Galitskii-1 (1185111), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Решение задач н дублирует решение 2 19. В частности, певуче нн ме в 2. 19 результаты в отношения энергетического спектра связанных состояний полностью переносятся на данную эааачу с единственной заменой в ннх (у(р)(т на 4«р~(р(р))~О(р), где 9(р) — ступенчатая функция. Так, уравнение лля спектра принимает вид / 4«рт)у(р)(т др р' — 2 Е с 0 1, Состояния дискретного спектра В цонтрильныд поляк ВВ или после интегрирования по д: ( — — Е) Ф(р) = — яп ( — ) / згп ~ — ) Ф(р)рддр.
з (3) Ф(р) ю, С = / яп ( — ) Ф(р)рйр. с (4) Условие согласованности этик вырюкений приводит к соотношению, определяющему спектр з -уровней (Е = -Лтиз/2гл): 4то Г зш з(ра/Л)бр тоа = 1, или — 2(1 — с ' ) = ак Л /' р'-2 Е Лт з (5) (лля перехода ат первого из них ко второму следует заменить 2 ни'(ра/Л) на! — соз (2ра/Л) и вычисвить интеграл с помощью вычетов). Приближенное решение уравнения (5) приведено в 4.В а) (см. также 2 1В). Здесь же напомним, что единственное связанное з-состояние имеется при условии тоа/Л' > !/2.
Решение. Решение мажет быть получено в результате простых замен в бюрмулах решения прспьицшей задачи. При этом стпует учсстьлва обстоятельства. 1) Ввнау уавовня Ф(р)ю О при р < рс в бюрмулвх (2)-(5) нижний предел интегрирования па р (равный нулю) надо заменить на рз. 2) Связанному состоянию частицы теперь отвечают значения энергии Е < Ез = рсг/2т (а не Ь' < О, кзк раньше), удовлетворяющие уравнению 4гпо / яп г (ра/Л) (1) Так как левая часть (1) монотонна возрастает с увеличением Е от значения, равного нулю при Е -со, до значения +со при Е Ес (предполагается, что рс гс тгй/а, и, естественно, а > 0), та прн любых значениях параметров ямы имеется, и толыго одно, связанное в-состояние с энергией Е < Еы Рассмотрим два прсаельньи случая.
1) При пто/Л » (рс, Л/а) (глубокая яма) из (!) следует н! Ес ю -та'/2Л', квх лля одномерной б-ямы, см. 2.7 и 4.8. 2) В пративопаложмом предельном случае тоа/Лг << 1 (мелкая яма) уровень Е Ес, при эюм значение интеграва определяется областью значений р, прилешюших к нижнему препелу, и приближенно равно Вп (ро/й) Ир г /рса г Г Др ял (рса/Л) 4Ес 1и —. (2) рз — раз + 2пы Л рт — рсг+ 2тг 2рз с 'С!Образование сзаганиат состаяни» в рассматриваемая пссмнавкс заззчи пик наличии сколь уголка слабого сритяжсина састашяст солсржанис так называемого фиюнеко Купера — явлсни», лсжзимю в основе микроскопического мсхзкнзна юзникиозснял сырхпаоеолимсстн.
Н/ В згсм случае эанникауююла вклад в значение лтчгизлз в (!) лиг область р т/зтр то/Д Для приближенною зычистиия кнмгрзла ны можем мнснкть быстро ссаюыируюшна «ввдиаг сниусз его срсднин значсиисч 1/2 н наложить ннжвпа прслсл интсгркраезния рс равным нулю; яатучаюшняса интеграл рэвск а/41/2ягй. 4,14. Найти решение уравнения Шредингера предыдущей задачи с граничным условием Ф(р) = 0 ддя р < рз (ре > О). Показать, что в такой постановке эадачнт е яме произвольной глубины имеется связанное состояние, в котором частица локализована в ограниченной области пространства, и найти энергию связи частицы в случае мелкой ямы. Глава 4, Дбпзкение б центральном лоле Здесь с = Ез — Е > 0 — энерпш связи частины.
Из (1) и (2) при ( « 1 слсауст с-Езсх. ( — ''мо ( — ')~ (3) (опрелслсние прсяэкспонснциальнаго множителя в (3) требует более точного вычисления интеграла(2)). таким образом, прн б 0 энергия связист!мнится к нулю позкспонснпнальному закону гх е '21 ята Пте пп =О, или Е„= -, и =01,. т/2т)Е(й 2йг(п+ 1)2 Для нормировки с.ф.
