Galitskii-1 (1185111), страница 39
Текст из файла (страница 39)
з. и и Й"(с) совпваают). Если же Й(С) зависят от времснн, то гамнльтоннан утрачивает роль интеграла двнження (энергия уже нс сохраняегсв). При этом с.з, *мгновенныхз гамильтоннанов Й(С) н Й'(С) Глава б. Изменение состояния до 6ремени в общем случае не имеют глубокого физического смысла. Оператор же Й" (1) по-прежнему определяет временную эволюцию"1. Иллюетрэциея провеленного рассмотрения является переход к геязснбсргоескомтг представлению в случае ВЙ/М = О, осуществляемый унитарным оператором Й = ехр (1Й1/д) . При этом Н = Н, Нь = О и из у. Ш. в новом предсщвлснии следует, как и должно быть, независимость а.ф.
системы в гейзеибергонском представлении ст времени. Унитарные ирсобрюования в квантовой механике являются аналогом канонических прсобразоэанид в классической механикс. При агом соотношение (2) для гзмильтониана системы является квантоломеханическим обобщением формулы классической механики (26), выражающей преобразование функции Гамильтона при каноническом преобразовании, осуществляемом зависящей явно ог времени произеодяшея функциеп /(1).
6.29. Указать вид унитарного преобразования, описывающего переход к равномерно вращающейся системе координат. Как при этом преобразуются операторы координат импульса, скорости и гамильтониан частицы? Сравнить с результатом классической механики.
Для иллюстрации рассмотреть заряженную частицу, находящуюся в циркулярном электрическом поле, т.е. таком, что 4 = го соз ыП бг — — ггс мп и1, 4 м О. Решение. Вил унитарного оператора Й = ехр (1Егнт), осушествлнкицего рассматриваемое преобрюование, опрелеляегся известным из теории углового момента законом преобразования волнееоя функции при повороте системы координат; здесь ы — угловая скорость вращающейся системы координат относительно исходноп ннерцнзяьноп системы отсчета.
При этом закон преобразования в. ф. имеет внд Ф'(г,т) = скр(1Гмт/Ф(г,!) ж Ф(г',1), где Фг(г, С) — в. ф, во вращающейся системе, а Ф(г', 1) — исходная в. ф. в неподвижной системе координат. при этом г — рааиус-вектор относительно врашаюнгепся системы, а г = Йг— рэпиус-вектор точки пространства в неподвижной системс, которая в момент времени 1 совпадает с точкод г. Равенство (1) означает, что значение в.ф.
системы не зависит от того, в иеременнмх какой системы коораннат (негодвижноп г' или вращающейся г) оиа описываетсяз11. Найдем вид операторов физических величин в новом предсташг си и и, т.е. во вращающедся системе к<юрлннет, и нх связь с опсраторамн в исходноя, неподвижное системе коораниат Онрелелим сначала вив операторов радиуса-вектора г „(1) и импульса р„,„(1) относительно исходной системы. Использун результат задачи 6.19 и известныс значения коммутаторов компонент г и Р с Е, см (П! 2), согласно общее формуле преобразования операторов /' = О/ Й+, находим: э „(1) Йвй = Йзй — э созыг — уз!пы1, (2) у„„,(1) = ямпыг+РсоыЛ, з„,„(1) = з, а также р„, „(1) — Й(-бт — Г/ =р омыт — р 51пыт, ргнчз(1) =р,зты!+Р„сохи!, р, „(1) =р„ здесь р, = -здд/дз и т.д., в ось х направлена вдоль вектора ы.
н1 Если ис Й", в отличие от Йя. нс ззенсьт ог засненн, то ен еыпавняст сес огмсчснннс выме роли гзмнхьтпннзна см с сэхзн с этим 6 29 т'1СШеннм с зьяачзмн 6.26 н 6.21, э когермк нрн еоотхетсгвующнх унитарных нрсоэразомнню нс нзненхлзсь хнмь плотность еермпносгн. й 3. Унитарные лреоброзобонид зодислщие от Времени Соотношения (2) имеют очевилный смысл м означаютщ, что оператор радиуса-вектора частицы является умиажснисм на г квк ао вращающейся, так и в неподвижной системах координат (компоненты жс вектора в этих системах координат различны и связаны обычными формулами для преобразования векторов при поворотах аистсмы координат). Аналогично соотношения (3), также имеющие вид формул преобразования компонент вектора при поворотах системы координат, означают, что и оператор импульса частицы в обеих системах координат одинаков и имеет внд р = -гЛй.
Точно так жс одинаковый вид в неподвижной и вращающейся сиатемах имеет оператор момента импульса Лб = (г р) = Гг ',р»а,) Гамивьтониан же частишя Й = ~р/2т+ (Г(г, Г) при переходе во вращающуюся систему коорвлнат изменвется и согласно формуле (2) из 6.28 имеет вид й = Ййй — лы? = — + гг"(г, г) — люб„ (4) 2т где бн(г, Г) = 2?(г', З) — потенциальная энергия частицы в переменных вращающейся системы координат.
Теперь, имен в виду соотношение 7 = г ш г(Й,7)(Л, нетрудно найти операторы скорости в неподвижной и вращаюшсйая сиатемах: р (юг) 7 (5) (сравнить с результатами классической механики, см. (26)). Наконец, рассмотрим частииу, находящуюся во внешнем поле, источники которого вращаются с постоянной угловой скоростью относительно некоторой оси, так что патенциаяьная энергия в иахоююй системе координат бг(г,г) зависит явно от времени. переходя во вращающуюся вместе с источниками полн систему координат, согласно (4) находим Л 2 Ы р = Д Ч.
