Galitskii-1 (1185111), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При этом а) В(Е) то'/2ЕЛ' О при Е со; б) В(Е) ш 2ЯГ)'/то' ас Е О прн Е О. 2) так квк в = т/2те/л', то из (!) следует, чта А(е) и В(е) являются аналитическими функциями Е, имеющими особые точки: а) точки Е = О н Е = са — корневме тачки ветвления; б) полюс в точке еэ, опрелелвемап усвовнем 1т/Тт)~5 = то/л. Рис. 1О Из-за наличия точек ветвления функции А(Е) н В(Е) являются многолистными (в паннам случае — двухлистнымн). Для однозначного определенна нх праведен е плоскости комнлексноб переменной Е разрез влаль вешсствсинал полуоси Е > О, см.
рнс. 1О, а. Твк квк нв физическом листе фаза точек, непосрелатвенна примыкающих к верхнему берс)у разреза (точки типа 1 нв рисунке), равна нулю и при этом й = т/'2тЕ/Лт > О, то е этих точках значения знвлнти мских функция А(Е) и В(Е) совпадают со значениями физических амплитуд А(Е) н В(Е). Далее, фаза точек Е на отрицательной полуоси Е < О физического лиатз равна к и для них /Е = 1(т/Е!. Соответственно, полюс Ез амплитуд при о < О (б-вмв) находится ив физическом лиатс, а значение Е, савпыыет с энергией единственного О 3. Состояния нелрерыбного спектра уровня д.с.
в яме. В случае барьера, о > О, аелзанные состояния отсутствуют, а полюс амплитуд при этом нвхслится на нефизическом листе (фаза Ее равна 3:г). Такие полюсы отвечают, как принято говорить, вцгмуальнмм уровням. 2.31. найти коэффициент прохождения частиц через прямоугольный потенциальныд барьер, изображенный иа рис. 11. Как изменяется полученное выражение при переходе к потенциальной яме ((уе с О)? Решение. Приведем выражения лля коэффициента прожзждения !! 4Е(Š— (Гс) Е > !ге, и-м+и "(гл-и-'чьти)' 4Е(туе - Е) Е С гте.
к,- ) и и(дйа-а и)' 23(Е) = 0 2.32. Найти значения энергий, при которых частицы не отражаются от потенциального барьера вида (г =х(б(х)+б(х -а) ), рнс. 12. Отдет. Значения Е, лри которых частипы нс атрюкаются ат барьера, являются корнями уравнения ддз цгда = — — ! й = ~/ — > О. оиг т! Укежем, что при решении у. Ш.
в асин итоги ко (П 4) в.ф. следуст опустить член, соответствующие отраженным частицам, т. е. сразу положить А = О, н в точках з = 0 н а = а воспользоваться условиями сшивания, установленными е задаче 2.б. Рмс. 12 2.33. Доказать независимость значения коэффициента отражения при данной энергии от направления падения частиц на силовой центр. Решение. Рассмотрим для определенности случал, когда тг(а) 0 при и -оо н ?г(я) -г (ге при * +са. Обозначим Ф (з) н Ф (*) а.ф. стационарных саатояний с алинакоаад энергией, но с пратнеоположнымн направлениями движения падающих частиц в область дедствия потенциала.
Оии имеют следующие асимптатики: е'ьь е А(й)е 'ь*, е -са (й = 3/2шЕгл'), Ф ш (ь = ф-и-а 7), и В(З)е 'ь*, а -сю, Ф ш е"'"'+ А(й)е'"*, * ч +со, и удоьлетзоряют у, Ш. -(Д'/2гл) Фь + гт(я) Фь = ЕФ,. Первое нз них при Ц, С 0 описывает 23(Е) в случае пстенцналь- Рис. 11 ной ямм, при этом (туа! — ес глубина. Отметим, что 23(Е) ! при Е ао (естественный физический результат). С другой стороны, Р(е) сс е 0 при е О. такое свойство О(е) — обшил кэантоаомеханнческип результат (см. зааачу 2.39).
