Galitskii-1 (1185111), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е) Твк как уравнение (1Ч.5) имеет вид одномерного у.Ш., то, как и в одномерном случае, можно утверждать, что Ечп (прн фиксированном 1) возрастает с ростом н,. б) Рассматривая в у.Ш. (1Ч.5) формально ! квк непрерывный параметр, согласно формуле (1.б) имеем Ф 1. Состояния дискретного спектре д центрольнык поляк $7 4.3. Пусть /тг — номер уровня в центральном потенциале в порядке возрастания энергии (основному уровню отвечает Дг = !). Каковы для 11/-го уровня о) максимально возможное значение момента 1, б] максимально возможная кратность вырождения уровня, 6) максимально возможная кратность вырождения уровня при условии, что он имеет определенную четностьу Решение. а) Имея в виду возрастание Б„,, с ростам 1 (ари фиксиратннам п„ ам.
4.2), лепта сообразить, чта независима ат конкретного вида Г/(г), в /У-и состоянии д.с. значение момента чаатицы нс может превышать ! = дг — 1 (яля такого момента значение я,ш 0), б) Максимальная кратность выро~касния уровня получается вслучае, когда этому уровню соответствуют состояния са значениями 1 ат 0 да ! , и равна дни()У) = ~ (21+ 1) = )У' (такая ситуация реализуется в кулановскам потенциале). Прн этом аастаяниям с данным значением 1 отвечает п, = /У вЂ” 1 — 1.
г) Так как четнасть / = (-!)', та теперь суммирование в (1) следует провозить па значениям 1 определенной четности (четным или нечетным), такой же как и 1 = /У - 1. В этом случае находим у (дг) = дг(дг+ 1)/2, причем вырожденным состояниям с данным 1 =1 „,1 — 2,..., 1(0) опмчает и, = (1 — 1)/2 (такая ситуация рсвлизуеты у сферического асцилляторв, см. 4.4 и 4.5). 4,4. Иайти уровни энергии и нормированные волновые функции сферического осциллптора, (/ = /тгэ/2, используя прн решении уравнения Шредингера разделение переменных в декартовык координатах.
Определить кратность вырткдения уровней и произвести их классификацию по значениям квантовых чисел в„ 1 и четности. Связать еслучайное» вырождение уровней с коммутативносью операторов Ть = р,рз/тв+ /сх,хв с гамнльтониаиом осциллятора. Решение.
Используя соображения, выаквэвнныс при решении задачи 2.48 о плоском асцилляторе, нюадим решение в анас Ф„„„(г) = Ф„(х)Ф„(у)Ф'," (*), ви пт, пэ = О, 1, 2,..., 3'т Б„=Де (л+-), л = в, +пт+пэ, и= 0,1, 2! ' Уровни асииллятара имеют определенную четнасть, равную У = ( — 1)", и кратность выро- ждения (сравнить с 3.41) у(в) = ~ (п — п, + !) = (п Е 1) (в + 2) 2 н» (лля данного значения и, имеется и — п, + 1 выпахав нных состояний с вт = О, 1,..., в — л, н пэ = в — и, — пт) Так кзк рассматриваемый потенциал является цснтраяьна-симметричным, та стаииаиарныс состояния могут быть клвссифииираввны па значениям орбитального момента 1.
Как видно иэ (1) и выражения (11.2) лля волновых функций линецкого асциллятора, волнаюя „тг~ г фуиюаш аснавнага состояния, и = О, шшяется сфсрически симметричной, Фзм м е "1" с а т/Л/егы, и опнсмзаст э-состояние, хак и сяелаяато ожидать. Для первого вазбужден" э тр мого уровня, с в = 1, волновые функиин (1) имеют вид: Ф„! сс х,е ™ с и = 1,2,3; ани описывают р-уровень (! = 1), см. (Ш.т).
Глава 4. Абилсение 6 ненглрлльном попе Однако в алучэс в > 2 зги воляовые функции уже не соответствуют определенному значсниюз! орбитального момента 1. Это обстоятельство отрюкает случайное емуаждеяис, присущее энергетическим уровням сферического оспилляторв, см. залечи 4.3 и 4.5. Такое вырожление может быть просто объяснено, если принять во внимание коммутативнасть операторов Гн, укаэанных в условии зэлачи, с гэмильтонианом оспиллятора и их некоммушти впасть с оператором 1, см. !.25. (3) 4.6.
В основном состоянии атома водорода найти: о) г" для электрона, в — целое; 6) среднюю кинетическую и потенциальную энергию электрона; д) распределение по импульсам электрона; ф эффективный (средний) потенциал р(г), создаваемый атомом. -чт Решение. В ф. имеет внд Фз = (за ) е "', а = Лт/тл ет. Простое вычисление дает: а) г" = ) г")Фс(г)) 4У = — Н . (в -1- 2)! / а т " 2 5,2) э Валнсзис функннн с алрешленным ! опнсызьююя нскстормнн супсраознннямн функпкй (!1.
