Galitskii-1 (1185111), страница 20
Текст из файла (страница 20)
состояния с Ь = 0 в согласии с результатом задачи 3.34. Глава 3. Момент импульса Решение. Всего имеется 3 ° 3 (21+ !) = 9(21+ !) независимых состояний. Классификация их по значениям суммарного момента Ь преастаавсна в таблице З.Ж Как известно, проблеиа сложения моментов двух систем 1! и 11 в результирующий момент Ь решается в общем виде следующим соотмашением! ч ьы р! Сб Сг,м~гзмгфг,м, Фггмзг М = т, + гпз, и/мг где Сг;мй .
— коэффициенты Клебша — Гордана. Используя технику повышающих (понижающих) операторов Хь, найти коэффициенты Клебша †Гарде в случа Ьюг, +1т, Решение. В данной задаче будем понимать поа Ь его конкретное значение ь = 1, + 1з. Очевнаеи вил в. ф. Фьь -- Фьп Фш,. Учитывая свойство оператора Х гп !г! т.
° ..=уь-'и+с(~.ю .... имеем (Ь+М)! 1 г - ь-м [(Ь вЂ” М)!(2Ь)!1 Ь =1,-+1з- и операторы 1,- и 1т- коммугируюгдр!п сдругом, то из(1) имеем С(й,м))'Сь" м(1, )"(1, )™ ФП!Фаг, = С(Е,М)) СЬ МС '(1ц1~ — И!)С '(!З, М+т — 1~)ФЬ !, Фгвп Ььн Ш (2) 3 Так как Фгм = гле ввслены обозначения [(Š— М)!(2Ь)1~ ' с т!(Б — лт)!' Поачсркнем также, что М = т~ + тг.
Иэ (2) следуют значения коэффициентов Клсбшв-Горлане ~~™н = С(Б М)С '(1ц т,)С '(1г, тг)Сз~-йд Учитывая (3). нвхолим окончательное выражение (Ь = 1~ + гт): (21!)!(2(г)!(Е + М)!(Ь - М)! (2Б)!(1, + пт,)!(1, — пг,)!(1з+ тг)!(1г — тт)!1 ;,".„... = [ (3) Для решение залачи удобно сначала сложить моменты двух подсистем, имеющих 1 = 1, в их результирующий момент Ьц, принимающий значения О, 1, 2, а затем сложить Бц и 1! = 1 в суммарный момент о всея системы. При этом следует учесть, что данное значение Ь можно получить, вообще говоря, несколькими способами. Так, значение Ь =! +! можно получить путем сложения с моментом ! третьей подсистемы как момента Лц = 1, так и зчг = 2.
Приведенные результатм относятся к случаю 1 > 2; значение 1 = ! читателю предэатстся рассмсч!мть самостоятельно. 5 3. Слалгенае моменглоб 3,39. Та же, что н в предыдущей задаче, но в случае 1! = 1з „Л, = О. Решение. Коэффициенты Клсбша — Горлана двя этого схучзл следуют из результата зада- чи 3.34. Положив там С, = (21+ Ц 'Г', нахолим Саз м О =(-Ц'--РЛ+Ц-'" ЗАО. В случае дауа слабовзаимодействующнх систем с моментами Л! и Лз усреднить следующие операторы: а) Л!П1„6) Л~гузь — Л!зуэй в) Льузь+Л!ьуз', г) Лиу~з+21зЛ! по состоянию с задднныы значением Л момента совокупной системы, не конкретизируя зависимости волновой функции состояния от .1,. Получить выражение для оператора магнитного момента системы,и =у!), +ут)з в состоянии с определенным значением,у полного момента (здесь у, з — гиромагнитные множители длл подсистем, связывающие их магнитные и механические моменты).
Решение. Рассматриваемые тсиэорны» операторы после усреднения становятся операторами, действующими в пространстве векторов состояний с моментом Л. Любой таков оператор лалжсн выРажатьса чеРез зскюрный опеРатоР Х, и УннвсРсахьныс тснзаРы би и с,и. пРи этом уев авив ели пакового геизорн ого хзраюсрв исхолиого и усреднен нога операторов супгсствсн на ограничивает вна таких выражения. а) л!т1, = а,агЛ, (векторы вида ХзХХз, с.нХзХг, и т.л., как это слслуст из коммутаниоииых соотношений лля компонент Л„свалятся к Х).
