Galitskii-1 (1185111), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2) Система трансляционно инвариантна в аидом нааравлении, параллельном плоскости л, у, созааюшей внешнее пале, имеет азимутэльиую симметрию относительно любой аси г, перпендикулярной плоскости *, у, и зеркальную симметрию относительно этой плоскости; соответственно У.„„= ~ У,((г„(). Интегралы движения: Е, Р„Р, Ьо Ь 3) Система имеет цыпральную симметрию; интегралы движения: Е, Ь, Ь 4) Система аблыыег аксиальнай симметрией относительно оси, проходящей через точки — источники внешнего поля; У, = ЯУ„(р„, г„) и интегралами движения являются Е, Ь,, В алучас, когда точки несут одинаковый заряд, имеем мг У, = У„(р„)г„() и поэтому сохраняет также и чстность Ь 5) Если направление сил, аейсгвующих на частицы, зависит от времени, то никаких интегралов движения у системы нет.
Если же ат времени зависят только величины снл (но нс их направление, общее лля всех частиц системм), то, выбрав ось з ахала этого направаенив, имеем У.„= - )' Р„(з).„ и интегралы двюксния Р, Рг, Ь, (а при Р„(г) = аопгг также и интеграл энергии Е). 6) Система аблалщт аксиальиай симметрией относительно оси г, направленной аешь провпаа, и трансляционно инвариантна в этом направлении, так что У = 2'У„(р„), и интеграламн движения являются Е, Р„Ъ„У (сохранение четности! отрекает зеркальную симметрию относительно плоскаати, перпендикулярной оси г). 7) Ось винта — ось *, шаг винта — а, угол поворота вокруг оси — Е.
Функция У,„,.=) У.(р..г.,р.) инвариантна относительно преобразования е„-«п„а ба, г„г„.ь а би/2х при фиксированных значениях р„: при этом бУ, „= О. Это означает, что оператор У,, а потому 'гГ Плоскость г = 0 лрсхадхт через сер«лину отгона, сасдипающсга тачки. Глава б. Изменение состояния до бремени и гамнльтониан Ы, коммугирует с оператором (.)() Следовательно, инте»валом движения является комбинапия аР, Б,+ —, 2я'Л ' а также, в силу ОУ„„ /дг = О, и энергия Е. 6,16. Для частицы со олином з = 1/2, взаимодействие которой с внешним полем имеет вид'" о) й = (/е(г)+и»(г)(о()1 б) й =(/е(г)+(/,( )(ог)/г, указать интегралы движения и спим-угловую зависимость волновых функций стационарных состояний.
Решение. В обоих случаях инте»ралами движения являются: энергия Е, проекции полного момента ) = 1+ з и соответственно )з, а в случае а) также четкость:Г и 1'. Так как с.ф. п»мильтониана можно выбрать также и с.ф. коммутирующих с ним и друг с прутом операторов, то, очевидно, в.ф. стационарных состояний в случае а) имеют вид рзн»зь = у(г)ф»»».»»,» где Ф», — известные спин угловые в ф. частицы со сиплом з = 1/2, см.
5 24, 1ь» = ) Э 1/2; при этом у = (-1)ц», в у, Ш. сводится к одномерному уравнению для функции у(г). В случае б) в.ф. стационарных состояний имеют вид флш = Х»(г)ф»»»„+ Ь(г)О»»»»„ а у. Ш. сводится к системе двух линейных днффсренпивльннх уравнений длв функпий Д н /и сравнить с 12.5. 6217. Показать, что еслиЯ и Хз — интегралы движения некоторой системы, то у, = (/»Х»+ Х»Х») и у» =1(Х»Х» — Х»Х») также являются интегралами движения.