нзнрнмср, е слтчзс и = 2 зоенаеая функння с састаялня кисет вия йи тз с = (йзн+ Есме Рмт)/т/3, а то время кек лять даугкх нюэснснмых «омбннэння из (!1, артотакзльные ухюенная, соапстстеуют ! = 2. 4.$. рассмотреть стационарные состояния сферического осциллятора (см. предыду- щую задачу), используя при решении уравнения Шредингера сферические координаты. Решение.
У. Ш. (РЦ2) для !/ = йгт/2 заменой переменной л = тпыгт/Л приз!антса к ви- ду (ы = т/а/ш) (1) Подстановкой Е„! = е *лег!~и(а) преобрюуем (1) к гипергеомстрическому уравнению 3 т, /Е ! Зт ны" + ~!+ — — е) и'+ ( — — — — -) ш = О. (2) 2 ) тИы 2 4) Так кэк Е сс г' сс е'л при г О, то решение уравнения (2) следует вмбрать в внле / Е ! 3 3 /- — + — +-, +-, *~, Иы 2 4' 2' /' где Р(а, р, *) — вырожденная гипергсомстрнчсакзя функция.
При этом условие убывания в.ф. при г оо требует, чтобы функция (3) сводилась к папиному (иначе Р а е' и Ест е*!' расходится прн *, г со). Отсюда Е 1 3 + + = в, в =0!2,..., Иы 2 4 чта непасредатееино опрсхеляет онер!этический спектр: е„л = йы (! + 2п, + — ~ ш лш ( и + -) , в = 2п, + 1 = О, 1, 2,.... (4) 2) ' Уровню с лэнным и отвечают состояния с моментом 1 = в,п — 2, „., ЦО), так что он имеет определенную четкость !„ш (-1)", а сга кратность вырождения, р(в) = 2 (21+ 1), оказы застоя равной р(в) = (и + 1)(в е 2)/2, в согласии с результатом предыдущей задачи.
В иключение укажем значение коэффициента с в (3) гглытт!т Г(! ч-л, + 3/2) с =2( — ! (5) ( Л ) ,1Гт(! и 3/2) ' соответствующее условию нормировки / /ч-,,!(г) г дг = 1. с 5 1. Состояния дискретного спектре 8 центральных полях ВВ г е' 2 б) У(г) = — 2 е (Я ( )(24Р е (2) а Так как Т + (/ = Е = -ез/2а, то Т = с'/2а = -(//2.
г) В. ф. в импульсном представлении Фс(р) =,222 / с ' "йа(г) 4У = (2вй)212 / во»22 ( 2+Лз/ат)2 опрсаеляст распределение по импульсам электрона; Ои = (фа(р)(242р. г) Искомый потенциал р(г) преаатааляет электростатический пстенциав сиатемм, характеризуемой плотностью зарыт Р(г) = е б(г) — е(2уе(г)(', зассь первое слашемое соответствует точечному ядру — протону (в начале координат), а второе — электронному «облаку». Уравнение Пуаасона [27) сьр = — 4кр нри г Н 0 принимает вин й Х 4е»' 2„« — = — е огт аз где Х = гр(г). Интегрируя это уравнение сучетом граничных условий 2 Х(ос) = 0 и Х (со) = О, получаем Х(г) = — / ег' / г е ' П дг . Отсюда Х /2 22 -22 р(г) = — = е ~-+ -/1 е г чг а/ (4) В частности, при г -» 0 мы имеем р(г) ш с/г — с/а. Здесь первый, доминирующий член, р„(г) = с/г, описывает элскцнютатичсскнй потенциал, создаваемый протоном, а то время как второе слагаемаа.
р„(0) и -с/а, описыежт потенциал, создаваемый электронным «облаком на ядре-протоне; заметьте, что значение срн(0) совпаааст, конечно, с 7/. С другой стороны, на больших расстояниях, г оо, нз (4) следует экспоненциальнае убывание потенциала, соответствующее лолиол экранировке заряда протона сфсрнческисимметричным электронным облаком». Поачеркием, что этот результат относится именно к усрелненному значению потенциале.
«Истинные значения электростатического поля убывают существенно медленнее, см. следующую задачу 4.7. Решение. Имея в виду формулу (4) из (4.6), находим 2сй тл, ст(В) = -ттр(22) ш — с- (1) лэ ати т.е. среднее поле убывает экспонснцнально. Так как поле а(К), создаваемое протоном (находя2цимся в начале координат) и электроном (в точке г), имеет внд ей е(й — г) ег(н — ЗР7(пН)) Я(В) = — — — т Я2 )й — г)2 л» - Яз «2 Условие х(сь) = 0 учитнзтт эасктрсневтрааьность системы. 4Л. найти среднее электрическое поле 2р(г) и его флуктуацню (флуктуацию компонент поля) на больших расстоянняк от атома водорода, находящегося в основном состоянии. Обратить внимание на характер убывания найденных величин с увеличением расстояния. Глава 4.
