Galitskii-1 (1185111), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Отсюда а)Д(2 Г (*-,С)'1,,/ Л'С' 2 )Ф(х,СК = — ехр ( — 2, а (С) = а ~1+ — ). а(С) 1 а(С) 3 '2 »а Г Выбрав (А)2 =(ка') и» дхв нормировки в.ф. на единицу, находим — о г ЛС »г 1», (С) = ~ )Ф(х,СИ Ях=и(С), (Дх(С))2 = — (1- — ). (4) 2 2 т»а4/ тьк как с(р) = ехр(-зр'1/2тл)с(р) является в.ф. в импульсном представлении, то с учетом (1) находим Л2 р(С) — / р)с(р С)) Вр рм (Др(С))2 =— (5) (независимость импульсных характеристик от времени связана с тем, что дяя свободной частицы импульс-интеграл движения).
Результаты (3)-(5) имеют простоЯ смысл: распределение ло координатам (3) — гауссовский пакет, центр которого х(с) перемещается со скоростью сь (равной р/т = в); при » йт интегралы е ванной задаче змчксхяютсл з бесконечных пвсяелах найти изменение состояния во времени и следующие средние: х(1), р(с), (Гьх(с))~, (»Лр(С))2 [см. также 6.2!). Показать, что ширина волнового пакета (»Лх(С))2 независимо от значений параметров, определяющих волновую функцию Фс(х), не может быть произвольно малой. 01. ПредстаВление Шрединэвро. Ддиженио Волнобшх локетоб 141 этом шприца пакета )/(С!о(С))э увеличивается (пакет расплываегся). Расплываиие пакета связаио а теи, что импульс (скороать) частицы ие имеет определеииого эиачсиия.
Ширина пакета уаеличигаеюя вдвое эв время Св ы т/Зтоэ/й. Приведем числовую сцепку Се в двух случаях. 1) Лля микроскопической частицы с массой гп = 10 х г (электрол) при а = !О э см (атомиые размеры) имеем Сэ 10 'э с. 2) Для малой, ио уме макроскопической частишя с т = 10 э г при а = 1О ' см находим Св 10о с 1О'в лет. Подчеркием, что особенно быстрое расплываиие пакета с перзоиачаяьио еуэкойэ локализацией Ьо(0) свяэаио с соотношением иеопрелелеииости Ьр Ьв > й (и так как расплываиие определяется исопределеииостью Сье скорости, то оио осабейио ярко проявляется при уменьшении массы частицы). Квк зиппо иэ (4), ширина пакета удовлетворяет соатиошеииям (Ьз(Ф))~ > (аэ/2, йг/т, Л Сэ/2гио ). Э Г СЕэС ) ° Е1 \ Ф(в, С) = схр С - — !саха(з) + / с(Е) ехр С - — эфв(в) ВЕ, (1) е где Ф (О) ш,/ШЕ"Ч1*, Еэ = — —, ХЕ =— й хе ииэ 2аэ ' йэ представляют в ф.
и эиергию сдииствеииого состояиия л с. в С яме, см. 2 7. Второе слагаемое в (1) — вклад иепрерывиого спектра — при С со обращается а нуль (сравиить а бд), так что )Ф(е,г = аа)! = !Огре(а)! = хе)ге(~е зч11. Выбрав А = т 9 дая иормировки з. ф, Фэ ив едииицу и вычислив /- .,/щЮ ге = / Фэ(о)'уе(о) Ия = 2 —, ко об (2) 6.3, Рассмотрим при С = 0 нормированный волновой пакет Ф(х,С=О)= / с(Е)фл(х)ЙЕ, / (Ф! Вх=!, составленный из собственных функций гамильтоииаиа, отвечающих непрерывной части энергетического спектра. Показать, что плотность вероятности нахождения частицы в любой точке при С - оо стремится к нулю. Почему это обстоятельство ие противо- речит сохранению нормировки волновой функции? Решение. В проиэзальиый момент времени эЕС 1 Ф(о,г) = / с(Е) ехр ( — — !Фв(а)ВЕ, л) (1) и убывание !Ф(*,С))э при С со представляется очевидным: ввиду быстрой осцилляции валмитегральиой фуикции (ее вешестзеииой и миямой частей) происходит вэаимиая компеи- сашег вкзалов соседних областей иитегрироваиия.
