Galitskii-1 (1185111), страница 27
Текст из файла (страница 27)
опрсасояющм н н. Р» уже не моэнт боль роаанзозана. В чзстнасгн, акэзыааотсс нмасюямяьнын мслелнраваннс мпснпааэом нуасзою радиуса сального коротюдойотвующсго латенниааа врн с)чвсстюэанпн нэ навык расстоянняк куэоновского взаннолсйстэня (ютя 4юрмуэа юорнн оазмуамний но к»нне рассеяная астосгса сарэведэнжж). ") Заметим, что график на рнс. 22 тмчаст значению ао > О, котла в н н.р. нноаюя уровень л.с. с энсРгаей Дф = -йтазо/2м, пРЯчем 1Вэ ! Ъ !ле)1 д~/мб~. ПРн наРтщеннн Углавнэ аод Ъ ) зноРпм уровня в в.н,р. такога жс порзлка аолнчнин, как н у иювнсй В э патснпнаэе О(т). Олнака в этом (о) случае одною уваеной всонки: сраапннм с расстоанисн мсжэу нимн, так чта вазинкаот трссмройса анснро (сн. 4.11 и 9.3); 4юрмуза (4) прн этом нсврнноннма.
зависят от конкретно~о вгща (/(г) я энергии Уровня ом ). Прн наличия п. н.р. Рвднаяьная -(о) функция, согласно 4.10, прн малых г ведет себя следующим образам '0): Л„(,) т Я(п(0) ~- — + 1+...] ! (!) аео' н сильно отличается от Я )(г) прн г 0 за счет члена щ 1/г.
Однако если )аоб) Ъ 1, то (о) прн г Ь функпна В (г) уже мапо атпнчаетсв от В()(г) (рлс. 22). Это означает, что в такой снгуацнн сдвиг уровня под влиянием п.н.р. мало), а в.ф. Я» н Ящ мало отлнчаютсн друг ат друга прн всех г > В (именно эта область вносит доминирующий Я"'(О> вклал в нормировочный интеграл). г , '„, Лля нахождения сленга уровня поступям следую- ) 1 Я(") Я ()) щим образом. Напишем деву.Ш. ()У.5): ( Я(г) (о» Х(о)» + (Б(о) (/(г)) Х(0) — 0 (то«г«Е 2»н " ' " ' (2) ! йз ! — Х".+ (Бр) + дБ. — и(г)) Х.
= 0 2но (Х = гЯ). Хотя этн ураансння алинскавы па энду, анн отличаются характером граничного условна прн г 0: в отсуютвие п. н. р. ХР щ Я г щ г, а прн сто наднчнн Х„щ М„г сот(, где Б„(г) (0) (0) опрмюляется (!). Умножая первое нз уравнений (2) на х„, а второе — на х, почленно р) вычитая н ннтегрнруя по г в пределак от г = 0 до г = ао, получаем Глава 4.
Дби)кение 6 неитрпльиом поле где х = е(п, + ))/а (нс путать радиус ямы а с двиной рассеяния ае!) и йз )с)т ззЕ т— таас аеа что при х, 4: (ое( совпвлает а результатом точного решения. Последнее неравенство, кэк нструлно заметить, соответствует условию применимости (оеб( Ъ ) формулы (4). 4,30. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай„когда состояние Ф„'(г) является слабосвязанным, имеет внд (е> Еь т — )/-Еа — — ~/ ~Еа (0)) (в> ! ! й г-(е) ')1 ае 2т где Яа (г) — радиальная волновая функция в момент появления з-уровня с Е т О, -(е> -(е> нормированная условием гЕ( (г) ! при г ао. Решение.
Примснимоагь формулы (4) предыдущей зюзачи п)т)палагвет, что сдвиг уровне мал по сравнению с энергией связи частицы. Однако «ели иевозмущенное состояние имеет аномально малую энергию, то онв допускает простое обобщение н нв алучай, когда сдвиг сравним с энергией связи. Это обобщение может быть получено нелосрслственно из формулы (3) из 4.29, если учссп следующие обсппптльатва. Во-первых, в, ф, нееазмушснного состояния в поле У(г) с малой энергией связи просто свезена с в.ф. В, (г) в момент появления уровня (при Е = О, сравнить с 4.27): те) 2тЕт я(.).,Я) ф.!(г)...ч, „,е) (!) ))( йт Во-вторых, совершенно аналогично, в.
