Galitskii-1 (1185111), страница 43
Текст из файла (страница 43)
в шюскосги, псрпенднкутяриоя мшнитному полю. Гамильтоинаи заряженной частицы со слином а и сцнновым магнитным мо- ментом ро в црисугствин магнитного поля — гамидьтолиап /узули — имеет видо 1 г е ьз ро д/ = — ~р — -А/ + т/ — — иг зг (1/П.1) 2тн с з цри этом йе = го1А и р= -гй!7. Оператор скорости частицы т = (р — еА/с)/нз (см. 6.10.); его компоненты удовлетворяют коммутационному соотношению зей [ои еа) = — егьгРуц тзс или в векторной форме т х р = (тей/итзс) йе. В однородном магнитном поле 5К энергетический спектр поперечного движе- ния'1 заряженной бессииновой частицы является дискретным: 1~ 1е(Л5 ЕГ „шйыи (И+ -Г), И= О, 1,2,... (уросниЛапдау), Шд = —, (т/!!.3) 2/' ' гис а вид собственных функций гамильтониана зависит от калибровки потенциала, см. 7.1, Если частица имеет спин в и собственный маги итнмй момент Ио, тогда (т31 3) должно быть дололнено сшс одним слагаемым, равным — надев,/з, где з, авляетса проекцией спина частицы вдаль наиравления магнитного поля, Плотность тока в присутствии магнитного ноля представляется в зиле двух слагаемых: 1УА Глава 7.
Ддижение д магнитном лоне $1. Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля Решение. л) Ввкау взаимной коммутвтивностн операторов р„, р, н гамильтониана частицы с.ф. гамильтониана могут быть выбраны в виде ( т(р„у+ р,г) ) (г) При этом из у.Ш. гледует уравнение — — рн(в) + — (рт — — ) р(л) = Егр(е), 2р ' 2р(,т с! где ввсаена энергия Е, = Š— р,'/2/г поперечного движения.
Решение этого уравнения выражается через решение у. Ш. лля линейного оспиллятора с собственной частотой ми = )е)дгт/Рс, см. (!1.2), так что (2) Подчеркнем, что энергетические уровни поперечнет движения Е„„— урггниЛлнйгу — являются дискретными, кратность их вырожаення бесконечна (энергия не зависит ет величннм р„, принимающей значения -оо < р„< +со), а «поперечная» часть с.ф. гамильтоннана Ф, не нормнруема на единицу, так как )Ф)т вообще не зависит от у. б) Прн таком выборе векторного потыгпиыа гвиильтоннан частицм имеет внд -1 т.
т -1 Р ей е юге т Р Н= — — — Нц/ + Р ЕНг+ (3) 2р 2Р ' бд ' 2н Так как операторм Т„ рг и Й вшимно коммутируют друг с другом, то с.ф. гамильтаннэна можно выбрать в вшм (мюпользовввшнсь цилиндрическими координатами) , (Р, «, Р) = — ехР 14 ( Р + Р†' / / /Р /(Р) и из у.Ш. получить уравнение лля радиальной функции 2, (2ЛЕ, тт — Г/4 етУ4 египт ) / + /+1 + Р1/=О. ( йт Рт йс 46тст (4) 7.1. Найти уровни энергии и нормированные соответствующим образом волновые функции стационарных состояний заряженной бесспиноаой частицы в однородном магнитном пола (направленном вдоль оси л) при следующих калибровках векторного потенциала: а) А, =О, Ат юйлгп, А, юО; 6) Аю [йцгг)/2.
Обратить внимание на дискретность энергетического спектра поперечного движения частицы и иа различный характер нормировки епоперечной» части собственных функций. С чем связано такое свойство с. фЛ Сравнить со случаем стационарных состояний дискретного спектра частицы в потенциальном поле (/(г). б 1. Стоки опарина состояния частицы В присутстбии магнитного поля 1Уб Это уравнение лишь переобозначением величин отличается от рассмотренного ранее в 4.5.
Отсылая туда за деталями решения, привелем результаты: ,/р/ш Се * *" Р~ ,Г» 1„1П / -2Е»/Лшя + )и»! + 1 — ст/(е! 2 , )и»)+ 1, а(, (5) р»»( Л )е(я»в еш —, ая= —, ыяш — ° 2а'„' )1 рык' рс Требование, чтобы гнпергеометрическвя функция здесь сводилась к папиному» 1г' 2Е, ен»Л -~- — +)т)ч-! — — ~ ш-п, и =0,1,2,... 2'» Лы„ (е! / определяет энергетический спектр поперечного движения частицы. Отсюла, в аогласни с (2), елеяуст 12 (т! — ет/)е! Ь;„=Лыя (и+ —, пш0,1,2,..., пшпг+ (б) При этом уровню Е, „а данн ыы н соответствуют состояния частицы са значениями проекции момента я» на направление магнитного пшш, равными'1 и» ш -и, -и + 1,..., О, +1,..., +со прн е > О, »и = -ао,..., — 1, О,..., п при с<0, бесконечное число вазмшкиых значениЯ и» отвечает бесконечной кратности выра;кдения уровней Ландау.
Подчеркнем, что теперь с.ф. (4) н (5) гвиильтониана описывают локалцзаш»нные в попсречньш (перпендикулярных йге) направлениях состояния частицы. Для нормировки иа единицу «поперечной части Ф„„(р,р) с.ф. »вмихьтониана значение нормировочного кожрфнцнента в (5) слелуст выбрать равнмм С! = (!"!'")' )С! = В связи а вопросом о нормировке волновых функннй стационарных состояниЯ д.с. напомним, что для чаатнцм в потенциальном поле (г(г) они вселю локализованы в о»рани- ченной области пространства.
