Galitskii-1 (1185111), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Используя аид гейзенберговских операторов координаты и импульса, устава»ленный в задаче 6.20, находим е) [!Тг!), В(!')] = -01; б) [0(!),з(1')] = -И; в) [Я!),з(!')] = -Исгиы(à — !') соответственно лля свободной частицы, частицы в однородном поле и осциллятора. Равенство нулю коммутатора е) для сспиллягора при значениях г — гг = «(и+!/2) /ы (и — целое) имеет следующий смысл. Пусть в момент времени ! = 0 состояние ссциллятора характеризуется малым значением дисперсии координаты (в пределе йз 0), так что координата имеет (почти) определенное значение.
Тогда а моменты времени !' = «(н + 1/2) /ы уже импульс имеет (почги) определенное значение (сравнить с рсзулыатом нз 1 30 н выражениями дзя дисперсии координаты и импульса осшшлятора из 6.21). 6.24. Частица (опнсыеаемая некоторым нормированным волновым пакетом) ншсодится в однородном, переменном во времени лоле, причем сила Р(!) 0 при ! -г жоз. Найти изменение среднего значения энергии частицы, вызванное действием поля. Сравнить с результатом классической механики. Ршиелие. Взаимодействие частицы с полем описмваешя вмражснкем О = -Г(!Пг !).
При 4Й!) г — = -* [й,6(!)] = г(!). гй й Отсюда следует (аналогично югсссвчегхцчу случаю) У Так как при 1 жоо гэмильтониан частишя имеет вид Й(есо) = —, 6'(еоо) 2т то согласно (1) пол!чаем Ю 2 1 ! (г е(есо) = 6(-~) + — р(-~) / Г(!) «й+ — ~ / р(!) яг~ . т / гт 1/ (2) 6.23. Найти значение ераэновремениого» коммутатора [Я!), й((г)] для указанных в 6.20 систем. Глава б. Идменение состояния Во Времени Это соотношение, как и (1), по пнау аналогичгю классическому, которое получается из (2) заменод квантоаомеханнчсских средних величин их оммделенннмн классическими значениями, при этом, естественно„Ж( — оо) = рз(-оэ)/2т. Если жс рассматривать статистически» ансамбль классических частиц с некоторым распределением по импульсам, то для средних уже в классическом смысле значения будет непосредственно применимо соотношение (2).
Решение. Используя ге»зенбсргопские операторы запишем тмнльтониан рассматриваемой системы в виде й(Г) =А Г(б'(Г)б(Г)+ -~ - )( — Р(Г)(е(Г)+а (С)). 2) 2 пни Уравнения движения для этих операторов Р(г) -+, -, . Р(г) а(Г) = -(м(Г),я(Г)1 = -гып(Г)+ и, е (Г) = гыб"(Г) — г (2) Я ' з/2 Ю« ' /2тбы позволяпгг сразу на»ги их временную зависимость Ф б(г) = е (й„+ ~ )г(г')е г ВГ) Отсюда при Г жоо имеем е(Г) = е 'е,„ п(г) = е ~бг, при Г -со, аг = он+а при Г +со. (4) Здесь а = / Р(Г)е 'гб. 2..ы/' Лая гзмнпьтоггиана системы получаем Н(-оо) Ш /2,„= Яы ('гя"„'а,„+ -), 2) /г(+со) =Ям (а/ег+ -) . 2/ (5) Не зааисящи» от времени е ге»зснберговском представлении вектор состояния (Р) рассматриваемой системы опргделнеюя тем условием, что при Г -оо ссциллягор иыюдится в основном состоянии, т.
с. пля него Й,. (Ф) = (Ды/2) (Ф) . Согласно (5), это состояние является чвакуумным по отношению к операторам а,„, и,„, т.е. )Ф) ы (О,!и), причем й,„(О, Ш) = О. ' ~ Оператор е' (Г) яоэучэгтся эрмитовым сопряжением е(Г). Н» зээнсимиа ог «ренснн оператор е играет роль начального условия, при этом дзя него япогне Емтынпеянско состнпнсннс (е,„, а,"„) .—. 1. $.25. На лннеиный осциллятор, находящийся при ( -оо в основном отстоянии, действует внешняя сила й(з), причем й'(() О прн ( жсо. Найти вероятности аозбркдения различных стационарных состояний осциллятора н среднее значение его энергии при г -г +оо.
Дпя решения задачи воспользоваться гейзенбергоескнм представлением н исходить из уравнений движения для оператороВ рохсденил и уничтожения а "((), а((). б 3. Унитарные преоброзобония, забисящие от фоемени 1бб (7) 6и26. Найти унитарный оператор, соответствующий лреоброзовонию Галилея, т.е. переходу в новую инерциальную системы отсчета.