Умножив на Л, навалим'! а!<з! = 1)гт!Лг'(Л(Л + ц); зпссь и ниже Раап кРаткости записи скалярные произволения 0,а>Л) и 0Щ, имеющие апргдслснныс значения одновременно с )то )зт, Лт, в явном виде нс расписываются, см. 3.27. б) Ввиду внтисиммстричнога характера тснзора имеем Льутз Лойь = !и згуг (ц Умножив абс части этого равенства справа на Х, и слева на Л„находим, что при этом левая часть оказывается равной нулю, в правы принимает вид Ьг,цЛ,ХД = -!Л(Л+ цЬ, так что Ь = б. в) Ввиду симметричности тснзара имеем Л) Ли+Лоув = А, бь+ Ат(ЛЛг+узЛ). (2) Первый раз, свернув по иилсксам т и Ь, а второй — умножив абс части (2) справа на Хз и слева на л, и воспользовавшись равенством ХХзХХ» = Лт(л+ цз — л(Л+ ц, пол!я!зсм лва соотношения ЗА +2Л(Л+ ц.бг = 2(йт), Л(Л е ЦА, +Л(Л+ Ц (2Л + 23 — ЦАт = 20~3) (ВЛ). Отсюда (4.1'+ 4Л вЂ” 2) 0йз) — 40 Л) (йЛ) (2.1 — 1) (2Л + 3) 60,Л) 0тЛ) — 2Л(Л+ Ц (йй) Л(Л + Ц (2Л вЂ” Ц (2Л + 3) (3) т! Унчожснчс нв эь (члч ть) зчмсна смысла, тзк кзк спсратовм )ь т, в отлхчнс аг л, псртну|мтахн* ахчаянчя с Разливными значснвянн Л.
Глава 3. Момент импульса ) Поступся как и в предыдущем случае, исходим УьЛь+Уау~ = В~ аь+ Вг(У Ус+ УьУ), /~(У~ + 1) (4Ут+ 4У вЂ” 2) -4(),3)'+ 2(1,3) (2У вЂ” 1) (2У + 3) 6(НУ)т - 2/~(у1 + 1)У(У + !) — 3()~У) У(У+ 1) (2У вЂ” 1) (2У + 3) При выводе (4) было использовано равенства У у)1т1сУкт> уь = й1тсу) — Иста Для оператора магнитного момента совокупной системы имеем р(!) = 31)~ + рт)т н согласна результату пункта е) получаем выражение — (р~ + рт)У(У+ 1) + (С~ — уг) [/1(/~ +!) -Уг(те+ 1))- Р(У) =а(У) = гУ(У+ 1) (4) Ф 4.
Теизориый формвлизм в теории момента находим г т3,Ф~ = г еш „п,пь... п„т3,г = РР + 1)Фь а а Д'Рг= ссн.аххьхг ° ° х =еьг (4 аь хр ° ° ° х + ° ) = а а..'. (2) =е „„х„... х„+...=О. Из (1) и (2) следует ~!Ф~ = 1(1+ 1)Ф~ (ачевндно, что еф. Ф,, укезвииен в условии телачи, также неляется с.
ф. 1т). с! ~ Нс пугать с снтнснммстрнчнмм тснтсрпн т,и1 3.41. Показать, что функция вида Фг(а) = Ете...пн,не, .. и„, где а ы г/г а еш „— сииметричный па любой паре индексов теизорп ранга ! с равным нулю следом, сьс „и О, является собственной функцией оператора квадрата момента частицы, отвечающей значению момента, равному !. Показать далее, что число независимых компонент у уназамного тензора рав- но 2!+ 1, как и число шаровых функций 3ьх(в) (твм самым будет доказана, что приведенная угловая зависимость волновой функции является наиболее общей для состояний частицы с моментам !). В частных случаях ! = 1 и ! = 2 указать значения компонент соответствующего твнзора, е,(пт) и е,ь(гл, при выборе которых рассиатриваемая волновая функция совпадает с шаровой функцией У! .
Решение. 1) Рассмотрим в ф. вида Фс = е,ь х,хь. ° х ы е,ь п,пь... п„г . ! Учитывея связь оператора ! с лапласивном 1 а,а =-г Д =г(тт,-с3), ам= — — г —, '=Ра. а ' (1) й 4. Тензорный формализм 8 теории момента В! 2) Сначала найлом число нсзавнснмых компонент б(!) у снммстрнчнога по любой паре индексов тснэора с,ь,„ранга !. Обозначим: и, — число индексов некоторой компоненты зтого тснзора, равных 1, пт — равных 2 н пз = (1 — п~ — нт) — равных 3.
