Galitskii-1 (1185111), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Энергетический спектр системы описывается выражением и Еч „„=) Е„„причем и, < пз «...пн. Вид с. ф. читателю преллагвстся обсудить самастоятсльно. Оз 2 53. Длв частицы в периодическом потенциале вида О = е А б(х-пп) [идеальный =-ьз бесконечный »кристалл», см. Рис. 16) найти систему независимых Решений уравнения Шредингера для произвольного значения Е.
Определить энергетический спектр частицы. решение. Обшсс решение у. Ш, при и < */а < (п+ 1) имеет вид Ф ы А схр (1й(* — гш) ) + В„ехр (-зй(е — на) ), (1) глс й = (/2шЕ/Лз. Рассматривая исзав наины с решения, удава стваряющие условию Ф (в + а) = РФ(*), получаем А В А„,ы —, В„,= — ". Р Р 13) НспРсрыэнссзь явавзэаэинх Ф па в з В тсчхзх в~ = зз слгют хз лвффишигшэашния акино" агния Ф(в, в) = О. б 4. Системы с неслолеяими степенями сбободы 89 В то жс время сшиванис решения в точке я = иа (согласно 2.6) приводит к соотношениям А„+ В„= СХР(Сса)Апю+ЕКР(-г»а)Вп И ( ) ~ ) = 2гтай / 2!та г 1+ — /1 А„— ~1 — — /! В„= ехр (г»а)Апм — схр (-г»а) В„ь »'» ,) ~ »'» / Исключив отсюда Апм н Впм с помошью (2), повучаем систему двух линейных относительно А„, В„ уравнений. Условие сушествования нетривиального решенив системы дает р' — 2р/(Е) +! = О, та /(Е) ш сов»а+ — ая»а, йг1, В„= р — ехр[э»а) А,.
(5) схр (-г»а) — р (4) -а О а 2а х Рнс. 16 Отсюда ркг = /(е) А З//г е) — 1 (6) Прн любом фиксированном Е (6) оп!юделяет два значении р, соогвстшвуюшнс двум независимым решениям у. Ш„при этом р~- рг = !. При / (Е) > 1 оба значения р тшествсниы. При этом оба решения у. Ш.
возрастают на больших расстояниях (атвечвюсоз а шее р, > 1 — при а +со а рг < 1 при а -со). так что они нс соатветсгвуют физически ретнзуемым состояниям частинм. О , 'л ]Зх] Зл»а )р! = 1, т. е. / (Е) < 1, или -1 < соэ»а+ —, еп»а < 1. (7) Таким обртом допустимме значения Е обра1ь! ш а зуют эеяи.
Если положить р ш е' *, где -к ( да ( э, йд — твк называемый кесзивмпульс (нс пугать с»»1), то, согласно (4), уравнение Рнс. 17 лля определения зависимости Е„(д) принимает вид (н+ 1 — номер зоны, см. рис.!7 лля а > О) 2тагЕ„ 1 2та'Е„ созда ю соз 1) у + гпа ~г~ ип ([ г (2т» Е„) Отметим свойства спектра'гг, слселошие нз (8). 1) Зависимость Е (д) является четной, твк что состояния, развичаюшнеся знаком квазиимпульса, яввяютсв двумя независимыми состояниями, соответствуюшнми двукратно вырожленному уровню Е„(д) 2) Зоны не перекрываются.
При а > О все они расположены в области Е„> О, причем ня <»а < (и+!)к, и = О,!,.... При таа/[(н+1)» ] »! зоны узки, с увеличением и их ширина увеличивается и прн таа/[(и+ 1)»'] « 1 они почти полностью занимают указанный выше интервал, При изменении знака а нижняя зона опускается в область Е < О (прн этом» вЂ” мнимая величина). (8) 'ь! Решения у. Ш.. огтчэюшнс оятлглсннону кэазниняульсу, называет руикцигни блеза. ггэ См. задачу 8.32, в «стерев более яощюбно ебсглласкя случай слабого поля, ягав)дг < 1.
Глава 2. Одномерное Вбижение 3) Прн значениях энергии, блнэкнк к границам зоны (прн д, м О н дт м жк/а), зависимость Е (д) является параболической, т е. Е(д)-Е(д, з) ы (д-д, з)' (сравнять с 8 32). В заключение отметим, что с.ф. гэмнльтохиана в ленной задаче не нормнруемы на единицу, так что локализованные стационарные состояннн частицы в периодическом потенциале отсутствуют; в. ф. (1), (2) соответствуют частице, »свободно» (т.
е. без стреженей) движушсйся по кристаллу с кааэинмпульсам йд. еэ 2.54. Найти энергетический спектр частицы в потенциале (/ = а ~"' б(л — па), я=-ао где штрих у символа суммы означает отсутствие слагаемого с и ш О [екрнсталл» с дефектом — бононсиеи, рнс. !8).
