанако хотя истинно стязап них состояний частицы з магннгион псле и нс существует, тсы нс нснсс у нес ыогуг существовать кит»онечхсислниг состояния (си. б 5 главы 6), еягяя сшили которых э накроскопичссхнх условиях практически конст считаться бссконсчче бсчьшин. 7.7, Как известно, в одноыернон и двумерном случаяк в любом поле притяжения всегда существуют связанные состояния частицы, в которых она локализована в ограниченной области пространства. В трехмерном случае таких состояний может и ие быть, если потенциальная яна достаточно «ыелхая». Показать, что при наличии в пространстве однородного нагнитного поля у заряженной частицы в цронзвольноы потенциале притяжении, удоапетворяющеы услоаияы у(г) < О, (у(г) 0 при г -«со, всегда иыеются стационарные состояния„ е которых она локализована в ограниченной области пространства (н не только е поперачнои направлении(), так что при наличии магнитного поля любая яна мажет «связать» частицу. В случае мелкой яны, для которой г/е < Ь~/пзот (где (/е, о— характерные величина и радиус потенциала), получить приближенные аыршкения для энергии связи частицы; в связи с этим еопросоы сы.
также 8.61. Жввмю. Вослользуснся, как н в задаче 2.3. тариэционнын негодан. Выбрав мкюрпый йотеициап а анде а ш (Л'Г)/2, ЗаПИШЕМ ГтнппатОИНВН ЧаетицЫ ! РГ = й, + Р* *+ (/(г), 2л где Мг — непер«чная «эсть гемнльтоинзнз» чисто нзгнитион лохе, халрзепскиоы шспь оси з, сн. формулу (3) из 7.1. Рассмотрим теперь иорыироеанныс на свинину возиовьы функции вила Фн=«/нс Ф«чг, (Р 4)~ (1) где Ԅ— попсречнзя часть в.ф.
(4) из задачи 7.1. для ксс Й,Ф~ = (аил/2)Ф« . глс ия = )«1'М'/лс, так что сродны значсинс энергии частицы в состоянии с типовой Функцией (1) равно йтхт Е (х) = 2~ Ф'ФФ кгг = — + — +н / (г(г)е ч(Ф»„)'бК 2 21» Тах кэк по условию У(г) с О. то отсюда следует, что прп псстэточно навык зпачсннж пар»негра к всепы будет Е (х) < йшл/2. Это исрэеенслю означает, по у расснатрнэасыого ганильтониана ннсклчя с.з., ыеньшис йия/2 — нинныазьною значения энергии частицы В1. Стационарные состояния частицы В присутагиуии маанитнаго поля 18! Здесь р= —, ая= —, г=тГрз+зз А/2 ол ~[ рыл ' и прн преобряюваниях использощн явный внл в. ф, (см.
7, 1) 1„ехр (1тр — р ~/2) Фь =Й чг 2я(т(! оя В сзбчае мелкой ямы У(г) эффектиенмй погенциах (4) отвсчасг также мелкой одномерной яме и энергии уровня е (отсчитываемая от основного уровня ЛандаУ, см. (2)) определяется результатом 2.22: ра 1 с ю —— 2Д2 ~ (5) (при этом зависимость в.ф. (2) от а такая же, как и в (!) с к = ра„/Д').
Простая оценка (она преллагастся читателю) показывает, что, как и следовало ожнлать, энергия связи рассматриваемых состояниЯ мала: (с ! ч. йыя. При агом энеРгия связи лая состояний с различными значениями т проекции момента частицы существенно зависит от соотношения межау магнигнойь длиной он и радиусом Л потенциальной ямы. Особенно резкой является зависимость г„от ги, когда л ~ вл сс рг 'и. В этом случае в интеграле (4) можно заменить ехр (-р') единицей и согласно (4), (5) получить ( Л ) рр21 !+! так что энергия связи частицы быстро уменьшается с увеличением (т(.
В заключение заметим, что ряа обобщений полученных выше результатов на случай, когда потенциальная яма 77(г) уже не является мелкой, содержится в 6.61, Э! Подобнмв прием преобвэювэние уравнения Шрбяеямре хаэекгерсн юм одеабомчческсео кребюжечок. см. в связи с этим 8.61. в однородном магнитном поле и поэтому соответствующие связанным состояниям частицы, в которых она не может уйти на бесконечность. Подчеркнем, что число таких независимых состояний бесконечно велико, как н число различных значений величины проекции момента т (о возможных значениех т в зависимости от знака заряаа частицы см.