(3) слшуст выбрать (4) с = )/-( — й( + !)) 2) Чтобы обсбшить ползчснныс гсдномсрнме» результаты на случай з-состояний в кулоновском оотснпиалс, воспользуемся связью их з.ф. в координатном представлении Ф„, (г) Ф зг(2) = — ' чгся яг см. 4.1. Переходя к импульсному представлению, паяучаем у (22гй)222 з з 4Л5. Найм уровни энергии и нормированные аолиовьш функции дискретного спектра в одномерном потенциале У м — а/и при и > О и У м сю при я < 0 из решения уравнения Шредингера в импульсном представлении. Используя полученный результат, найти нормированные волновые функции з-состояний частицы в импульсном представлении для кулоновского потенциала (у(т) = -а/т.
Решение. 1) Сначала у. Ш. лля У = -о/я на полуоси з > 0 с граничным условием Ф(0) = 0 запишем в анас такого уравнения, у:кс на всей оси *, которос при * > 0 зквиватентно исхолному, а при я < 0 из которого автоматически вытекает условие Ф(я)ш 0: рт й' 2т з — Ф(е) — -Ф(я) — ЕФ(е) = — — Ф'(О+) б(в) 2т (П (так как прн этом Ф(0-) = Ф(0+) = 0 и Ф'(О-) = О, сравнить с 2.6, то Ф(и) ш 0 прн я < 0). Имея в виду 1.40, запишем уравнение (1) в импульсном представлении; — Ф(Р)+ — ( Ф(Р')бР'-ЕФ(Р)=- Ф'(О+).
(2) 2гл й,/ 22/2яй лг дифференцируя (2) по р, приходим к уравнению с разделяющимися псремсннмми, решение которого имеет вид (Е < 0) рт+2тЩ ( т/2т(е)й т/2т)е() а усаовис Ф(0) м Г;-~нд ) Ф(р) бр = О даст спектр уровней: Ю О 1. Состояния дискретного спектра О центрольныж полях 97 где Ф,„апрслслястся (3) н (4) с и ш и„.
Воспользовавшись ааотношеннсм скр (! ею!я р) = (1+ р ) + гр(1+ р ) перепишем (5) в вндс (фазовый множитель (-1) опушен) з/2 здз1п [2(п, +!) втф(р/р„,)[ яр Р +Р, (при я, = 0 н о = е' атсюлв следует результат 4.6 в)). та Л(п, + !) (6) 1 Фяз (Р) =,, ( е '"Гзр„„(г) атг т С~р'3т 1/-1, г-з 'Р/ где ° 3 2мптЛ~О~Г(1+ 3/2) / с (аравннть полученный Результат Ф~ м р' прн р 0 с известным соотношением Ф~ м г' прн г 0 в координатном представления).
4.П. Показать, что асимптотнка волновой функции стационарного з-состолннп частицы в импульсном представлении при р -ч со имеет внд Ф„ег(р) ш -2(2еЛ) / Ф„лс(О)пз — У(р), (!) где Ф„,ш(г) — волновая функция состоянию в координатном представлении, У(р) = — е че/~У(г) г!Р (2кй) з,/ — фурье-комаонента потенциала. Предполагается, что У(р) прн р г оо убывает степенным образом: У(р) ск р " с и > ! н не содержит быстро осцнллнрушщего множнтелд вида 3!и (орз) с й > 1. Решение. Несложный анализ у. Ш. в импульсном представлении г Р Ф(Р)+ / й(р-р)Ф(р)езр'=ВО(р) 2т (2) показывает, что при степенном убывании У(р) ск р " прн р са с и > ! в.
ф. Ф(Р) убывает быстрее, чем У(р). Прн атом дамнннруюшую Раль в интеграле в (2) играет область ннтсгрнровання [р'[ < Л/а, где а — Радиус патснпнала. Соответственно, вмнося У(р — р') за знак интеграла прин! 1/ ы О и используя связь в ф. Ф(р) н Ф(г), сразу прнхолнм к требуемой вснмптатнкс (!) для з-состояний. Пронллюстрирусм асимптотику (1) нв примере кулоновскага патснцнвлз У(г) = -о/г.
Согласно 4.15, ам, формулу (6), мы имеем (нспользуя кулоновскис свинины т = Л = а =!) 'з! Прл ззан существенна, чтс асимптатикз У(р) нс «одержит вмстза аалнлзлргющсга мкатнслл Яа (орь) с а > 1, ам. ла знло панно глслтюштю тпичт. 4.16. Найти поведение лри р -г 0 волновой функции Ф„(р) стационарного состоя- ння дискретного спектра с моментом ! частицы в импульсном представлении. Решение. Воспользовавшись соотношением ,„Г" с '" Н (п') Ойг = (-т)'2з т — Хыпз(Ь)35 (а), тй, (1) зьпскаюшнм нз известного разложения плоской волны па полннамам Лсжзкдрв н теарсмм сложения для оослсднил (!П.6), к учтя вид функпнн Бесссл* /г(с) прн з О, получаем Глава 4.
