Galitskii-1 (1185111), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Соотвсгстшнно, в.ф. состояний с различныии значениями! при р со также убыаакт одинаковым обра:юм. 9 случае же особой точки г = О, в.ф. состояния с моментом ! убывает тем быстрее, чем больше !. 4.19. Частица находится в потенциале, имеющем прн г 0 вид У ш а/г! с э < 2. При этом радиальная волновая функция состояния с моментом ( имеет внд Ве,! ш С„лг!. Найти поправку к этому выражению при значениях 0 < з < 2. Решение. Опустив в уравнении (утг.2) члены, содержащие У и е, пршюдим к главному члену асимптстики: М !мй !=См,г при г-гО. и! ш Для нахожления поправки В~„~! имеем уравнение ш 2 пу 3(! + !) г,! 2то г! .! д! (!) (г - )(З + 3 - э)й! "'" При э < 0 первая поправка будет определяться узке членом, содержащим энергию. Если У ш О, то, как известно, 22 = Сугг!!з(йг)/тlг. Разаожение этой функции по степеням (йг) остается справедливым и при наличии потенциала, но лишь до тех пор, пока степень г не превышает значения ! + 2 — э.
Следующий затем чяен разеожения опять опрсаеляется выражением (1). 4.20. Найти функцию Грина Сл(г, гг) свободной частицы для значений м < О, убывающую при г -! со. С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для состояний дискретного спектра в потенциале У(г), обращающемся а нуль при г -ч со, в виде интегрального уравнения. Решеиие. Функция Грина удовлстворястуравнению д! Йбл ы — (-2з+и )Ув(г, г) = д(г — г) (!) 2п! (= х = ./-2тЬ/й~ > 0).
Из соображений симметрии предсташшется очевидным, что она является функцией вила Ул = /()г — гг)). Прн этом уравнение (!) при г гс гг и его решение имеют вия д! Се" — (гг(г)) — х~(гУ(г)) = О, у(г) =— дг! !' (2) Глава 4. Дйлкенип д цен~проденем лоле член е У(г) опушен). Соотношение тзг ' = -4п б(г) позволяет и окончательный вид Св: ш с"" С (г,г)= — ~ (3) 2кйг (г — В( у. Ш. дяя состояний д.с. можно записать в виде интегрального (экспоиенпивльно растущий определить значение С в (2) С помощью функции Грина уравнения(сравнить с 2.20): ФБ(г) = — / Се(г, г)У(г )ФБ(г) 4$ = — — г У(г)фв(г) 41'. (4) 2кйз .1 !г — В! 4.21. Как известно, а трехмерном случае у частицы е потенциале притяжения У(г) < О (У(г) 0 при г ~ со) не всегда имеются связанные состояния.
Показать, что необходимым условием существования таких состояний является выполнение неравенства г)У(г)( бг >— 2тп е получаем утверждение зааачи (имея в виду 4.1, легко заметить, что результат данная задачи является аналогом результата 2.25 для одномерного движения). Для прямоугольной ямы необходимое условие существования связанного состояния пРинимает вид б и тезУе/йз > 1, а точное: б > и'(3 ы 1,24. Деа б-потенциала необходимее условие совпааает с точным.
Дпя зкспоненциш~ьной ямы неабхспимае условие ( щ гпе Уе/й' > 1/2, в точное ( > 0,72. 4.22. Показать, что выполнение условия ОЪ 2 — 1(/ У(г) ~1 — схр (-2)~ — 1 — г~] бг~ > ес э 'З! Впрочем, зхечспис иимгрю|э очевидно и бе» вичхслеиия, так хэк ои еписмтэст элеипхючэтичсския пстсипнээ сферы Радиуса г, зэряжсннса с пссгояинеЯ псэсрхиастиоЯ пэетиастью еэ = 1.
Сравнить это условие с точным условием существования состояний дискретного спектра в потенциальных полях: прямоугольная яма (см. 4. !), б-потенциап и зкспоненциальная яма (см. 4.8), см. также 4.32. Решение. Применим уравнение (4) прсаыдушей задачи к основноиу состоянию с Ее < 0 (считая, что оио существует). Соответствующая в. ф. Фе(г) сфсрически симметрична (1 = О) и, так как онэ не имеет нулей. то можно считать Фе(г) > О. При этом е уравнении т с "э'' Ф()= —,,~' [- ('НФ(') 2гйз .1 (г — з'! (2) подынтегрэльнсе выражение также нсотрвцательно. Возьмем в (2) значение г = ге, при котором Фе(г) принимает максимальное значение.