Необычнме свойства нх дая частицм а алнорцлном ивгнитиом поле связаны с тем абстоятельатвом, чта дискретные энергетические уровни поперечного движения имеют бесконечную кратность вмрожлення. Дсйствитевьно, рассмотрим шыноаой пакет, составленный нз с.ф. Ф, (2) (зависимость в.ф. от з опускаем), аида Ф (з, у) = / С0Ъ) Ф (*, у) Лр„ Э»в волновая функция также отвечает уровню Ландау Е, „, причем сслн ) )С(р )!» црг = 1, то она уже нормирована нв единицу и описывает локализованное состояние частйцм, в отличие от ненормирусмых нв елнницу с.ф.
Ф, . И наоборот, из нормированных с, ф. Ф„можно составить волиовыс функции вида Ф„ш Л; С Ф„. Онн также отвечают уровню Ланаау Ес„, однако в случае 2, (С !» = со у:ке нс описывают локализованиоп» в плоскости (а, р) состояния частицы. 7.2. Для заряженной бесспиновой частицы в постоянном однородном магнитном поле указать операторы координат центра орбиты ра поперечного (пврпенднкулярного магнитному полю, направленному вдоль оси л) движения, квадрата радиуса-вектора этого центра ра и квадрата радиуса ларморовской орбиты рл.
»1 Обратим еииизиис вз»о, по осиозиомг уровню Лаилаг, с и = О, огзсчззп состояния частицы лишь с такиик и», ч»о е в» > О. Йзз аругвх ткаченка»»рмкн»»к момента а» Пювни с минимально зазможиаа звсргиеа леши выше, так «ак лля них гже и > О. 176 Глава 7. Дйолгение В магнитном лопе сил 2 (и(р- рз)) =22, и = [О, О, и = — — ). )е) / Эта формула выражает характер движения частицы в плоскости (э, у) — равномерное вращение, причем знак и определяет направление вращения (ось з направлена вдоль магнитного поля). Из псе следуют соотношения 2'г 2' 2 2 по = з Уо = У+ рь = ее+ Уз и' и Квэнтовомеханнческим обобщением зыраженнд (1) и (2) классической механики являются соответствующие зрмитовы операторы: йг -тдд/ВУ вЂ” едт/с о* 2 2 2 э.=В- — =* — .
ШжЙ+ — *, 27 =В +Уз, (5) и Ри и (при этом РУ = р — ед/с, р = -гьтг), лля которых нструлно установить следующие коммутационные соотношения'1; -г -г "* + "т Рл 2 22 [Й,Ю2] = [// Йт! = [Йгрз" = [й,ря7 =О, (эо2Йе) = — — 2 [а~да[ =О. (4) Коммутатнвиость введенных операторов с гамильтоинаном частицы означает, что согпштствующне физические величины являются инте!разами движения, как и в классической механике. 2) Так как рят = 2Й,/ринг, тле П, = Й вЂ” р,'/2р — гамняьтаниан папсречнопт движения частицы, то воспальтавзащись Результатом из 7.1, находим спектр с.
з. квтдрата радиуаа орбиты (рл)„=(2п+!)ал, и=О,!,2,...; он — —— 2 (е!М Далее, выбрав векторный потегшквч в виде!1 А = (др г)/2 занечаем, что 2 2 е рилгуо = 2Н2+ 2 — ил!„ )е( так чта в ф. (4) нз 7 ! являются с ф. операторе рот, при этом спектргг его с з. (до) = (2й -!. 1)аьт, й = и+ — = О, 1, 2,,... 2 (5) (6) 21 Их можно получить, оо конкретзпруя калибровки зекгозного пгнеоцнзло, однако вычисления несколько упрощаются, сели воспояюовзтьсо канкзетным змбооом л = (б, .глз, в) .
21 06 нзнснзиии иглнозоя функции системы прн кзлибоозочиом прсобоатоззняи потенциезаз си. ззлегг 4.27. 22 спектры опсрзюооз р 2 к Д/ ногут бмть гол учен н непосредственно из сиксто щения вмозжснил (э) ляя нкх и «омиуппоров )Уо, зз), (т„о„) с мютзстствующел парой аовснстз лла якнолиаго осцияояторз: Й =. р 2/2гп + юи ут/2 и (р В) = -щ. оносвсляющзя его спектр ю„= ди (я з 1/2). Установить коммутационные соотношения длп этих операторов друг с другом -2 -2 и с гамильтонианом. Найти спектры собственных значений операторов ро и рд. Охарактеризовать поперечное пространственное распределение для частицы в ста- ЦнаиаРНЫХ Саетааинлл гучмз„РаССМатРЕННЬ2Х В ПРЕДЫДУЩЕЙ ЭаДаЧЕ, В СЛУЧаЯХ: а) пз = -епДе) (при этом специально обсудить значения и Ъ) 1 и сравнить с результатом классической механики); 6) и = О и !гп) Ъ 1.
Решение. 1) В классической механике движение заряженной частицы в псрпенаикулярнод магнитному полю плоскости происходит по окружности (лармороегкея орбите) с квааратом радкуса 2 от от + от )е)л' (1) рс Прн этом векторы р, рз, тз — радиусы-вектарм частицы, центра орбиты (окружности) и скорость авязанн соотношением 0 !. Стоционорньге состояния частицы 6 лрисутстбии магнитного ноля !77 Что же касается с.з. как оператора Ве, так н уе, то онн имеют непрерывный спектр. Отметим, в частнгктн, что в.ф. Фчог, нз 7.! являютсн с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
