Galitskii-1 (1185111), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3) Наконец, из соотношения 1= (Фп) Ф) = / Х'(Уп)(Т+ — ~1(Ув)Хдй =4яХ'-Х 2/ 2 слсвуст, что векюр полного момента в рассматриваемом состоянии точно такой же, как и вектор спина е состоянии со спинозой функцией Х. Соответственно, выбрав т/вяях авиле (О) и ( ), получимнормированныефункпиир р састояннйсу, =+1/2 н -1/2;твк Ф-'/"="='/'= ~-~" (,О/= „-( О "/ М4 х / Ч4т(,ш где О н Р— лояярный н азимутальный углы вектора и.
Аналогично можно найти спин- угловую функцию состояния с 3, = -1/2; сравнить полученные результаты с 5.24. ои.22. Провести анализ состояний частицы со спинам з = 1/2, спин-угловая зависимость волновых функций которых имеет вид Фе — — (!ж Уп)Х [спинор Х не зависит от а), по значениям следующих квантовых чисел: 3, 1, 1 (четность), а также Л вЂ” с.
з. оператора Л = Уп/2 — проекции спина на направление вектора п (при этом, если л = р/р, т. е. используется импульсное представление, то Л является спиральностью). Как функции Фь преобразуются при инверсии координат? Решение. Привеаенные в.ф. являются суперпознциямн функций з,/т-состояния Х и риысостояния (Уп)Х (см. 5.21) и поэтому отвечают определенному значению 3 = !/2 полного момента. Орбитальный же момент !, как и четнасть, не имеет определенного значение. Имея з вину олннаковую нормировку указанных выше функций, заключаем, что ! с одинаковой вероятиастью !/2 может принимать два возможных значения: О и 1, 3(злее, замечаем, что ЛФе = жйь/2 (тзк что проекция апина на направление векюра а имеет определенное значение, Равное, соответственно. ш//2).
ПРн инвеРсни каоРлинвт фУнкнин Фе взаимно переходят аруг в друга. 5.23. Для частицы со спинам е = 1/2 показать, что спин-угловая волновая функция вида Ф = (2(сп) + з[сп]У]Х, где вектор с н спинор Х = ( О ) от вектора и = г/г не зависят, описывает рз/з-сосюяние. При каком конкретном выборе с и Х указанная функция описывает руз-состоянне с определенным значением [3, = ш1/2, ж3/2) проекции полного момента на ось л7 решение. Рассмотрим спин-угловую в. ф.
состояние а 1 = 1: Ф, ~ = (сп)Х, где с н Х уже не зависят от л, сравнить с 3.42. Зтв функция не агщчэег, вообще говоря, определенному значению 3, а представляет суперпазнцню состояний с 3' = 1/2 н 3 = 3/2. Чтобы мыслить из нес часть, соответствующую 3 = 3/2, васполыуемая проекционным оператором 1 ~ нт = -(2+ТУ), т т/ В связи с прнэсеенвнм знзченнен коммутзтарз сн. текле 3.5 н 3.3З. б 2. Спин-орбитальные состояния частицы со спинам в = 1/2 127 сравнить>1 с 3.36. Легко находим 1 Ф»;П = Р> «М Фин = -с [2в + >[по)) Х 3 в согласии с условием зааачи.
Читателю предлагается самостоятельно нормировать в.ф. и убедиться в там, чта она артагональна в.ф. Р,г>-состояния из 5.21. Отметим, что число независимых функций Ф,, равно 6 (три независимых способа выбора вектора с и два— спннора Х); независимых же функпий вида (1) лишь 4, так квк они получвютая исключением из Фна двух независимых функций п, атвсчаюшик 2' = 1/2. 711 Функция Ф,, прн выборе с = (0,0,1) и Х = ! О) описывает состояние с 1, = 0 (см. 3.1$), в, = 1/2 и, соответственно, с 2, = 1/2; прм агам 2 не имеет определенного значения. Функция же (1) для таких с и Х имеет внл 1 / 2сазр 3 [, -с'гюпр/> и описывает сгмтовмие с 2 = 3/2, 1 = 1 и 2, = 1/2 (так как Р> комму>пруст с операторами !> и 2'„то с.ф.