в 7. !). Образование связанных состояний частицы в условиях рассматриваемой задачи даже в случае мелкой потеициавьной ямы допускает простое обьяснсниш в поперечном направлении частица есвязывеетсяэ уже одним магнитным полем, см. 7.1, а наличие ямы привалит к сеязиеокею н в продольном направлении, как это всегда имеет место при одномерном движении, см. 2.3.
Обсудии случай мелкой ямы более подробно. При агом в, ф. связанных стационарных состояний приближенно имеют вна, сравнить с в.ф. (1): Фл (г)юфс (р р)Ф (х) Е= — +е йыя 2 (2) Злесь учтено, что зависимость с.ф. гамильтониана от поперечных коорлинат опрелеляется в основном действием лишь магнитного поля, Подставив зту в.ф. в уравнение Шредингера, Ййк„ю ЕФл„, после умножения его слева иа Ф,' (р) и интегрирования по координатам поперечного движения прнходимз1 уже к одномерному у.
Ш. дз — (к) + [Гг ,14(х) — е ) Ф, (э) = р (3) 2р с зтэтбекмиеной потенциальной энергией ч У,ЧМЕ(г) = /17(Г)(Фц (р)! бэр= — 1 77(Г)р Ьяь ЕХР(-р ) СГр. (4) (ш(1 7 о 5В2 Глава 7. Дбижение д маениглном поле /Ь. Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие значения энергии длл нейтральной частицы, имеющей спин з = 1/2 и спиновый магнитный момент дв (так что /з = деУ) в однородном магнитном поле. Решение. Нвяравив ось з вдоль магнитного поля, имеем гамильтонивн частицы Й = рт/2ит — Ле,дгй„см. (Ч!!.1). Ввиду взаимной коммугвтнвности операторов Е, Р, йр сразу получаем с.ф. гамильтоннвиа и сеогвегсгвуюгцие им значения энергии частицы т Ф ., = (2ял)" Г ешЛХ Еи.
= 2ле й з ' и. — 2ю заесь Хч — сливовые функции, являющиеся собственными функциями оператора з„ отвечающими с.з. з, ш ш1/2, см. 5.1. 7.9. То же, что и в предыдущей задаче, но для заряженной частицы со спином в = 1/2. Сравнить с результатами задач 7.1 и 1.8. Обратить внимание на появление дожзлнительного вырождения" уровней поперечного движения для частицы, имеющей магнитный момент, равный де = ей/2гпс (с, тл — заряд и масса частицы; такое значение дв, следующее из уравнения Дирака «29], имеют электрон, мюон и их античастицы).
Решение. Гзмильтониан частицы отличается от гвмильтонивнв бесспнновой частицы дополнительным слагаемым, имеющим вид -гььрг" й, (см. (Ут!.1), ось з направлена щюль магнитного поля). Оно не зависит от пространственных коорлннат, так что в уравнении Шредингера координатные и спиновые переменные разделяются. Это обстоятельство с учетом результата решения зааачи 7.1.
н ажлснениа з, позволЯет записать с. ф. Рассмвтриваемсго гамильтонивна в аиде Фич „= Ф, „(г)Х.„' (1) заесь Ф„р,„(г) — с, ф, гамильтонивив бесспииовой частицм; их явный вид зависит от выбора калибровки векторного потенциале (ири этом и щ р и и щ гл соответствует случаям а) и б) из 7.1). Приведенные собственные функции (1) отвечают энергии частицы (2) и = О, 1, 2,..., ын —— (е(.ХР/тс; при этом лискрстнзя часть спектРа Еь„п связана с поперечным дни женйсм частицы и учитывает также взаимодействие с полем спи нового маги итного момента частицы. Для электрона магнитный момент ле ш — (е)Л/2глс и из (2) следует Еь, и Ег ш Вынут, тле ДГ = и+ з, + 1/2, ДГ = О, 1,....
Этот спектр имеет следующие характерные особенностж Оснохноя уровень, ДГ = О, является рневырожленнымр'ег, при этом ею энергия Ее ш О (и = О, з, = -1/2), в уровни с ВГ и' О рдвукратно вырожаены; им отвечают состояния как с и = дГ, з, = -1/2, так и с и = дà — 1, е, = +1/2. Отмеченные особенности спектра отрывают сулсргиннешричний характер гамильтонианв поперечного движения электроне в магнитном поле. Дейшвительио, этот гамильтонизн сволится к гвмильтониаиу супсрсиммстричного осцилляторв. Рассмотренному в Ю.26, так как его можно записать в виде (р„+ 1е(дь/с) 1е)ййг й, / 11 /-— Е,ш 2т + * щйьгя (6 Ь+-) +выл (/'/- -) (3) 2 ь 2/ ь, 2/ здесь / = (е, — Гйг)/2 = ( ! ~)1 при этом /+/ = (1+ з,)/2, (/,/+) = 1, а 6 = (гг„+ тя,)/т/2йьйшя, причем Ф и глр = (р+ (е1А/с), (6, Ь+] = 1.