Для иллюстрации результата указать еще один механический интеграл движения для системы, у которой сохраняются л) Р, и .7,; 6) Уз и зз1 объяснить полученный результат, исходя из свойств симметрии рассматриваемой системы. Рев»мше. Из условий бу»,»/ЯГ = О слелуст б(У~К)/бз = О и б(/»/»)/Ег = О, твк что /»»» и /»/», как и указанные в условии задачи зрнитовы комбинапии этих операторов (если У»,»вЂ” эрмитовы), являются интсграеамн лвижеиия, е) Так как Рз — — »(Р,Х, — ХР,), см. (1П.2), то из сохранения Р, и У„автоматически слеаует сохранение и Р .
Это легко объяснить, Действительно, сохранение Р, означает, что система облышет трансляционноЯ ннвариантностью вдаль оси *, а сохранение У, свидетельствует о ее аксизльной симметрии относительно осн з. Наличие этих симметрий автоматически влечет за собоЯ и трансляционную симметрию моль оси у (и в плоскости *, у вообще) б) Ннтегралом движения является глюке и Х = -1(ХХ - Х»Хг).
Сохранение 2, и зт свидетельствуют об аксиальиоЯ симметрии системы относительно осей з и у, что, в свою очередь, автоматически приышит к аномальная симметрии также и относительно любоЯ лругой оси, имеюшеЯ общую точку пересечения с укаэанными осями, и тем самым означает наличие у системы пентральной симметрии. »»» См. также зничг»2.5. 5 3. Унитарные лреобраэодонил, эабислщие от Времени 6.16, Показать, что для частицы в однородном поле оператор 6 = р — Гс( является оператором сохраняющейся величины (Гэ — сила, действующая на частицу). Сравнить с результатом классической механики.
Решение. Учитывая, Ото Й = рч/2т — Гэг, находим 4 В - г г яг рг й ' й -С = — С+ — [Н,С] = — Гэ — — [(Г„г), р] м О, так что срслнсс значение С = р(6 — Гэ! = сошг. Это является естественным квантовомсханнчсским обобщением результата классической механики, согласно которой при двюкснии в однородном поле вектор рз = р(!) — Гэ! (так как т(!) = т(О) + Гэт/ш) валяется интегралом движения н равен импульсу частицы при!=О. 6 Э. Унитарные преобразования, зависящие от времени. Гейзенберговсиое представление 6.16. Доказать соотношение слВс = В+ — [А, В) + — [А, [А, ВЦ +... Решение. Ввслсм сначала оператор У(Л) = с""Вс "". Дифференцирование сто по параметру Л дает — =Ась"Вс "-с" ВАс" = с "[А,В] с АЛ диалогично находим производные второго и более высоких порядков: ~у(л) =сит [А, [А, В]] х с "", и т.д.
Воспользовавшись теперь разложением в рял Тейлора, приходим к искомому соотношению; с"Вс "му(Л= !) = А —, — „= В+ — [А,В].!.— [А (А В]].!. 6.20. Длл укаэанных ниже систем: а) свободной частицы, 6) частицы в однородном поле, Н = -Гсх; б) линейного гармонического осциллптора— найти гейзенберговскне операторы координаты и импульса следующими способами: 1) используя унитарное преобразование, связывающее шредннгеровское и гейзен- бергоаское представления и 2) непосредственным решением уравнений движения для гейэенберговских операторов. Решение. !) Вид шйзснбсрговских операторов координаты и импульса согласно (Ч!В) легко установить, есин воспользоваться результатом прслылушей эаэачн. При определении жс липа этих операторов вторым способом слслуст учесть. что нз-за линейности системы уравне- ний (в данной заэачс) сс можно решать так жс, как лля обычных, нсопсраторных функций, так как при этом нс вознкквст осложнений, связанных с нскоммуштивностью операторов.
