Galitskii-1 (1185111), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Замечая, что он яыыешя четной функцией е и з', заменим нх на йй и Щ Разобьем область ннтстрирования на дее; (-оо,о) и (О,оо) и после простык алгебраических преобразований приводим его к виду та Г схр(1Л((е) ь(с'В) 2я,у Л+ 1а Так как а > О (б-барьер), то, замыкая контур интегрирования в (2) в веркнюю полуплоскость, находим, что этот интеграл равен нулю. Таким образом, у(е, *') = б(* — *'), что и выРажает условие нозломы системы функций Ф+(з). 2.44.
Обобщить результат предыдущей задачи на случай б-потенциала притшкенин Е = -а б(х), а > О. Решение. Сделав в формулах предыдущей задачи замену а на — а, имеем: гс Ф„"(. ')Ф;(*) бр = б(*-*')+ — 1 бй, 1+1... за Г екр (1Л((з) + )е')Ц (1) (а = нга/Лз > О). учитывая значение интеграла в правой части"' в виа нормированной в.ф. Фз(з) елинствсниого состояния л.с. в б-яме (см. 2.7), замечаем, что второе схашсмое справа в (1) равно 6 6.
Состояния непрерыВного слектро (2) Де = Ьза/ — схр Ыц~ — [и - и'[ в. — )/2йгЕ ~ )/ Ла (4) (отметим, что жз/е = т/е е !» и для перехода ст значении Е > О, для котормх и приведено зго вмрзжение, к Е < О следует просто заменить Ыъ/Е на -ч/~-Е)). Второй интеграл в (3) (фактически сумму четырех интегралов) можно упростить, если, заметив, что он Ааяяетсл четной функцисл е и и, заменить их на [е[з [е [ и зпсм гаазбить область интегрирования на две: (-со, О) и (О, со). При этом происходит взаимное сокращение большииспм слащсмых, так что весь вгорои инзчпзах в (3) приводится к виду зпщ / ехр (зй([е[+ [а'[)) бй яйг / (йг- (лайз»))(а+за) его лепзо вычислить с помощью вычетов замыканием контура интегрированна в верхнюю полуплоскость. При этом внутри контура имеется лишь один полюс в точке й = жйе+ з г (лри Е < О, полаю в точке й = Цйе[) н выражение (5) оказмеаегся равным е-!в иго ехр (йзйз([е[+ [е [)) Лй жй +за Окончательное вмражение для функций Грина имеет вид ,п ( г /2зззЕ ! пзоехр (жз.(/2щЕ/й ([л[+ [а [)/ ! 6е = й — г~ !ехр ~йз)/ — г[е — е'[~+ — (Ч— (6) УРЕ ( Л (ЕТ/2иФЕ + пна) Точно так жс, как и в случае свободной частицы, найденные функции Грина можно рассматривать как циничные значении единой функции Сл, рассматриваемой как функция комплексной переменной Е и получаемой из (6) опусканием знаковмх индексов (й) (сравнить с 2.42).
Отличие аналитических свойств Св в лаинол залаче от случая свободной частицм состоит в наличии у нес полюса в точке з/Ез = -за(/щ/2йг, т.с. Ез = -изаг/2йг, причем, твк как о > О, этот полюс находится на исфизическом листе и отвечает виртуальному уровню (сравнить с результатом следующей залечи). Решение. Искоммс функции !)анна удовлетворяют уравнению йг б~ — — — +об(е)- Е)бв(а я) =б(з-е) 2щ бег (!) и соответствующим граничным условиям. Используя общий метод их построения (см., например, [!5, с.
!36[) и учитмеая, что в псле опалкивания отсутствуют состояния д. с„ имеем Ол = / фг (е)фг(и) г рг 2щ(Е й;») (» > О бесконечно мало). Здесь Фг(е) — нормирощннме на б(р — р) в.ф., описыщющие процесс отражения. Подставляя их явное вырюксние (они без множителя (2кй) 'г' приведены в 2.42), получаем ги / ехр(зй(е — е')) зщо / бй ! ехр(-з(йе' — [йе!)) кй / й — (йзжз7) згй ~ й — (йьжз») ! [Л[ч зп ехр (з(йе- [йа [)) сэр(-з([йе ! — [Ле[)) сэр (-з([йе ! — [йх[)) ) [й[ — за е 2([й[ — зе) 2([й[+ за) (3) где а = що/Лг, йег = 2щЕ/Лг. Первмп интеграл здесь предсщвляст функцию Грина свободной частицы (см.