последних и последейсгвия Р, остаются их с.ф.), Аналогично можно найти в. ф, и других р>Г>-состоямий. Так, выбрав с = (1,>,0) и Х = (0), полгчим Ф>гдьи> и т.д; сравнить с результатом 5.24. 71х 5.24. Для частицы со спинам в = 1/2 майтн спин-угловые волновые функции Ф > состояний с определенными значениями 1, 2, и 2 = ! ж !/2 (!,3 — орбитальный и полный моменты). Задачу предлагается решить следующими двумя способами, не прибегая к коэффициентами Клебша — Горланю 1) используя проекционные операторы Р;; 2) используя повышающие (понижающме) операторы,1а.
Решение. !) Рассмотрим спин-угловую функнию вида Ф ( ' ' ), описывающую г Р (Р, р) 0 состояние частицы с определенными значениями !, т, з, = 1/2 и 2, = т+ 1/2. Она не является с ф, )>, а представляет супсрпознпию состояний с 2 = !я 1/2 (кроме случая т = 1, когда 2 = 1+ 1/2). Подсйсюовав на зту функцию праскинонным аператоромм! Р, для состояния с зхааннмм 2 1 / ! ! Р»=ь>1> = — 1+ — д — ж о! 22+1~ 2 2 н у'пя са>пноюсния, вналогичнмс (П1.8): У! = 2Гз'= 21,з, +1 з-+! Р, 2.Ф>, = (/-2.)(2+2*+ !) Ф> ..., >- а.=тгь.ц>ь-~.+ ° ....,. >1 Ом. также 5 24. >! Заметим, что Фунхнмю (!) можно записать в виве Ф' >Г, = ву, глс спин векюриав величина тн = (ъ-1(сй))х . такой сиии-аскюр глаалстворяш лапалнмтгльиаиу усвавню а т = О, соатвсмтвуююсму мсквючсмню се>таяний с 7 =.
1/2 (сравнить с 5 27). 'П Внд катарам> схсдтст мз! 35, сеян учесть пр» моч гаюхе 3.27. Глава 5. Спин легко находим явный вив искамык функпий: 1 /т/!+аз+! Уы ~ Фмихсн..,и, м СЯ„„Ф ш тгхг+ ! (, и~ — К „ /' (2) / ,/1: ») Ф, иьь„,и,мсье и,фм= ~~ тг21+ ! 'ч -йгт ю+ ! Ус м / где козффияиенты Сьл выбраны из условия нормировки в.ф. на единипу. Из (2) виана ортогональное!ь фунюгий: (Л,1,3»)уп1,3.)мэ, гле уьгш!Я1/2. 2) Очевиано Фыр,ьгмл = !х ). Падейсгвовав на эту функцию оператором 3", где /Уг~т (о l' и=1+1/2 — у„получим Фгьих,„. Учитывая, что у ш1 +з, е =О, и поэтому 3" =1 "+пг" 'г, а также соотношения (1), приходим к у:ке немотной из (2) функпии /Ув~ 1 / /Гч ю+1У мих г, хит = Су- ! 23+1 Ч 1 гя Хчм l 5.2$. Показать, что функции Ф г,„рассмотренные в предыдущей задаче, связаны соотношением ! г г Р Фд,т.
= (Фп)Ф/ггдг 1! т =уж — (н= — или -). г 'ч р' Найти спин-угловую зависимость эолиовык функций Ф ",х (в импульсном представлении) состояний частицы с определенными значениями 3, 3'. и спиральности Л. Решение, 1) Утверждение задачи можно проверить непосредственным вычислением, но щющс его подтвердить слелующим рассужлениеы, основанным на коммутативнасти операторов и! 3, и (Фп) и псевдоскаяярном харахтере последнего.
т т Пусть Фю, — с. ф, операторов 3, 1, у„причем !т = / — 1/2. Эта функпия имеет определенную чегносгь, равную ут —— (- !)". Рассмотрим теперь функпию Ф = (йи)Фюги Для нее легко находим 3,Ф = 3,(рв)фхн, = (йв)у,й,ьь = 3,(юн)Фюь = 3,Ф, 3 Ф=з(рн)ела, =(а))зряь =3(/+!)Ф, /Ф т(р,)Ф (Ф ф» ( !У мФ Отаюда следует, чта Ф также является с.ф.
