Galitskii-1 (1185111), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2.4. Глева 2. Одномерное дВижение области действия ям не перекрываются, так что У(0) = О. Показать, что средняя сила, с которой частица действует на ямы в стационарных состояниях дискретного спектра, приводит к взаимному притяжению ям в четных состоянияк н к их взаимному отталкиванию в нечетных состояниях. Решение. Среднее значение силн, дейсгвуюшсй со сто- роны частиша на правую лму, дается интегралом (Р )„„= ! — Ф„(*) б*. / ВУ с Выполнив интегрирование ло частям и воспользовавшись Рнс.
т у. Ш., получаем Ьз (Ртз) = Еле (0) + — (Ф (0)) (!) Для четник состмний имеем Ф~ (О) = О, и так как Е„< О, то (Р„р)„< О; дпя нечетных уровней Ф„(0) = 0 и (Рьь)„„> О, что и дотыыввст угвсрндснис задачи 'з!. $2. Уравнение Шредингера в импульсном представлении. Функция Грина уравнения Шредингера. Интеграланая форма уравнения Шредингера (3) Огсюда (Е = -)Е! < 0) Ф(р) =— яй рт+2т(Е! Условие согласованности второго из вырсксний (3) и (4) дает (4) пза / ер а / т яй,/ рт+2т(Е) Ь)/2(Б)' 'з! Отмстил, что силь, действующая иа левую я из, отл илвстся от (ц знаком.
2.17. Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера в случае потенциала У(х), обращаю!цегося в нуль прн х -ч хоо. На основе этого уравнения исследовать состояния дискретного спектра в потенциале У = -аб(х) и сравнить с результатом 2.7. Решеяне. В импульсном представлении 2' = рз/2от и рт/2т является онсратором умножения.
а У является интегральным оператором с ялром У(р, р'), равнмм (см. !.4!) ! г ( тра! У(р, р) шУ(р-р'), У(р) = — / У(х)стр ~- — / Их. 2яй / Ь) (!) Таким образом, у. Ш, в импульснол! представлении имеет вил з ЕФ(р) - =— Ф(р) + / У(р — р)Ф(гз') бр' = ЕФ(р) 2 из (2) -х В случае У = -аб(х) имеем У = -т,ь и уравнение (2) принимаю вид — Ф(р) — — с = ее(р), с = ~ Ф(р) ер. р а 2т 2яй 9 2.
УраВнение Шредингера В импульсном предстаВлении 39 2.1аы. Исследовать связанные состояния частицы а потенциале (/ = -а[б(х — а) + б(х+ а)) на основе уравнения Шредингера в импульсном представлении. Решение. В данной задаче й (р) = — —,» (е'г'!» + е"'™) и у. Ш. принимает вмд (см. предыду- шую закачу) г 0(р) — — (е' 'г"С+ + с "'г" С ) = ВЕ(р), 2т 2»гд» где (2) Отсюда, обозначив и' = — 2н»Е/Иг,а = та/Л', находим Ф(р) = — (е"'г»С +с " Л С ) ал, » 1 з. + 1»г Едгхг' Подставив (3) в (2) н вычислив интегралы (см.
/2!.3), получаем С, =-(С +е ам С ), С = -(е ы'С++С ). (4) и и условием существования нетривиального решения этой системы является выполнснне одного мэ двух ыютношений (3) х = а (1 Х е ы'), (5) которые и опрсаеляют энергетический спектр, Первое из уравнениИ (5), атеечвюшее выбору знака (+), имеет адин корень (цри а > 0). При ега реаяизации из (4) следует С, = С, г. е. соответствующий уровень является чеывын (см. (3)), энсргив этого уровня при аа ~ 1 равна ее+ ш -2та'/л' (две б-ямы нв близком расстоянии дслствуют как одна, ио с удвоенным значением а, сравнить с 2.1). Прн аа » ! имеем г + та Е+ — — (1+ е ) ~г (з этом случае экспоненциальное слагаемое в (5) маха, н, пренебрегая им, получаем ме+ ы а; подставив это зваченне а показатель экспоненты, приходим к более точному выражению дхя хз, коюрае и использовано при вычислении Е»+).
Второе из уравнений (5) определяет нечетные уровни. Евинствснныб нечетный уровень имеется лишь при аа > 1/2, сравнмгь с 2.!3. Его энергия в момент появления (т. е. при 0 < аа — 1/2 4. 1) равна Е; м-(2аа-!) —, г 2таг' а при аа » ! находим та г -»Ъ = — (1-- ) 2дг нечетный, сенввютсв в один уровень, сушесгвуюший Е, При а ао, оба уровня, четммп и в одной изолированной б-яме. 2.19. Рассмотреть связанные состояния частицы в случае селарабельного потенциала, представлякмцего нелокальный интегральный оператор (/ с ядром 2/(х, х') = -А/(х)/'(хг), исходя из решения уравмения Шредингера в импульсном представлении.
Решение. Ядро оператора т/ в импульсном представлении » т/(р, р') = -зд(р)д'(р'), д(р) = — / -"*" /( ) бв (1) »/2хл .г что представляет уравнение дяя спектра. Оно имеет (при а > 0) только одно решение Е, = -таг/2Д'. Этому уровню отвечает в.ф. (4), которая при С = у»2хта/Л нормирована на единицу, сравнить с 2.1 Глвва 2. Одномерное дбизсение (сепарабельная, нли факториюванная форма ядра оператора взаимодействия сохраняется, естсш евино, в любом представлении) н у. Ш., см.