Дбижение 6 центральном лоле Ф„,з(Р) = (-1)ю2 (к(п, + 1) 1 Р ) и то время как Ф„,(0) ш (е(п„+ 1)з) 'зз и У(р) = (2язрз) '. Как видно, соотношение (1) выполняется (в данном случае, по очевидной причине, с точностью ло фаювого множителя). Еше один вывод формулы (1), допускающий простое обобщение на случай ! Ф О, см. э слеауюшей задаче 4.18, 4.!В. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай состояния с произвольным значением орбитального момента ! имеет вид Ф„л (р) ш — 2(2кй) / (21)'езй'Я л(0)3! — р — У(р), (!) где В„,з(г) сВязано с волновой функцией в координатном представлении соотиошени- ЕМ Ф»,Ь„(т) = Г1Йе,з(Г)3)з, (Г/Г).
Решение. 1) сначала преобразуем 0(р) к виду (положено д = 1) 1 У(„) = — ',. лУ(!г!) 4к (г) 4 зтр,/ Имея в внлу общие соображение о зарактере убывания фурье-компонент прн р со (см., например, [14)), замечаем, что испсльзуемме ограничения иа потенциал означают, что функция У((г!) — четное продслжоние У(г) иа область г < О, рзссматришемая как аналитическая функция г, и мест шсбую метку г = О. При этом сингулзркшмь У(г) ограничена усзоэисм У(г)гэн 0 при г О, где е > 0 (лля У = а/г' имеем У = а/4яр). Если дая такого потенпиала записать в.
ф. связанного состояния В виде Ф„л„(г) =г'И (-)Е (г), — -Е !) Ф з (р) = — — "'" 1 с 'их,...х„У(г)В„,(г)4Р= ("' -) — = '."' "' й б б à — з, . — ... — / с "'У(г)Я,(г) йк (г )» '-'Ор,"'Ор./ (3) то Еьл(0) = солж р 0 и Е,ы(0) < со. 2) Наличие особенности при г = 0 у потенциала проявляется и в рализльной в. ф, Е„и(г). Существенным.
однако, вынется то обстоятельство, что сиигулярность функции В„л(г) боксе слабая, чем у цотснциала. Это утверждение явлнстся непосрслстзенным следствием у. Ш. В частности, если синзулярная часть У(г) ммсет вил Уиз(г) аг" (при этом н > -2 и не разно четному числу, несингулярная часть представляет разложение по целым степеням г'), то сингулярная часть радиааьной функции (см. 4.19) Д1*) г 2та "' ( (н + 2)(н + 2! + 3) и обращается в нуль при г 0 в отличие от Йю,(0). 3) Для лаяьнейшнх преобразований улсбно записать шаровую функцию в визе (см. 3.41) г зт (я) = е, (зп)з ... з„, где е, „является симметричным по любой паре индексов тсизором ранга ! с равным нулю следом г„. = О.
Лля получениа искомой асимптстики умножим обе части у. Ш. ( /З вЂ” — — Е,„з) Ф„л (г) = -У(г)Ф„л (г) 2пз на (2я) зтз скр (-!рг) н, проинтегрировав по координатам, выполним следующее преобразование: 9 С Состояния дислретлосо слелтро д центральных лолли 99 При р со значение интеграла в (3) определяется наличием у функции У(г)22ы(г) особенности при г м 0 (точнее, у ее четного продолжения, как и в (2)). При этом наиболее сингулярная часть такай функции, определяющая главный член асимптотики, содержится в У(г). Соответственно, вынося в выражении (3) нз-под интеграла Яш! в точке г = О, используя соотношение ОУ(р) дб(Р) — =2р,— др ' др! и учитывая равенство нулю следа тензора е, „, приходим к приведенной в условии ээдачн асимптотикс в, ф (!). 4) Имея в виду пргщеланные вычисления, легка заметить, что полученный результат может быть очевидным образом обобщен и на случай, когда единстееннмми особыми точками четного продолжения потенциала являются точки г = Ьо на вещественной оси (различного рода модельные потенциалм с резко выраженными границаии или изломами): дае этого а выражении для асимптотики следует заменить В !(О) на Л !(о).
Однако несмотря на внешне похожий вил асимптстик а этих случаях, между ними имеется существеннее разяичне. Оно связано с тем обстоятельством, что в случае особых точек г = яа эс 0 фурье-компонента У(р) солержит быстро осциллируюший множитель вида пп(ра), наеичие которого приводит к тому, что все производные 0(р) убывают одинаковым образом, тзк же как и 0(р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