Однако длл потенциальной ямы в исключительных случаях, когда 2гл((те(аз = яя, и — мелос, Ьз ухазаннея зависимость нарушается (при этом 23(Е) ! при Е -ь 0). Выделенность этих случаев определяется тем абаюлтельстаам, чта при таких значениях параметров ямы а ией пояеляютая новые состояния д.с. при ее углублении (см. 2. !3). Глава 2. Одномерное дбижение Умножал уравнение лля Ф+ слева иа Ф, а уравнение для Ф нэ Фь, н вычитая их почленно, находим после праатых преобразований Ф (х)Ф',(х) — Фь(х)Ф' (х) =соазв. (2) Вычислив левую честь (2) прн х хао с помощью есимптогнк (1) и приравняв результаты, получаем йВ = й, В. Отаювш и следует Рв(Е) = — (В(в = — (В( = Р (Е). й й, Г цхс Ф,'(х) = хр ( — уйх ) + ™ — „, Ц еое ЕГ(х')Г'(х")ФМ) Д Отсюда Ф+(е) =ехр ( — ~+ ( в ) рв(х)в с(Р) = / ('(х)фг(х) Ах, Рв(х) = /еаи ~Г(х') ех.
При этом условие согласованности выражений (1) н (2) лает с(р) = р'(р) 1 — (1Лпв)йй~) 0'Г(х)Г(х')евь ~вееех" у(р)ш/ Г(х) р(- — „(Ах Соотношения (!), (2) и (3) полностью определвют в, ф, Переходя к ее аснмптотнквм при жса, находим амплитуды прошедшей В(р) н отраженной А(р) волн: В(р) = 1+ — ', С(р)р(р), Р(р) = (В(р)!', ййв А(р) = — ', С(р)р(-р), Е(р) = (А(р)(в (эти формулы справедянвы как прн р > О, так и при р < О). Праизвсаем некоторые преобразования в полученнмх результатах (4).
Прежае всего, воспользовавшись формулой ()(1.3) н соотношением (Д1.2): Р(х) Ах Г Р(х) Ах = зр — + вер(ха) (5) хе ве х — хв (у ознечшт интеграл в смысле главного значения, е > О бесконечно мапо), преобразуем (3) к виду (2) (3) где С 2 ( Л У (я(н)! Ак) Ю С (р) = Лш((р(р)!'+ )р(-р)!') 2.34, Найти коэффициенты прохождения и отрюкения частицы в случае сепарабель- ного потенциала (см. 2.19). Убедиться, что общие свойства (!!.5) этих коэффициентов сохраняются и в случае сепарабельиого потенциала.
Решение. Удобно исходить нз интегральной формы у, Ш. (см. 2.42), имеющей дея сепвра- бельного патенанвяа вил (й = йв(/й): Я 3. Состоянии непрершбноео спеитро 4Я После этого из (4) получаем С)(р) + Л'т'[»у(р)1'- (е(-р)1')' (б) 4Лгтт)у(р)у( р)[ Сг(р) е Сз(р) Окюдв непосредственно следует: 2) П(р) = Р(-р), т. е, козффипиент прохожаенил для частиц, патюших как слева. так и справа, одинаков; 3) ПРи Е о со имтм Е(Е) к(Лт/йР)з(У(Р)У( — р)(з О; 4) прн Е 0 также н У(Е) 0 (сравнить с 2.39). 2.3$. Найти коэффициент прохождения частиц через потенциальный барьер, укаэан- ный на рис.
13. Рассмотреть различные предельные случаи, допускающие наглядное восприятие полученного выражения для Р(Е). Решение. В.ф. при * < 0 имеет вид Ф,' = си*+А(й)е "' (падающие частицы движукя слева направо, й = т/2тЕ/й' > О). При ь > О заменой переменной !/г з = 4 (- -1+ — ), гле б = ~ — г) у. П3, приводится к уравнению Фг + зФ; = О. Решение его. РР имеющее при л +со вид ухадйпый направо валим, следует вмбрать в виде Рис. 13 Фо =с(е)[В!(-з)+1А1(-з)) т с(е)и 'гзз 'г*схР ( — знг+ — ), и>! ! 3 4 ) где А!(з) н Вг(з) — функции Эйри. Из условий непрерывности в.ф. н ее производной в точке и = 0 нталим А и С. При этом С(Е) = Вг (-го) + о А! (-зо) + 1(б/да) (В! '(-го) + о Аг '(-зо)) где зо =б(Е/Уо — 1).