2А 7, принимает впл з р й(р) - лд(р) 7 д'(р')й(р') «р' = еф(р). (2) Отсюда (4) 2.26, Найти функцию Грина 6п(х, х') уравнения Шредингера для свободной частицы при Е < О, убывающую при )х — х') -г со. Функция Грина удовлетворяет уравнению йз 82 (Й вЂ” Е)бп Б — — Ся ЕСя = б(х — х'). 2гп Вхз С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для состояний дискретного спектра в короткодействуюшем потенциале (7(х) ((7(х) 0 при х жоо) в виде интегрального уравнения. На основе этого уравнения рассмотреть связанные состояния частицы в б-яме и сравнить с результатами задачи 2.7. Каков вид функции Грина в импульсном представленин7 ф(р) = д(р), с = ~ д'(р)ф(р) «р. 2юЛС условие согласованности этих вырюкеннй приводит к соотношению ! з гшл ( д(р)) «р= г, ,7 рз — 2шЕ -н опрепеляюшему энерштичсский спектр связанных состояний частины. Рассмотрим следствия этого соотношения, Е При Е < О, интеграл в (4) является монотонной положительной функцией )ЕЕ равной нулю при (Е) = со.
Соответственно, в случае Л < О, уравнение не имеет корней (связанные состояния отсутствуют). Если Л > О, то имеются пве возможности: я) д(0) ~ О, тяк что интеграл в (4) при Е 0 равен +со. В этом случае всегда имеется только одно связанное состояние. В пределе Л 0 также и Ее О; при этом в интефзле в (4) существенна область малых р, так что можно вынести за знак интеграла (д(0))з и получить Ее м -21гзгпЛ (д(0)(', Л О.
(5) В прутом прелельном случае, Л оз, также и -Ее со, прн этом Е. -Л /)д(р)!з«р. (б) -Ю Заметим, что (Ее(Л)( является монотонно иозрестаюшей функцией параметра Л. б) д(0) = О, причем ) )д(~р з «р = А. В этом случае при Л > (2гпА) ' также имеется одно связанное состояние, а при Л < (2тА) ' нх нет. 2. При Е > 0 в случае селаребельного потенниала может иметь место необычная ситуепия, если д(ре) = 0 для некоторого ре м О, причем (д(р)(~(рз — рез) «р = В < со.
В агом случае ири Л = Ле = (2юВ) ' имеется свяшнное состояние частипы с энергией Вч т= рез/гш > О. Этот дискретный уровень находится непосредственно на 4юне непрерывного спектра. О 2. Урабнание Шредингера б импульсном лрадстаблвнии 4! Решение. 1) Решение уравнение лля функции урина Се прн х < х' имеет вид Св = А(х') ехр (к(х — х'))+В(х') ехр ( — х(х — х')», к = (/-2тЕ/Л > О. Условие убывания Св при -оэ требует выбора В(*') = О. Аналогично при х > х' имеем Св = С(х') ехр (-к(х-х'Ц. В точке х = *' функции Св непрерывна, а произволная С~я имеет скачок, равный (сравнить с 2.6) 2 Сл(* х +О х) Св(х=х О х)= Лг С учетом этих условий находим т бл(х, т ) = — ехр(-к(х- я ().
кй' О помощью функции Грина общее решение уравнения Лг — Ф" (х) — ЕФ(х) = /(*) 2пг лля Е < 0 модно записать в виде (2) Ю Ф(х) = Ас "*+ Ве"*+ / Сл(х *)/(х)ах. и (3) Если в (2) поладим / = — С(х)Ф(х), то приходим к у. Ш., а его формальное решение (3) при этом яшистсв уравнением Шредингера в интегральной форме, Твк как лля физических прнло:кении обычно представляют интерес Решения у. Ш., не возрасиюшие при х доэ, и так как прн этом интегральное слагаемое в (3) убмваег, то в (3) следует полоидть А = В = О, так что у. Ш.
в интегральной форме принимает вид Фе(х) = — — гхр (-к(х хЦС(х)Фя(х) дх. кй Ю (4) Оно эквивалентно дифференциальному у.Ш. с учетом граничных условий — убыванид Ф(х) при х Дсо, и имеет Решение лишь при значениах Е < О, прннаалежаших энергетическому спектру. Для С = -об(е) уравнение (4) принимает вид ат Фл(х) = — у Фл(0) ехр(-к(х!), (Е-Е)Ся= 1, В=— 2яг ' Зго операторное уравнение справедливо в лролзммьлем лледстсеееяеи. Его формальное решение имеет внд Св = (Š— Е) .
В импульсном предо!явлении Сл = (Р'/2из — Е) является оператором умнокення. Используя результат задачи !.41, находим его ядро в координатном представлении (5) С е М*-е'11ь др щ - 1*-У1 / 2хЛ(рг/2пг+ )Е() кЛз что совпадает с (!), значение интеграла — см. Й1,3. непосредственно определяющий в.ф.
и энергию Ее = -пга'/2Д' единственного уровня д, с. в б-потснпиале. 2) Отметим, что функцию Грина мо:кно Рассматривать как линейный оператор Сл, вдро которого в координатном представлении имеет вил Св(х, х). Прн этом из уравнения для Св(х, х') следует Глава 2. Одномерное ддижение 2.2 от. Рассмотреть задачу о связанных состояниях частицы в случае сепарабельного потенциала, см.
2.19, исходя из решения уравнения Шредингера в интегральной форме. решение. у. Ш. в интегральной форме в случае сепарабельного патенпивла принимает еиа Лпо ГГ Фв(х) = т 0 охр( к(х хИГ(х)Г (х )Фб(х )йх йх (1) «й' 33' Обозначив С = / Г'(х)й (х) йх, из (1) сразу находим вид в. ф. (2) ЛтС г Фб(х) = — / ехр (-х(х — х 0Г(х ) йх. (3) шЛ (5) б) Прн Л оо также к со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