Дбилсенне д цалтральнои лоле где а = г/г, Р! = В/Я, то в результате простого вычисления получаем с2 е,(В)сь(В) — Ц ! Фь(г))~г" (н, — ЗК »н)Ч2)(пь - ЗУ/ьп/У ) дг 4П, = = сза (6,2+ 302,1Ч») —, Я » а яс' (2) (усреднение проводится по пааожениям электрона в основном состоянии а~ома водорода), в частности Ф (Я) ш бе а /Я». Таким образом, флуктуацноннме значения электрического паля убывают лишь по сте- 212 пенному закону: с 2(Я) ш 1/Я . Это обстоятельство проявляется в том, что взаимодействие атомов (и молекул) на больших расстояниях (например, силы Ван-дер-Ваальса) убывает степенным, а не экслоненциальным образом.
4.8. 6)дйтн з-уровни в потенциалах: а) (/ = — об(г — а); 6) Г/ = -(/ее '/'1 б) 2/ = -(/с/(е'/' — 1) (лотанципл //юльтелп). »2» "=~'Т .2г а) с учетом граничных условий при г = 0 и г = со решение уравнены (!Ч.5) лля ! = 0 и У/ = -а 6(г — а) имеет вид (г ма): (Азйит, 2'<а, Условия сшивания в.ф. в точке г = а, аналогичные установленным в (2.6), приводят к соотношению бъ! 18тПзат ) 22(д) = О, или /м, )2 , = О, йз (3) определяющему спектр з-уровней. 52 2 Сразит». имея з зилу результат 4.1, ео спектром исчстиих уровней з усзсенлх зашчи 2.18. — = (1-с ), йзи та определяющему спектр!1 з-уровней. при 6 и »иаа/йз < 1/2 это уравнение не имат корней, так что связанные состояния отсутствуют, При ( > 1/2 имеется, причем только олин, з-уроеень.
Преаельные значения его энергии 2 -( —,) ~ —,' — 1), О<(--<1, (1) Зй' ' Обратите внимание на медленную, квадратичную зависимость глубины»шлегання» мелкота з-уровня, Етр 2х -(6 — бе) 2, при углубленна потенциальной ямы. Это связано с тем обстоятельством, что в случае Е -» 0 волновая функция з-уровня делокавизустся: частица уходит» иа бесконечность и находится з области ямы с малой вероятностью; сравнить со случаем ! > 1, рассмотренным в следующей задаче 4.9. 6) Уравнение (1Ч.5) полстановкой в = — ехр (-г/2а) сводится к уравнению Бесселя [,~ 2 + .,! + (» аз)] йюе = О (2) где р = 2иа, А = (бту/за /й ) . Усяовие обращения в.ф. в нуль при г оо (при этом а -» 0) 2 202 требует выбора ре2нсиии уравнения (2) в виае х„ю —— с/ (Ах).
прн этом условие у(0) = 0 приводит к соотношению 9 1. Состояния дискретного спектра д центральных полях 91 с параметрами /2татуе 'т 0) р = с - 47+ и, 7 = 2е+ 1, Л = / — '~ дт а = е + ч//ст + Лт, условие обращения в.ф, в нуль при г оз (в 0) требует выбора решения уравнения (5) в виде у = сг(а!у, 7 х), пои этом условие д(г = О) = д(х = 1) = 0 даст 2»(а,Д7, х =!) ы =О, (6) Г(7 — а) Г(7 — р) что определяет спектр з-уровней. Отсюда, как неточна заметить, следует, что 7 — а = -и, где и ы и, = О, 1,...; Г( — и,) = ос и окончательное выражение для энергии е-уровней п инимаст вид Р (7) причем п, < л - 1.
при этом Условие л = дг (йг целее) опредсюмт значения параметров потенциала, соответствующие появлению йГ-го по счету Уровня с 1 = 0 при углублении потенциальной ямы. При в оо, Уе О, но Уса = сопи ы а, рассматриваемый потенциал переходит в кулоновский У = — а/г, а формула (7) при этом воспроизводит известный спектр (1)).3) з-уровней в таком потенциале. 4.9. Найти уровни с произвольным моментом 1 в потенциалах; о) У=-аб(г — а); б) У=Оприг<а и У'=оопрнг>а. ь ..)ь -- - -)зз)) -,/7»»г). вия и(0) = и(сю) = О, лхя У = -а б(г — а) имеет вид а„, = А/ыгз(т) при г < а и и„„) =ВК»гз(иг) при г > а, где П, ʄ— функции Бесселя мнимого аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