Приведем ответ: а) лля свобоаной частицы ! х(г) =э+ — р, р(г) =р; гн Глава 6. Изменение состояния бо бремени 152 б) лля частнны в однородном поле С Рогг Р,С *(С) =с+ Р+ 2 Ргг) =Р+ гн 2яг гн в) для линейного осннллятора «(С) = х сотне+ — мпиС, РСС) = рсооиг — гнибелиг. лти Здесь х, Р— обычные шрсдннгсровскне операторы, с которыми, геЯзенбсрговскне операторы совпадают прн С = О. 2) Покажем, как определятся внс гсЯзенберговскмх операторов нз уравнениЯ лвнження на примере осннллятора.
Для него Р'(Ц Лйг(С) Й= —.2.— 22н 2 с учетом значения коммттатора [Ргс), х(с)] = -сл уравнения денження прнннмаюг вкд р(С) йб(С) — = — [Су,в(С)] = —, — = -[Й,р(С)] = -ЛР(С). ей Л яг ' 2д Л Решение зтоЯ снстемьо уравнениЯ дает (и =,,/Л(т): р(С) = С, созиг+Стнпиг, Ргг) = -щи[С, мпиг — Ст стиг], а нэ условия совлалсння прн С = О гейзснберговскнх н шрсдннсгеровсклх операторов сяслует С2 = е, С, = Р!лги.
Ф(х) = Аехр С( —— ( орех (х — хо)2 ) '( Л 2аг Решение. Врсменнйя зависимость срелннх значсннй физических велнчнн полностью определяется эавнснмостью от врсменн соответствующих гсйзснбсрговскнх операторов. Учктыем значения следуюшнх срслннх в рассматриваемом состоялнн: г 2 *о * *'Г Р Ро Р -Ро+ 2 ' ' 2аг' нэходнм, вослользоваашнсь рсзухьтвтамн нз б.202 а) дэя свободной частицы — — Рог — — а / ЛС т — Л т/ 2 х(2) = В(С) = х, Ч- —, р(С) = Р„(гзх(С))2 = — [ С+ — ), (Лр(С))2 = —; т' т") 2а2' 6) для частнны э однородном поле — Рог Рог — Рог *(С) = *о+ — + — Р(С) = р2+ —, т 2т' гн' хр+ рх = 2хоро — а г ЛС т — Л 2/ 22т 2 (дх(С))2 = — [ Г + — 1, (др(С))2 =— 2 [, тга')' 2ат е) длл осцнллятора Ро х(С) = хо созиг+ — зпиз, Р(С) = Ро созиг -ггшглонпиС, тг 2 2 2 2 ° а г 2 2 Л 2 лтиа ° 2 (Сьв(с)) = — [соз ис+ — ма ис), (сьр(с))2 = — [соэ ис+ зол ис).
2 [, тзита' 2ат [, Лз Обратим еннманне на то, что лля осннлляторв прн значсннн а' = Лгти лнсперснн как коордннкгы, так н нмпульса в рассматрнваемам состаяннн не эавнсят от еремснн, 6.21. Используя гейзенберговскне операторы коордннаты н импульса, найти следу- ющне средние: х(с), Р(с), (сзх(с))2, (22р(с))2 для указанных в предыдущей задаче систем, находящихся в состоянии с волновой функцией 0 3. Унотарньш яре образобониц задисящие от Времени !$3 а их произведение принимает минимально возможное значение, определяемое соотношением неопределенности гзз гьр = й/2.
такие состояния ссциллятора называют хегеренмными, см. в связи с этим также 10.! 5. В шключсние отметим, что вычисление искомых средних значений в шредингеровском представлении существенно более трудоемко, сравнить с решением задачи 6.2. 6.22. Исходя из уравнений движения для гейзенберговских операторов, показать, что [р,(!), яь(!)! = -гйбгто Рщиеиие. Используя уравнения двкксния (тдд) для гейзенбсрговских операторов, нетрудно найти, что 4 [зТ,(!),*.(!)! =О, т.е. значение коммутатора не зависит от времени, н так как при ! = 0 оно !швиц -гдб з, то тем самым доказывается совместность коммутационных соотношений с уравнениями движения. Решеиее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