Вычислив нлатиость потока частиц, 3 = (й/2тт)(Ф'Ф' — ФФ"), прн * +оо: /они ш йб(С!'/ипю, н учтя, что лля паашощнх частиц уьм = йй/т, находим коэффициент прохожаения Уч,,„г»С(Е)(т у„ийе Формулы (1) н (2) решмот закачу. Отметим частные случаи. 1) Е < Уо, причем 4(1 — Е/Уо) »! (и (» 1) У(Е)ш ' р 4-- 4т/Е(Уо — Е) ( 4 2поет(Уо — Е)з ) (3) 1/о 3 йз!/оз (прн этом следует воспользоваться аснмптотикой наиболее существенного в (1» слатемого 1(б/йе) В1'(-зо), см. (34)). 2) Е > Уо причем 4(Е/Уо- 1) » 1 (прн этом йе »б), В(Е) ж 4;/Е(Š— Уо) ( /Е + ~/И=бе)' (4) Глава 2.
Одномерное дбнжение 3) ПриЕ О ! .4[(В!'(4))т+ (А1'(())т] нг Р(Е)шсхР( 3 ( Р'й' ) ) 2) при Е>О,когда(Е/Рс» ! Ртйт Р(Е) !— 32тЕт ' 3) Р(Е О) — 3/4, Я(Е = 0) = !/4. (2) 2.37, Поле У(х) имеет вид потенциальной ступеньки, т,е. У(х) 0 при х -оо и У'(х) Уе > 0 при х +со, рис,15. Найти энергетическую зависимость коэффициента прохождения частиц при Е Ув. Сравнить с результатом из 2.29. Решение. В.ф. при е хоо имссг вид а ее*+ 4(й)е "*, х -со [й = 3/2те/ггг), Ф+(в) = и" ..-+ О,=/шн-'шн). прн этом коэффициент прохождения Р(Е) = (Л~/а)(В(а)! При Е Ут имеем й, О, В(Ь,) В(0) м 0 и сотвстсгеснио Р(Е) ы (Е- У,)нт О. 2.38.
Найти коэффициенты отражения и прохождения медленных частиц, !со щ 1, в случае сслабогов поля У! г< й /то (Ус и о — характерная величина н радиус потен- 2 т циала). Сравнить полученные выражения с результатами для б-потенциала (см. 2.30). Решение.
Вне области действия потсипиала в.ф. имеет внл [ с" + д(й)е "', е < — о, (П ( В(а)с'г*, х > о. 2.36. Тоже, что и в предыдущей задаче, в случае барьера У = -Гв(х], рис.14. У(х) Решение. В.ф. имеет вид Ф~(л) = 4 ! [В!(щ) — гАг(з)]+о(Е)[В!(з)+гА!(з)], в<0, ![ Ь(Е) [В! (-лт) + т Аг (-зт)], в>0, т ьо где т~ т =4(яЧ Е/Рь) и 1 = (2~Щ/Л ) . Она записана этаком виде, глс кажлос слагаемое в квввратных скобках нв больших рнс. 14 расстояниях описывает рвспрострвняющуюсв в сгютщтствующсм направлении волну; прн этом а(Е) и Ь(Е) яввяются вмплитудамн отраженной и прошедшей волн, твк что Е = (а(Е)!', Р = !Ь(Е)! (сравнить с прсаыаугксй зслачсй).
Условна непрерывности Ф~ н Ф!ьу позволяют найти о(Е) и Ь(Е). В частности, Ь(В)— я (В! (Ч) 4 т' А! (Ч)) (В! '(Ч) Е $' А! '(Ч)) где Ч = -(Е/Рс (при этом учтено значение вронскивна В'(А! (г), В! (з)) =!/1г). Используя всимптотикн функций Эйри (34), нетрудно получить следующие выражения двя Р = (Ь(Е)!: !) при Е < О, котла (!Е(/Рс » ! О 3. Состояния непрерыбного спектра В области же )е! < а из у. Ш. Фв = (2тГ(е)/Л' — Ь')Ф в условиях зааачи следует, что пРиближенно Фь и С, + Сьз (действительно, так как Ф" Ф/оь, то У, Ш. в пеРвом приближении лля слабого поля при Ьа « 1 принимает вид Ф" = 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