ГГ (г) - Люб (6) 2т Существенно, что теперь как (Г'(г), так и гамияьтониан в целом не зависят явно от времени, так что энергия ва вращающейся системе координат является интегралом движения; так, дэя частицы в электрическом поле циркулярно-поляризованной монохроматичсской волны бн(г) = -ее»я. В заключсине заметим, чта полученныс в данной задаче результаты являются естественнмм квантовомеханическим обобщением соотвеютауюших выражений классической механики, см. (26, 639). Б,ЗО. Гвмипьтониан системы имеет вид Ы = Ыа+ У, где «невозмущениый» гамильтонивн Йа не зависит явно от времени, Рассмотреть унитарное преобразование от шредингеровского представления к новому, твк называемому лредстоблению Взоимодедстйия, осуществляемоеай унитарным оператором 0 = ехр Ттйа(( — (а)/Л) (при Р ш О и (а = О зто преобразование описывает переход к гейзенберговскому представлению).
Квк изменяются во времени операторы и волновая функция системы в представлении взаимодействия? Для иллюстрации использования этого представления рассмотреть возбунгдение линейного осциллятора, находящегося при Г -ч -оо в основном состоянии, внешней ПЗ Ва избежание невааээумсинй щтэсм слелуюшее разъяснение. Да паеебрээаыинэ г эвэястся ршиуаам-вектарам атнаанмэьиа исхавиай сна»сии каарвннат, аак этом 7 = г. Пасхе эмпалисння яасабразаээнн» эю састнашсияс относится тже к чэстнпс эа зрэшэюшсйея системс, э нехавинй аасрэтар (аахрэиэюшив свай физический сммея) преобразуется абмчимм образом, 7' = ЫГ?ЫГ+. Эта замечание астастсэ спрааеяяиэим и э отношении импульса чэсгхам.
«з1 Зиэчеиис времени та амбирастся абмчиа шким абрахам, чтобы аиа паеяшыггаэээа моменту мвючеиия взвнмалействн» Р(г), энба!а = О. Глава б. Изменение состоянии Во Времени силой Р(С), причем Р(С) о О при С -о жоо. Взаимодействие СГ ш -Р(С)х считать слабым. Сравнить с результатом точного решения, см. 6.25. Решение. Связь волновых функций и операторов в представлении взаимодействкя (они снаб- жены индексом Сп<) со шредннгсровскими имеет вна Фа,(С) = схр ( ) Ф(С), ( СЙВ(С вЂ” Со) Ъ д Уа,(С) =схр( )/схр(— ( С)УС(С - Со) ) - ( <Н,(С - С,) ~ ПРН этом, если С = )(РД С), то С,о, = С(раь 4",, С).
Продифферснцировав (!) по времени, получаем уравнение движения лля соответствующего оператора (2) причем но(Р я) =Во а =Туз(Р ьб <)! Ршфо) =Р %а(го) ая. Изменение со временем волновой функции систеиы определястсн уравнением В Ф<а = Вмй < Ууа? = Са< дС (такой вид гамильтониана Йа в представлении взаимодействия слелует из формулы (2) зодачи 6.23). Пронллюстрируем использование представления шаимодействия на примере осцишштора, находящегося е олноролном. зависящем от вреыснн внешнем поле.
При этом -? Р Ио= — +- *, Р=-Р(С)а, 2Н? 2 а зависимость от времени операторов координаты и импульса в представлении взаимодействия такая же, как и в гейзснбсрговском представлении двл свободного осциллятора. соответственно, используя результат эааачн 6.20 для х(с), получаем В< В) Ка .= -Р(С)да, = -Р(С) ! х сох ы(С вЂ” Со) — — нп ы(С вЂ” Со) ° — 1 .
(4) ГИЫ Ва1 Для рея<ения уравнения (3) с Ра, нз (4) последовательными итерациями, учитывающими малость вне<пней силы Р(С), подставим в него Фа,(Е,С) = Ф.(*) Е ФР?(Х,С), Гдс В СООТ<ЮГСТВИИ С ПОСТаноВКой ЗВВВЧИ Фо(а) — В.ф. ОСНОВНОГО СХТОЯИИЯ ОСШО?ллтсра н Ф<'?(а, С = -оо) = О (до включения силы осциллятор находится в основном состоянии).
Теперь с учетом вняв волновой функции, см. (ПВ), ? т Фо(а) а (ла ) схр à — ~, а = <(/ —, '( ъ )" согласно (3), (4) получаем <Л вЂ” Ф<'?(в,<) = — Р(С)е <' Ь?аФВ(я). дг Отсюда Ф<'? = ?/2С<(С)вйо(в)/е, где С<(С) а С(2НЛ<ы) Г'е " / Р(С')с ВС'. Глава б. Изменение состояния до 6рамеии 102 Пслставнв эту функцию в у.
Ш., получаем а = -За/21, так что а(г,т) = ас(гг)С Для определения ас(г) замечаем, что согласно начальному условию / С яр — г 1 прн С О. Вмчнсляя интеграл, находим 3 гтг а(г, С) = а(С) = т 201/ что а учетом (3) завершает определение вила функции Грина. Заметим, что это вырюкение можно было бы также получить слсауюшими двумя способзмн: 1) непосредственным вычислением интегРала (313.6), выбрав в нем с.ф. Фв(г) в виде плоских волн и выполнив интегрирование по р, и 2) воспользовавшись (2) н сбшнм выражением, связывающим ядра оператора в коорзннатном и импульсном предатавлениях, как это было сделано в 2.20 лля функции Грина стационарного у. Ш. В заквючсние подчеркнем, что показатель экспоненты в выражении (2) равен 18/й, где ! г т(г — У) Я(г, г', С) = - тв С = 2 2С является делсмеисч лля свободной классической частицы, лвижушейся нз точки г' при С = 0 в точку г в момент времени С; ее скора«ть при этом равна г- У/С, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