Убыааиие !Ф(е, С)!э озиачаст, что частица при С со уходит иа бескоиечио большее расстояиис. Это соответствует иифииитиому характеру движения в классической механикс. Отметим, что адиовремеиио с умсиьшеиисм пзотиасти вероятиоеги увеличивается ширииа пакет — ои расплывается, что и обеспечивает сохраиеиие пори правки в, ф, (в качестве иллюстрации см.
(3» из 6.2). 6.4. Состояние частицы в поле б-ямы (см. 2.7) при С = О описывается волковой функцией Фа(х) = А ехр (-Су!х!), Су > О. Какова еероятиость И"(х) Вх обнаружить частицу иа отрезке (х, х+ Вх) при С оо7 Найти значение интеграла ) Ср(х) дх и сравнить его с первоначальным зиачеиием. Объяснить получеииый результат. Решение. Разложив Фе(*) по с. ф, гамильтоииаеа, имеем О!.
Предстадление Шредингера. ДО«лиепае болкобмх лпкетоб 143 Подставив зто выражение и Фс из условия задачи в (Ч1.5) и вычислив получаюшийся и»неграх, находим ( ( гц!'3' гй!(х+,)' Ф(х,г) = А »паз+Од ( ( 2(1+Лз!з/шза«)ат ~ 3 ш у »пот ехр а+хс — + + 2»Р»а'(х+ хе) «Рзса'! 2«Рсха(аз е лг!'/лг'аг) ! 1 + Л пд Л вЂ” акр ((х -х)) , (1) где ехр((х -х)) означает вырхкенис, получающееся из первого экспоненциального слагаемого заменой а нен х нз -х. В.ф.(1) представляет собой суперпозицию двух волновых пакетов, первый из которых описывает падаюшие на стенку частным, а второй — отрюкеиные.
В начасьнме моменты времени в (1) наиболее существенным яапястса первое слашемое, а при ! > пзхс/рз в случае' ! рс >) Л/а, наобогют, ломинируюшим является второе слагаемое. 6.7. Рассмотреть отражение волнового пакета от потенциальной ступеньки вида У(х) = (/с ) О при х > О и (/(х) = О при х < О (рис. 9), считая, что падаю«ций слева на барьер пакет включает с одинаковой амплитудой импульсы иэ интервала рв х г)«р с 13р < ра и Ее < (/а. Найти баамл задержки в процессе отражения от барьера по сравнению со случаем классической частицы.
ршиеиие. Сначала рассмотрим норнированиый на единицу волновой пакет лля свободной частицы, в котором представлены с одинаковой амплитулой импульсы р = ЛЛ нз интервала (Ле — ис, Лс + ке); Ф с(х, !) = — ( ехР ) !(Лс + к)х — — (Лс Е к) ! 1 Г дн г) Ии /2 —. / 2ш При значении кс < Ле н лля монеитов времени таких, что (Ц < Т = пз/Лксз, в показателе экспоненты можно опустить член сс и' и найти /а ( «Лйс! ) лп ((х — ес!)/а) Ф с(х, !) )( ехр (тйсх ) (2) х 2п» ) х — ес! здесь ес = Лйс/ш, а = 1/ис. Согласно (2), (Ф с(х,1)(т описывает волновой пакет, центр которого движется со скоростью ез (нахшшсь а точке х = О при ! = О); ширина пакета «Лх = (х — ес!! - а, причем он не расплывается (в течение лишь рассматриваемого времени1). Перехшш к рассмотрению отражения пакета от «ступеньки», приведем с.ф.