В силу симметрии тензорв сто компоненты с пзннаковыми числами и, н пт равны. Прн фиксированном значения п~ число лт может быль равным О, 1,..., 1- п,, так что числа различных компонент прн данном и, рвано (1 - н, +!). Общее число различных компонент б(!) = ~Ь (1 — и, + 1) = (1+ 1) — ~ и, = г И+1) (1+2) ) т Г15 /1 т О) се(2)ш Ч т — 1 0 Ч32 (0 О О/' Т5/! О О~ са(0) = ~/ — 0 1 0 1бк 0 О 2 (4) с, (-1) = -с,' (!), сн(-2) = с,'з(2).
ЗА2, Согласно предыдущей задаче наиболее общая зависимость от углов волновой функции состояния частицы с моментом ! = ! имеет внд Фгт — — (ап), где а— произвольный комплексный вектор. Найти: а) какому условию должен удовлетворять вектор с, чтобы волновая функция была нормирована на единицу; б) средние значения компонент тензора и!пз; в) средние значения компонент вектора момента 11 с) какому условию должен удовлетворять вектор е, чтобы для рассматриваемого состояния можно было указать такую ось х в пространстве, проекция момента на которую имела бы определенное значение, равное т = 0; тп = ф!. Решение, а) Так как 4 ,н 3 (ев! = с,г;п,пь и т ° годка нормировки в.ф. на! следует выбрать с = т/3/за а, где (а! =!.
б) ппы с)еч / пгтьнзп„бй = с;с (4а/15)(бм бг +бм бн+ Дг б~ ) = (бы+а,'аз+а',а,)/5. е) Так как 1,рш, ы -ме„вз (О/дл„) (с в /г) = -м,ыс„пь, то 1, = -!га„знг„ / п„пь бй = -!сл„а,аю т с. 1 = -т(а з), нлн, неложна а = а, + !ат (в и — вещественные векторы, причем а, +аз -- 1), т т получаем 1 = 2(а~аз). г) Имея в виду, что с = т/3/ся (в, + !вт), легко сообразить, что в случае, сслн а, (! а„ проекция момента на ось, направленную вдоль в, з, имеет определенное значение т = 0; если 1кс а, 3. ат н пРн агом а, = аы то пРаекцна момента на ась, напРавхсннУю влаль веюоРа (х,а,), нмесг определенное значение т = +1 (н т = -1 на противоположное направление).
Чисво же независимых компонент б(!) у симметричного тснзора рани 1 с равным нулю следом вытекает нз того, что равенство е,а „вЂ” - 0 лрсдстаытст совок!алость нз б(1 — 2) лннсйных соотношений между компонентами ба „, так чта б(1) = р(1) — р(1 — 2) = 21+ 1. 3) Из сравнения аырюксния Ф~ ь = (е(т)в) с (Ш.у) нахслнм «(О) = )( — (О, О, т), е(П1) = г/ — (рг, 1, О). !! 4а 'т/ О (3) Аналопгчно, в случае ! = 2 находим компоненты тснзсра са(т): 02 Глава 3.
Момент импульса ЗАЗ. В условиях предыдущей задачи найти вероятности ш(тп) различньщ значений проекции момента тн на ось л, направление которой определяется единичным вектором ао. Показать, что для произвольного состояния с моментом 1 = ! существует такое направление в пространстве, вероятность проекции момента щ = О на которое равна нулю. Решение. Записав в.ф. ввиде Ф = т/3/Си(ав), (а(т = 1, имеем ш(щ м 0) — ((аве)(з ш(щ = х!) = ((ап), Ф г(а(пеп,))!' 2 П) Здесь и, — единичный вещественный щктор, перпенпикулярнмй па (выбор в, неоднозначен, однако от конкретною его выбора значения вырюкений (!) нс щвисят). Записав а = а, ч- тат, где а, т — вещественные вехторы, замечаем, что вероятность значения прсскнни щ = О на ось, направленную аполь вектора (а~аз), равна нулю. Если в, (! ат, то проекциа момента на любую ось, перпендикулярную а„не монет принимать значения ш = О.
3.44, Согласно 3.41 угловая зависимость волновой функции произвольного состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид Фш, — — (ап), т.е. полностью определяется комплексным вектором а. Поэтому при рассмотрении состояний с 1 = ! можно перейти к представлению (назовем его Векторным), в котором волновой функцией является совокупность компонент вектора а, т. е, Ф(й) щ аа (й = 1, 2, 3). Найти явный вид операторов компонент момента в векторном представлении. Установить соответствие мехгду векторным н 1,-представлениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