Убедиться в инвариантности урав- нения Шредингера относительно атого преобразования. Как прм этом преобразуется волновал функцид частицы в координатном и импульсном представлениях? Решение. Пусть система К' движется со скоростью У вдояь оси з относительно системы К, так чта * = з'+ УС, С = С'. Потенциальные энергии частишя в этих алагемах связаны соотношением и'(*',С') ю и'(з — Ш,С) = и(*,С).
Унитарный оператор'г' О, соответствующий преобразованию Галилея, находится из того условия, что если волновая функция Ф(*, С) удовлетворяет у. Ш. а системс К: вс — Ф(в,с) = ПО ю ( — р +и(е,с)~ Ф(а,с), ВС ' ~2ш (О то функция Ф'(з', с) = ОФ(*, С) должна являться решением у. Ш. в системе К' (и наоборот): СЛ вЂ” Ф'(',С) =О'Уш [ — '(р')'Еи'(е',С)1 Ф'(а',С). ВС ' (2лг (2) нс Нс аумть с шгмиккюьнаа эисагиса и(а,г); ии ацмилчюлсь зля краткости макса случаем сака исрнага лаижсная.
Стационарные состояния осашшятора при с +оо описываются векторами состояний с )н, С) = — (аг) (О, Г), тГйс так что коэффиниентм в разложении (О, ш) = 2, с,(п, Г), определяют искомыс вероятности переходов осциллятора ш(0 ч н) = )с„('. Подействааав на обе части приведенного разложения оператором а,„и учтя его связь (4) с а„, а также соотношение аг(н,С)=и ( — С,Г), приходим к рекуррснтному соотношению сь = (а/т/й)сь и Иэ него глшую. что с, = (еь/ъсй! )се, При этом условие нормировки (0,)п)0,)п) =) (с„)г= С лает )сь(' = ехр (-)а)'), и лля вероятностей перехода получаем м(0 -г н) = — е )а1м мт (6) и! (рссерсделенис Пуассона). Воспользовавшись значением й = (о)г, находим Е(+оэ) = Ли (й+ -уС = Ли ()о) + -) .
2) т, 2) Укажем способ вычисления Е(+со), нс требующий расчета вероятностей перехода осцшиштора. Согласно (4), (5), имеем Й(+оа) = Е,„+ Лш ()а)г + аа~ + а'а,„). Соответстшнно, если при с -г -со оснналятор находился в своем Л-м квантоыш состоянии, т е. (Ф) ш )Сг Сл) (прн этом (Ф)а„) Ф) = (Ф(а,'„) Ф) = 0), то Е(+оа) = Е( — оо) ели(о)~, Е(-оо) =Ли (Л+ -1 2/ (заметим, что среднее значение приобретаемой осциллятором энергии, равное Ли~о(г, не со- держит постоянной Планка и совпадает с результатом классической механики, см.
(2б)) Глава 6. Изменение состояния до Времени Твк как обе функции Ф, Ф' описывают одно и та жс физическое состояние частицы (но по отношению к различным системам координат), то дшскно бить выполнено условие (Фз( .з С))З )Ф ( УС С)(з (Ф( С)(з (3) вмрзжающсе независимость от амбара системы координат плотности вероятности нзхоэшс пня частицы в данной точке пространства. Из (3) следует, что искомый оператор имеет зил О = ехр (зв(х,С)), где я(х,С) — естественная функция.
Подставив в уравнение (2) функцию Ф'(х', С) = схр (зд(х, С)) Ф(х, С) (4) и перейдя э нем к переменным х, С, получим д Л дз з ЛВЯ ФВФ зй — Ф(х,С) м - — — Ф(х,С)+СЛ ~- — — — У) — + дС ' 2тдхз ' 'Х тВх ) Вх зй ВЯ Л УВЯХС ВЯ ВЯ) +Цх,С)- — — + — ~ — ) +ЛУ вЂ” +Л вЂ” )Ф(х,С). 2т Вхз 2пз (зВх) дх ВС ~ Потребовав, чтобы это уравнение было тождественно (1), прикодим к сисшме уравнений Л ВЯ СЛ В'Я Л !ВЯ'з' ВЯ ВЯ вЂ” — +С =й, — — — + — ( — ) ФС вЂ” Ф вЂ” =О. т дх ' 2т дхз 2т З,вх) дх дс из первого нз них следует, что я =- -тухсл+ у(с), а второе позшышет найти у(с) н получить тУя тУ'С я(х Ц=- — ч-,— +С Л '2Л (несущественную постоянную С здесь можно опустить).