После этого, заменив под китецмлом Фе(г') на Фе(ге) и опустивь экспоненту (от чего значение интеграла может лишь увеличиться), приходим к соотношению — — (г') бг'бй' > —. у (У("Н ..., Л' (3) 41т,у (г — В! 2пт Выполнив здесь интегрирование по углам (выбрав полярную ось вдоль вектоРа г), котоРое дает |з! Ь !. Состояния дискретноео спектра О центрольншя полях !О! м д'н [П())((1 — е )"ь') Иг > —, (г) с которое эквивалентно соатношснню, приведенному в условнн задачи (пря этом сс = Щ(2т). 4.23.
Найти функцию Грина С(,с(г, г') радиального уравнения Шредингера (!Ч.5) для свободной частицы с Е = 0 на отрезке [а, Ь] (прн этом 0 < а < Ь < оз). Она удовлетворяет уравнению Ьз (ба !(!+ !)) 22(С(,вхе =- — — ~ — ~ С(,е(г, г ) = б(г — г') 2)п (дгз гз (!) н г(юннань(м условиям С( э(а, )') = С(,е(Ь, г') = О. Решение. Решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям н непрерывное в точке г = г', имеет вкп ( [Ь'+'(г') ' — Ь )(г'))+г] (и 'г(нн — ам'г '), г < )', ]. [а (г ) ы — а(+)(г') )] (Ь)+'г ) — Ь (г +)), г > г'. (2) Значение 2иь а'Ь' (3) (21 ( 1)ДЗ ЬЗМ! из)Ь) следует нз условна на скачок произзоаной дС(,з/дг в точке г м г': бС', э — — -2т/Д', сравнить с 2.6.
Соотношения (2) н (3) определяют вид функции Грина (в случае а = 0 и (наи) Ь = оа эти соотношения несколько упрощаются). 4.24. Показать, что выполнение условия 3 й г[ГГ(г))йг > (21+ !)щ— 2гп е являетсп необходимым для существования в короткодействующем потенциале притяжения ГГ(г) ~(0 ((1 0 прн г-ч со) и( уровней с моментом ! частицы. Решение. Рассмотрим снзувцню, отвечавшую моменту возникновения пмп) по счету связаниога состояния с орбитальным моментом 1, и обозначим Ф„м = удч(3 т епз в ф.
с 8 ) = О, (и з (э) прн этом и, = и, — 1. Рэлнальная функция «ч)(г) имеет (и(+ 1) нулей, включая г = 0 (ь) и г = еа, н уловлстворяет уравнению (1Ч.5). Пусть, дзлсс, а н 6 представляют соседние является необходимым для существования в центральном потенциале ирнтяженнл С(г) < 0 ((Г(г) - 0 прн г -) оо) связанного состояния частицы с энергией связи се (прн ее - 0 зто условие соответствует результату предыдущей задачи). Решение. Выполнив сначала в уравнении (2) из предыдущей зааачя интегрирование по углам вектора т', выбрав направление г за полярную ось, патучэсм ж'=— (-, "и:ъя' о) = —, е ""' ((1 — е "'"'+ ) ' ')) < — (! — е '"" ).
нэгг' идгг' Поступая теперь как н в предыдущей задаче (в атпошсннн функции гфэ(г)), приходим к неравенству 102 Глава 4. ДВилгение В цвнтрпльнпль поле нули Х„,(г), Инеа в виду результат предыдущей задачи, эвисчасн, что Хчн на отрезке [с,ь[ и (ь) удовлетворяет уравнению ь Хь(г) = ~ В.е(г, г ) [-(т(г') Х„„(г')~ Вг'.
(2) ь 01 ь(гт г )[Р(г )[ дг >Р ! (3) Заменим здесь Сьь се иаксиивльныи значениси при гь = г'. Инея в виву форнулы (2) и (3) иэ 4.23, нетрудно получить 2пи"' ьь(г ь) 2 (2! + !)дт (4) С учстои (4), иэ (3) следует ь / . (-(т( )) Вг Э ( + ) (5) и так как на полуоси (О, со) имеется и, интервалов, на которых Хю, нс изменяет своего знака, и) н на хаждои из них справедливо аналогичное (5) неравенство, то, сунннруя по веси таким интервю)аи, приходим к утверждению задачи. $2. Состояния с малой энергией связи.