гамизьтоннанадля В =В'Лз/2гн при * < О: Ф (х) = — (е — е»1 е ), (3) где Гв р(Л) = 2агсвэ «!в )/ т/с-В ( и».ч- (- тцс,:Ш«! * г теперь нз функций (3) волновой пакет Ф(х, !) таким же образом, как и в (1). В результате !Отметим, что именно в спчзс рс > Л/а и нмсст сммсл хзрзкмризозать исходный волновой пакет как описывающий пзлаюш)ю на стоику смцшу. В прошеном случзе (прч рс < Л/а) уже в исходном состоянии частица с заметкой вероятностно ( !) кисет огрнцстссьнсс значение импульса (срззиить с !.31), как и отражсиная частица; саагссмтзспио, хзрактсризовзгь перми ссагзсмсс в (1), как отесчвюшсс паж юшнм и а стоику чзсткцсм, буквзхьна лце~спа смысзз. Отмеченное рзззнчис мсзшу сзу«аями ус > Л/с и уе < Л/а проявляется в том.
по паи рг < Л/а лсрзсс атзшсмес з Рд нс является пренебрежимо мелим «ю сравнению со еюрым лзжс при 1 со. Глава б. Изменение состояния до бремени 6.8. Рассмотреть процесс отршкения частицы короткодейстаующим потенциалом (/(х). Состояние движущейся в область действия потенциала частицы описывается нормированным на единицу волновым пакетом. Считая для определенности, что в этом пакете с одинаковой вилли!удой представлены импульсы частицы из интервала раж />р, выяснить, при каких ограничениях на />р значения коэффициентов отражения и прохождения не зависят от его величины и определяются обычными выражениями стационарной теории, см.(0.4). Решение. С ф.
гамильтаниана, соответствующие падающим слева частипаи, вне области действия патенпнала имеют внд †(е"* + А(В)е "*), я < -А, >/уте ы — В(д)е х>4, >/Охе тле й = )/2шВ/й, 4 — радиус лействи я патен пиала так что можно считать У = 0 при ! в] > А. Рассмотрим иормироеанимя на ! волновой пакет (сравнить с предыдущая зааачей) />Л! >)4 Ф(*,!) =/! ФМ (е)ехР ! — — (Ле+х) > —. '( 2 )'л-.
(2) ""ь При значениях кз « йе, причем настолько мзлмх, что можно считать А(вз ж М>) м А(йз) и В(йз ф хе) ш В(вз), > Очсзнлнас зизчснхс фзэм а(е, !) и» нс указываем. > пан этом г бз/зз. гы зе л/>/ы(из — лВее) )— аасстахннс, на казарес проникает чвстииа вглубь барьера. в. ф, частицы (уже с учтем нахичия потснпиахьной ступеньки) при е < 0 запишется в зиле Ф(я,!)ыФ (е,!)+Ф, (е,!).
(4) Здесь Ԅ— часть пакета, связанная с псраь>м слагаемым в (3), совпадает с (!) и (2) и описывает частицу, движущуюся к барьеру; она отлична ат нуля (напомним: в < О) лишь при ! Е а/и„пока весь падающий пакет нс достнгмт ступеньки. Вторая часть пакета, Ф,, соответствует частное, отраженной ат ступеньки (она 4ыктичсски отлична ог нуля лишь при ! > 0). Если прн инте>рировании по к пренсб>ючь изменением фазы р(д) отраженной валим, т.с.
положить р(й) ы р(й,), то для Ф, придем к явному выражению, получающемуся из (2) заменой а на -е и умножением на -е'г>м>. В этом приближении эффект эадгрлгхи частины при отрюкснии отсутствует. Лля ушчнсния результата выполним разложение: р(йз + и) м р(ьз) + р (во)х, теперь получасы'> а,„>„з>п [(я — р'(Вз) + из!)/а] Ф сепг> (5) — р'(дз)+ и! -- Г"'л Отвыла следует выражение для времени задержки (В = р'/2пз) т= — = р'(й,) л (б) а>ч -Ю Так кзк т > О, то ори отражении часпщ ат барьера действительно происходит их змыржка. Это можно понять.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