ф. состояния, возмущенного п. н. р., при г > Ь имеет вид Е„м х/~Д„)(г)е ~', к, =)/ —— (2) йт (в. ф. (!) н (2) нормированы на единицу). С учетом (!) н (2) зю вырюхение (3) предыдущей зошчн находим (Х = гд) бхс) йз Ее б Гз (ЕЗ)(0))т (3) ия) +к„2тое (при вычислении ннтецзте следует учесть, что его значение определястсп, в ааиовиом, областью больших г, где поды нтегральивя функция а ехр (-(к„+к„) г) ). Отсюда и следует )е) приведенное в условии выражение лля энергии уровня; при этом к„= к — М (О)/ое.
т те) При к, Ъ (Й,) (0)/ое) сдвиг уровня мел и полученный результьт переходит в 4.29. Отметим в шключение, что рассматриваемое состояние являетсл истинно связанным лишь прп к„> О, в противном шбчве уровень являетая еирмуазьиым 'т). 4.31. Частица находится в поле У(г) (причем гУ - О при г -+ 0) н испытывает также действие потенциала нулевого радиуса, локализованного в точке г = О, см. 4. (О. Считая известной функцию Грина частицы Ув(г, Г; Е) а потенциале У(г), показать, 'З) ззмстпн, чю з зззпспмастп ат вслкчиаы и знаке ае, пад вехекксм и. п.
р. емвтузхьаыа уровень в помиииис тг(г> мажет стать ртяьимм пзк, наабаэат, есезькнй уэаеспь мажет презрзтнтьея з зпрттельиыа. 3(О Глава 4. Дрнмение 6 центральном поле Решение. Рвссиочрин потенциал 0(г), для которого во»новая функция в моиснт возиикно- мння семенного состояния, т. е. прн Е = О, имеет виа /1 / Хе =ем ~- ~ ре(г) бг), гас ре(») = (т/-2т(т(г). ~л/ (2) Зта в.ф. удовлетворяет уравнению те' — (2о»/й') (тле = О с пмснциалон О(г) = (г) ""г) И („-' /' l-2йГбг) (3) н отвечает условию появления первоп» связанного состояния в чаком потенциале в случмш й/ 1/ ~~ ~т2ти(г) бг 2 (б) с При этом, »вписав тт(г) = б»(г) + б»»(г), »ансчаен, что бб»(г) Р О, так что потснпиельнае яиа Е(г) иельчс, чси б/(г).
Отсюда и следует утверждение задачи. Для праноупжьноЯ потенциальной аны глубины (уе н ширины а расснатриваенос иеобмднное условие прининаст вид б/е р Я'»т'/Ота', что совпаааст с точным условнси существования связанных состояниЯ. Дяя экспонсициальиой яны, (» = -Ест "т', получесн та»»те/Я' ) Я'/32 ш 0,31, сРавнить с 4.21.
ф 3. Системы с аисиальиой симметрией решснос. У. Ш. в двумерном мучае для состояний с»п т О н энергией Етс ннест вид (р— насев частицы) — +- — +- (Е„,-б/(р))]ф.е(р)=О. (1) [' Ф» 1 4 2р бр» р бр й г о) Решение уравнения (1) для б-потенциала в случм Е„,с — — -Л»к»/2т < О, ограниченное в нуле и Равнее нулю на бесконечностп, имеет внд: Ф(р) = с»/е(нр) при р < а и Ф = с»Кс(нр) при р ) а (ус(е) и Ке(а) — нодифицнроваииые функции Бесселя). Условия шливания решения в точке р = а, такие жс как и в 2.6, приводят к соотношению а»»Ке(*)йе(~) /»»(я)4( П = (» / Ке(е)й(*) /2раа'» (2) * = ко, опреасляюшсну спектр.
Используя значение вронскнана ту(/е(в)» Ке(*)) = -1/а, запншен (2) в виде 1 21»оа Ке(ка)/с(но) = —, Я» (3) н1 Это соопююснчс обеспечив»ст еыполисикс»ряничнот условия Ле(О) = О; сб условия иа беско«стное»н, Кс 0 че» г о», сн. 4.25, 4.33. Найти энергетические уровни дискретного спектра частицы в двуыериой потенциальной яне вида о) (/(р) = — а б(р — а); б) Г/ = -(/е прн р < а н (/ = О прн р > а, отвечающие значению проекции момента т = О. Специально обсудить случай мелкой ямыз сравнить с одномерным движением. О 3.