Соатветствснио спин играет Рг зто вывожаснхс макет быть связано с суррлсрннихррчрин хзрзкмрон гамильтоннзиз. О супсвсимнствии в квзнтозоа мсшнике см. обзор. Дсндшиигйр Я. 3., Лврш рь В. // УФН. 19З5. Т. 146. С. 553. Хзвзкмрннс чсвтм к глслсгзие супсвсннммвнн рзссмотвсны з эывчзх Ю.26 н Ю.27. 'Е! мм огзлскесися от зироядснхя, присущего уровням Бг, „поперечного лвнжсиия в чегннтнон поле бссспиноеоа чзстним.
6 !. Стационарные состояния частицы б лрисутстдии магнитноео поля !83 раль фермноннай степени аваболы, прн этом пг = з, 4- 1/2, а орбитальное лвиженне отвечает бозанной степени свободы, так оо пз = и. Спектр гамнльтаннана (3) теперь запнсызастся в внае Юь„ег — -йып(аз+ яг). Он совпааает, естественно, са спектром Еашь н объясняет отмеченные выше его закономерности. В заключение прнвелем выРажения лля опеРаторов 43 преобразования суперанммстрни, см. ! 0.26, в условиях данной зааачи: Й +!Й вЂ , ",е! * /О Фте'+Йм'*',":""*, аш- (4)'-Е) ="",*""'" и2т й2т При этан О = т4ыя н гампльтаннан (3) может быть записан в следующих зквнвзлентных фар: Й =ФшгЗ=(М')..
7.10. Показатгь что гамнльтоннан Паули (ЧИ.1) для злентрона а электромагнитном поле мгпкет быть представлен в виде (У (р-еА/с)) + е3т(г). (1) 2п! На основания этого выражения показать также, что о) прн движении электрона в стационарном однородном магннтном поле проекция спина на направление скорости является интегралом движения, б) магнитное поле Я"(г), отличное от нуля в ограниченной области пространства, не может «связатьэ электрон; сравнить с 3.6.
Сохраняются лн угверхгдення задачи для других частиц со спинам з = 1/2 (протона, нейтрона н др.)2 Решение. 1) Имея в виду соотношения (Ч. 3) и (Ч31.2), выполним слелуюшне преобразования указанном! в условии задачи гзмнльтаннвна: (Э (р — ';А))з те,а«9еь Нш ' +еры ' ' +ер= 2гп 2 Дэг пмг ей = пг(б,ь + ге,ь,ай — ' + ер = — + ер — — ОЗ' У. 2 2 2тс (2) Отсюда видно, что он действительно является гамнльтаннаном Паули лля заряженной чаатнцы са свином з = 1/2, зарядом е н собственным магнитным моментом !г«ей/2тс в электромагнитном поле (такае значение Ра, следующее нз уравнения Днрака (29), имеют электрон, мюан и нх античастицы).
2) Прн движении частицы в стационарном магнитном поле (в отсутствии электрического поля) р = О, а векторный патенпнал А(г) не зависят от времени. Соответственно не зависят л«ие ат времени как оператор скорости частицы, так н оператор от. Поэтому, имея в виду выражение дхя гамнльтоннана Й = т(йг)~/2 и Формулу (тд.е) зля лнфдмренцнратння операторов по времени и!, прнхолнм к выводу а том, чта оператор Ют являстсв оператором сохраняюшейая фнзнчсской величины (интегралом движения). Далее, прн лвнженин чзстнгца в однараанам магнитном поле тг тиаке явзястся ннтед!азам движения ~~~.
Сохранение как от, так н тг, означает, чта проекция спина частицы нв нвпрзяхенне ее скорости является также интегралОм движения. Этот результат являетсв отРажением того фнзнчеакага обстоятельства, чта нзменсние са временем векторов скорости н спина (н, в частности, нх средних значений) частицы в однородном магнитном поле нмеет одинаковый характер н представляет собой прецссаню с частотой, равной ы», см. т.!5. Если же магнитный момент частицы атянчастся ат значения ей/2гпс (для з = 1/2), то угол между вектоРами скорости и спина изменяется са временем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