Показать, что в дополнение н разрешенным энергетическим зонам в случае идеального крнсталла (см. 2.53) появляютсн новые дискретные уровни, соответствующие локализованным вблизи дефекта состояниям частицы. решение. Разрешенные зоны »нерп!Я, найденные в предыеушей задаче, являются разрешеннымн и в условиях данной задачи.
Действительно, произвольное решение у. Ш. дзя значений энергии Е„(д! нз разрешенных зон квк прн а > О, твк н прн я < О своднтсн к некоторой суперпознцнн двух независимых решений э строп> периоднческом потенциале, отвечаюыих определенным кэазннмпульсам жйд н не возрасгаюшик при э -ч жсо. Отличие от алучая строго пернолнческого цотснцнвлв состоит лншь в том. что теперь неэавнснмыс решения у. Ш.
уже нс отвечают определенному значению квазннмпульса (нвгляано: происходят рассеяние— изменение квазннмлульса — частицы на лефектс решетки). Прн этом двухратнае вырожденно уровней сохраняется. Кремс этою, появаяются новыс Разрешенные значения энергии, соответствующие локализованным вблнзн дефекта состояниям частицы, Для нх олреаелсння рассмотрим решения у. Ш., от-2и -а О а 2а х вечаюшне определенной четностн (относительно рнс. 18 отрюксння а -э). Дхя чстнык Решений при !в! < а имеем Фл = Ссозйэ. В то жс время прн к > О решение у.
Ш. должно совпадать с решением у. Ш, в периодическом потенциале, удовлстворяюшнм уаловню Ф(э + а) = РФ(э) с р < ! (аруюму неювнснмому решению отвечаю Р = !/р > 1, такое решенно возрастает прн х +со). Это решение прн и < а/а < (и+ !) имеет внд (й ш (/2шЕ/йт ) Ф ' = р" (А соз й (е — ла) + Е мп й(е — на)] . (!) Из условна его совпадения с Фг(е) прн О < э < а находим А = С, Е = О, а сшнваннс Решения (!) в точке * = а (согласно 2.6) приводит к соотношениям 2пнга созда=у, йацпйа= — ссзйа, лз (2) второе нз которых определяет искомые четные уровня. Отметим свойства спектра этих уровней.
!) Уровни — днскрстныс, число их бесконечно. 2) Уровни расположены по одному между соседними зонами непрерывного спектра, н в сяучае а > О самый нижний нз ннх лежит ниже основной зоны. 3) По мс!ю увеличения энергия уровня, как вндно нз (2), нмеем р 1. Прн этом область локализации частицы вблизи дефекте неограниченно увеличивается; для нормированной на елнннцу в.ф. уровня 2(! — Рз)й 2йа + цл 2йа 9 4. Системы с несколькими стеленкмн сбободы 91 В связи с этим отметим, что в случае таа/й' » 1 в. ф. нижних таких уровней Е, (з = О, 1,... ) с ь « таа/й локализованы в области (х( < а (при этом р « 1) и близки к в.
ф. стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой погенннальиой яме ширины 2а. Что же касается»новых» нечетных уровней, то в условиях данной залачи они отсутствуют. Решение. Независимые решения у. Ш, при х < О, где частица свободная, имеют известный вил. В области же х > О два независимых решения у. Ш. для любого значения Е облздают 0ВОйстВОм Ф! г(х+а) Л! »$) г(х) причем Л~'Рг 1.
прн этом для значения энергии е„(е) из разрешен- гг(х) ньы зон в бесконечном кристалле (см. 2.53) обз эти решения не возрастают при х +оо, а для остальных значений Е невозрвстаюшим является галька одно: и, с л~ < ! (оно убыаат прн х +со). Имея в виду эти замечания, легко сделать суждения о характере спектра чаотицы. 1) При Е > (Ге спектр непрерывен. При этом значения энергии, прниюысжашие разрешенным зо- О а 2а эа нвм бесконечного кристалла, двукратно вырождены (в соответствующих состояниях частица »свободно» движется по всему пространству. с некоторой вероятносгью отрюкаясь от границы кристалла). Остах ьные значения не вырожденные, п рм этом в ф. убмввст в глубь кристаша (частицы с такой энсргней полностью отражаются от кристалла).
2) При Е < Г/е спектр имеет такую же зонную структуру, как н в случае бесконечного кристалла. При этом уровни уже мевырожаеннмс; в. ф, убывает с увеличеииен расстояния от кристалла, в при * > О представляет опрелеленнуюсуперпозициюсостояннй со значениями кзезиимпульса хйе (частица с такой энергией лвюкегся внутри кристалла, атрвжавсь от его границы). 3) Кроме этого, при Е < (Гз могут существовать изолированные И»овин, которым отвечают состояния частицы. локализованные вблизи границы кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