операторов 3), 3„Т, причем чстнасть се противоположна четности в.ф. Ф,чн. Твк как прн данном 3 возможны лишь два значения 1, равные !ьт = 3 ж 1/2, а четность сосювння равна (-!)', то Ф отвечает значению 1, = 3+ !/2. Таким айрвюм, функ пня Ф является с ф аоерэторав 3 ', 1, 3., тек чта Фюн ы Ф = (Фи) Ф!ьл . Отметим, что после усреднения по спнновому состоянию частицы возийкаст соотноюенйе (Ф 3 Ф> = <Фнп, 1(эн)'! Фнп,> = (Флн, 3 Ф,ьь>, выражающее одинаковый характер угловык распределений (по направлениям а) в состояниях с в.ф.
Ф„п, и Ф,гм,. и! Сравнить с 3.5 н 3.2Э. й 2. Спин-орбитальные состояния чосгппцы со спелом э = 17'2 !29 2) Теперь легко сообразить, что 1 Ф>п,».ь>л = ~ (1+(Па))йлп, >/2 и, учтя явный вид функний Ф,щ ит предыдущей эадачи, найти Фп„» >пш>(( — ! т/Г+т+1соа(-) )шьем — щ»1п(-) с м!ь ь>)1 )> 21+1 ( ~2у сыэ>п (-) 2 Ф „» >и- ~т>7>4 я+1»>п( ) > >>Г щсоэ( )с и>, >) -е'г сот (-) ~2) где т = 7', — 172, при этом спиновая часп в. ф.
такая ме, как в (Че) и 5.3. Фьл ~ р(, )рщ (2) где спинор р,".э являегса с.ф. оператора э,. Эти спиноры, отвечающие раыичным значени- ям э„имеют вид (3) (сравнить с 5.10), компоненты спннора бэ равны б,' = б> = 1, б,' = б> = О. Иэ(2), (3) следует Р = Р(!) Р = Р(-!) Ф = Р = — Р(0). 2 (4) 'П Д»я решения ээдач 5 2б и 5 77 на»а энэгь с»ноем спи нор>юа алгебры и связь »с инорсв с ми>орами, см. $56, 57 а (>!. при эгсм ам»уст различать ко- и контраырнэнтныс слинсримс «омпенснтм. Ссогссгствснно сбмчнмс матрасы П»улн (Ч. 2) теперь надо писать нс в виде (э,) Л, в»вк п,,>'.
>всеь» яв»ястся векторным, а а н Р контра- н кевврнантннми слинорнммн июмксамн; обратите внимание нэ поршюк расположения таки» нилскссв т матрин Паули. В 5.24 н 5.27 секторные индексы и»сорэ»лютея »»танскими бу»вами, слинеримс — пмчсскнмн.
и> Обрвтим внимание на лэс»»на смысл переменное э» в ссопюшснни (2): как эрцшснт в.ф. Р(э,) сна ммсст смысл псрем»ниса э,-представления, в в слтчэс глинорэ р,, яв»ясгся с. з. оператора э„. 5»» 5.2ем. Частицу со спином э = ! можно описывать как симметричным спииоромп> второго ранга фсд(г) (спииорное представление), так и векторной функцией У(г) (векторное представление). Указать: 1) вид оператора спина в этих представленилк. 2) связь этих волновых функций с волновой функцией ф(г, >г) в в,-представлеиии, 3) явный еид рассматрмеаемых волновых функций для состояния частицы с ор- битальным моментом 1 = ! и полным у = О, Яешелое. 1) Для э = ! описание спиновмх свойсп> частицы с помощью симметричного спинора Ф л аналогично рассмотрению состояний с суммарным олином ! в сисюме из двух спинов с э = 1/2, сравнить с 5 10, 5 11. Отсюда, по аналоп>н с соотношением В = (Э >+Э>)/2, сразу глелуст вид операторов компонент спина в спинорном прсаставлении: р*л — л р»" "л — ( ",бл+б, э ) ! (1) 2 Связь между в.ф.
р э в спинорном представлении и в.ф. Ф(а) в э,-представлении определяется соотношением га Глава б. Слон 2) Переходдля спина а = 1 к векторному представлению аналогичен лолходу, использованному а 3.44 в случае орбитального момента ! = 1. В этом представлении згУз ш еьнИ, зг,н = -!си. (5) Обобшенис соотношения (2) на векторное представление имеет вид У м ).'0(л)»,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