Найдем закон преобразования волновой функции частицм в импульсном представлении. Умножив (4) на Ф~(х') (с.ф. оператора импульса) и проинтегрировав по х' с учетом (5), получаем тт"С рШ ) Ф'(р, С) = ехр (-С вЂ” + з — у Ф(р,С), р = р'+ тИ 2Л Л )' (б) Отсюда следует естественное соотношение м'(р — тУ, С) = м(р, С) межау функциями рзспрелсленил по импульсам частицм в системах К' н К. (5) в1Р ! У е,'1з зв — = — (р- -А' Ф'+ер'Ф'. дС 2лзз, с / (2) 6.27. Найти унитарный оператор, соответствующий калибровочному преобразованию потенциалов электромагнитного поля. Убедиться в инвариантности уравнения Шре- дингера относительно этого преобразования.
Реизеиие. Пусть в. ф. Ф(г, С) являетса решением у. Ш. ВФ С Г е СЛ вЂ” = — ~Р— -А(г,С) Ф+еР(гзз)Ф, (!) дС 2лз1 с где А(г, С), р(г, С) — потенциалы внешнего электромагнитного поля. Иивариаитность у. Ш. относительно калибровочного преобразования потенциалов означает, что, если перейти к новым потенциалам з в А = А+ РУ(г, С), р = р — — У(г, С)з свс то должен существовать такой унитарный оператор О, что мшиовая функция Ф' = ОФ, описывающая то жс самое физическое состояние частицы, что н исхалная в.ф. Ф (но с другим выбором потенциалов), и поэтому удовлетворяющая соотношению (Ф'(гзС)(~ = (Ф(г,С)(', является решением уравнения Шрсаинтра ФЗ. Унитарные лреобролобоиил, зобнслцие от бремени 152 Ввцду неизменности плотности вероятности, искомый оператор должен иметь внд О = ехр (ззВ(г,С)), гле Я(г, С) — вещественная функция (сравннть с предыдущей задачей).
Подставка в.ф. вида Ф (г,С) =схр(зЯ(г,С))Ф(г,С) в уравнение (2) н потребовав, чтобы получмощесся уравнение совпадало с уравнением (!), приищнм к сОотношениям д В гдФВ(г, О = е ц у(г, С), гд — 3(г, С) = е — у(г, С). Ж ' М Отсюла накопим Я(г, С) = еу(гз С)/Лс+С, что я решает задачу (несущественную постоянную С злесь можно опустить). Очевидно, что лля системы заряжснньж частиц О=ехр( — ) с,/(г„С)~.
! дс 6.28. Как необходимо преобразовать оператор Гамильтона системы, чтобы прн зависящем явно от времени унитарном преобразовании уравнение Шредингера сохранило свой виду Сравнить с каноническими преобразованиями в классической механике. Решение. !) Прн Унитарных преобразованиях волновые функцнн и операторы преобразуются следующим образом: Ф-Ф'=ОФ, у-Р=Оу(г'. В частности, лля гамнльтоннана системы имеем Й' = ОЙО'. (О Выясним, какой внд прннн мает уравнение Шредингера при Унитарном преобразовании, звеневшем явно от времени.
Полсйсгаовав на обе части исходного у. Ш. оператором О(С), получаем ВФ б - убО~ СВΠ— ш Сл — (ОФ) - Сл ~ — ) Ф = ОЙФ. ВС ВС ~ ВС) Подставке сюяа Ф' = ОФ н учтя, что О'О = С, приходим к уравнению сл — = ~ййОз + зй( — ) О'~ Ф', предсивлающему уравнение Шредингера с звмильтоннмюм ~ ВС 1 з, ВС У (2) что н решает посгаввснную завачу (Й" — эрмнтов оператор). 2) Итак, прн зависящем от времени унитарном преобразованнк в соответствие гзмнльтоннану системы Й можно поставить лва оператора: Й' н Й". 2(хя понимания полученного результата н выяснения ралн этих операторов необходимо иметь в аиду следующее обстоятельство.
Гамнльтонивн системы играет, вообще говоря, двоякую роль: !) он определяет временную эволюцию волновой функции в соотвсттвнн с уравнением Шредингера н 2) в случае его независимости от времени он является интегралом движения, лрн этом его с.з. имеют непосрсаспмннмй физический сммся, определяя энергетический спектр системы. Если исходный гамильтоннап Й не зависит ст времени, то прн зависящем от времени уннгарком прсобриован ни отмеченные его роли распределяются межау операторам н Й" н Й'з оператор Йзз определяет временную эаояюцню волновой функции системы, а оператор Й' принимает на себя роль интеграла двнженкя (спектры с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