Системы с аксиальной спмметрией (5) Иэ непрерывности ФФ, н Ф'„в прн р = а слелует «1а(йа)К'( ) = ау'(Ва)К ( ), (6) что является уравнением дая спектра уровней с пг = О. В случае мелкой ямы, 1 = ра'77е/й' « 1, аргументм пплнндрнческнх функолй в (6) мали. Так как э уе(*) ю 1( 1е(я) = — — Ке(э) и!в ( — /! ( Ке(*) и —— 2' 7е а прн э « 1, то уравненне (6) прям«мает внд г 2йз р(и, - (Е.р() —, Ог йт рттат(Е„е( ю1, (7) Это уравнен«с нмеег только один корень Еее и - — ехр — — = - —, ехр р7та ра туе 7~4 который легко тйтн, если замстнть, что нз (7) следует (Е,,е( « 1ге, н пРенебречь (Е.,е( во сравнен«ю с ттс Таким образам, в мелкой лвумерной яме, как н в симметричной одномерной, всегда имеется одно связанное соагоянне.
Однакотеперь глубина залетння уровня, как внлно нз (4) н (8), мала по аравненню с глубиной ямы уже экспоненцнально. 4.34. Найти энергетнческнй спектр связанных состояний частицы с произвольным эначеннеи проекцмн момента тн в двумерных логенцнальмых полях: о) 7/(р) т -а/р! й) (/=Опрнр<а н (тюоопрмр>п. Указать кратность вырождения уровней. реме«ее. У.
Ш. прннпмает вял (Ф, = К,Ы1е'™/(/2я ) бт 1 б тз 2р г — + — — — — + — 1'е (.„- и(р),) ( к,,(р) = О. бр' р бр р' (1) а) В случае 17 = -а/р уравнение (1) выест такой же ыю, как н уравнение (1Уб), отлнчаясь ат последнего лишь заменой 1+ 1/2 на )т(. Соответственно, нспальзуя нзвестнае З'! Здесь г = 1,7В !... — настоян«ы Эаяпм. Рассматрнм сначала случай, коиа уровень имеет малую энергню («а « !). Используя аснмптотнкм 1с(в) и 1+ а'/4 н ке(а) и 1п (2/уа) прн з О, нмеемз'1 нз (3) 2 1 2дт (.—,'.)ы- - ы-( — ') '" (4) прнчем 1 « 1, т.е.
уровень с мааой знергней связи может бмть талька в случае мелкой ямы. Это означает, что в б-яме нместся только один уровень (с т = О), как н в одномерном случае. С увеличением а уровень понижается и прн ( » 1 ега энергия Ею ы -ро~/т', что легко повучнть нз (3), если воспользоваться аснмптатнкамн К,(з) н 1е(з) прн а со. б) Реюенне уравнения (1) двя прямоугольной потенняаяьной ямы имеет внд 112 Глава 4. /2йихе»«е 6 центральном лоле выражение для уровней энергии в кулон овском трехмерном потенциале и заменяя в нем 1+ 1/2 на (пг(, находим Ро' (2) 2Л~ (и + (гл! + 1/2) Отсюда вилла, что в двумерном поле У = -о/Р, как и в трекисрном У = -а/г, имеет место случайнее вырождение, так как энергия зависит только от комбинании и + (пг! квантовык чисел н и пг. Если ввести квантовое число ЛГ = и + (гн(+! (аналог главного квантового числа и в кулоноаском лале), то выражение (2) можно записать в виде Розг 1т' К» = — — (/У вЂ” -); ДГ ш 1,2, Зйт (, г) (3) Зтот уровень имеет кратность вырождения р(РГ) = 2/У вЂ” 1.
б) Решение уравнения (1) в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы прн р < е, ограниченное в нуле, имеет вид !ГЗРВ.лы! Мч,г 1л Сй„1(ИР), ГДЕ К м тт —,' При этом условие обращения в, ф, в нуль на стенке ямы определяет спектр г 2 й а„ г Зря (4) 4.35. В двумерном случае найти функцию Грина свободной частицы лри энергии И < О, убывающую при р -г со. Рш«е»«е. Функция Грина удовлетворяет уравнению й т т у/Св ш — — (гь — »)Св(Р Р) = б(Р— Р) 2Р (к = т/-2«к/й' > О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