Частица в совместном поле короткодействующего и дальнодействующего потенциалов 4.25. Обобщить результат зада- и(г» О(г» чи 2.13 на случай в-состояний частицы в центральном поле. Найти условия существования и появления новых дискретных в-уровней в потенциалах: а) Г) = -а)гь при г > и и (т = со при г < и, рнс,20; В) ю -~/(~+ )'» О) В) (у = -(т а4[(гз+ от)з Рис.20 Рис. 21 е) (Г=-а[гьпрнг>п и (т=сопрнг(в;з>2,рис20; д» (Гю-а[г'прнг<п н (тюйпрнг>п;0(в<2,рнс.21. Решение.
Условию появления ноаою, Дг-пь по счету связанного состояния с ! = О при углуелении потенпиввьнод виы отвечает существование решения у, Ш, с о = О, которое На этан отрезке Хчз нс меняет знака, и Вудсы считать х, й О. Заметим, что функция в) (ь) Грина из 4.23 Вьь ш О н С),ь прининвет нвксинальнсе значение при г = ь'. Соответственно, подынтепьвльню) функпия в (2) нестрицвтельна. Виьв в (2) значение г = гь, отвечающее наксинуну Х(), на отрезке (о,Ь[, и эаиенив Х(),(г') под иитсьрвлои ив Х(),(гь) (от чего он иожст только увеличиться), получаем 0 2.
Состояния с молой энергиеи сбязи является о1раниченныы прн конечных значениях г и имеет при г со асимптотику Ф(г) ш С/г (при проиэвельнмх параметрах потенциала Ф м А+С/г при г сю). Рассмотрим решения у, Ш., удовлетворяющие таким условиям. а) Уравнение (1Ч2) лля С = -а/г" при 1 = 0 и В = 0»лменой переменной х т !/г приводится к аиду 4 /2 2»па — +а!2=0, а= —. 4Ь» =' = Л» (!) Решение сто, зсилуусловия при г сю, следует выбрать в виде П = Вз!и (с/а/г). При этом условие 22(а) = 0 определяет искомыс значения параметров потенциала с/а/а = пдг, или та пут (2) Л'а' 2 б) Имея и зилу уравнение (!Ч.5) и граничные условия к нему, замечаем, что спек- тры г-уровней в потенциалах пс(г) = /(1'+ а) н с» = /(г) при г > а > 0 и с» = оо при г < а совпадают (прн 1;е 0 это утверждение уже не справелливо).
Соответственно, искомыс значения параметров потенциааа опрслсляются прежней формулой (2). е) Уравнение (м5) для ут = — пза'/(г»+а') при ! = 0 и е = 0 с помощью псдстано- жш м = д/~Б~ + ау и х = аюсй (г/а) принимает вид 4' , 2 Пз໠— +(~а=О, (= !+ —. Ах» Л» В силу условия х(1 = 0) = сз(х = 0) = 0 его решение слевуст выбрать в зиле м = сап(х, или Ф=С)/' + —, ш (( »ВЯ). (3) При г со имеем аю»аз/а ш я/2 — а/г, так что Ф шС (з!и ( — ) — ~ — /соз ( — /), г со, и условие на асимпппику (Ф а 1/г), трсбуюшее, чтобы нп (»г(/2) = О, привалит к искомому соотношению (/2 = Лт (в. ф. (3) при этом имеет (Лà — !) нулей при конечных г).
Для потенциалов из г) и д) решение уравнения (1Ч5) при! = 0 и Ю = 0 согласно ()22 ! !) вырезается через цилиндрические функции. Приведем лип»ь ответи (в них а„я есть Лс-й по счету нуль функции Бесселя г„(х), нс считая нуля при а = 0): г) (4) з — 2 чй»а'1) " ' з-2 (прн г = 4 имеем и = !/2 и (4) совпзлает с (2)); прн этом в. ф. е момесст пшсвзення уровня имеет вид Ф = сю, (/)г иь) /стг (при г > а), п»е й = из/Вта/л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