Д!.3 н 2.42) бб Глава 2. Одномерное дбнжение с2(р') = — / с,'(р", р') ~", (2) получаем из (1) Сл = (б(р — р') — СвФ] Е (3) Проинтегрировав зто выражение по р в бесконечных пределах и учтя (2), находим явный вид функции Сле (р'), а с нею и функцию (рина частицы: б(р — р') о1/2 й»Е Сь(р Р) = Р г 2щ — ет тт 2яй(тггтпгй»е х 1то) (р»12т — еж гт) (рог2ш — е ж гт) (4) Отметим, что Сл(р, р') можно было бы найти и по функции С2(х, *') из 2.45 переходом к импульсному представлению согласно 1.41. $4. Системы с несколнкими степенями свободы. Частица в периодическом потенциале 2А8. Найти энергетические уровни и соответствующие волноаьге функции плоского изотропного осциллятора.
Какова кратность вырождения уровнейт Решение. Так как операторм й» б» йх' - д' б» йу' Й,=- — — + —, Й,ш- — — + —" 2п» бх» 2 ' 2и» ду» 2 коммутируют друг с другом и с гамнльтонианом плоского осциллятора, равным Й = Йг+ Й», то с. ф. Й могут быть выбраны также ссбствеинымн функциями Й, и Й». Учитывая это обстоятельство и известное решение у. Ш. для линейного осцвщятора, см.
(П.2), находим уровни энсрпги и с. ф. плоского осциллатора в виде (см, также Ю.25): ЕММ(Х, р) = Е"„,"(Х)ф„,'(р)1 Еи шь (и и О, У =О, 1,..., 2А6. То же, что и в предыдущей задаче, для б-ямы. Решение. Из уравнения для функции фина частицы в б-потенциале и граничных усло- вий следует, что полученное в предыдущей задаче вырюкение (б) сираеедлиео прн любом знаке о, т.е. как для барьера, таа и для ямы. При этом в случае потенциала притяжение полюс Сх находится уже иа физическом листе к Ее совпадает со значением знерпги уровня, существующего в б-яме.
Отметим, что если иметь е виду формулу (2) предыдущей зааачи, то переход от барьера к яме состоит не только в замене о на -и, но и в добаахеини к правой части свапюмого Ее(х')Ее(х)у(Š— Ее), отвечающего связанному соспжнию. Однако теперь при вычислении интеграла (5) с о < б внутри контура появляется еше один полюс: в тачке й, = йо(. вклад от этого полюса компенсирует укв»анисе дополнительное слагаемое, что и обеспечивает справелливость формулы (6) прн любом знаке о. 2.4г. Найти е импульсном представлении функцию Грина частицы в б-потенциале (Г = а б(х). Ршиенле.
Уравнение лля функции Грина в импульсном представлении имеет вид ( ) °, г и — - (Е Е гт) Сле(р, р') + — Ся~(р", р') бре = б(р - р'). 2гп ,Г ' 2 яд,г (1) Здесь учтен еил оператора Й (см. задачу 2.! 7) и заеден ы добавки »Ы т к энергии, обеспечива- ющие выполнение требуемых граничных условий (сравнить с 2Д5).
Обозначив О 4. Системы с несколькими сглеленлми сбободм 57 где /й ы=)( —, Д|=п|+и|1 п,м0,1,2,, п|-0,1,2, так как уровню ен с даннмм значением Ф отвечают (лг+ 1) нсзависимыс с.ф. Омю с и, = О, 1,...,/у (при этом и| = Лà — и,), та ан является (И+ 1)-кратно эырожлсннмм. 2.49. Найти энергетический спектр частицы в потенциале (/ = й(ха + уз)/2+ аху, )а( < й. Рви|ение.
Запишем патснцнал ввиде ьг = й,(*+у)'/4+й,(в-у)'/4, гдс й, | — — ййи > О. Если тслсрь псрсйти к новым переменным *, = (а + у)/з/2 и у, = (-и+ у)/з/2 (поворот на н/4 в пяаскостн (ву)), то гамильтониан примат вид суммы гамильтоиианав двух исзависнмьш осцилляторов: з Л д йз | Н = — — †.1. — л, — — — + — у|. 2п| двз 2 2|н ду", 2 Соотштствсп|зо энсргстичсский спектр системы имеет вид Еию =Л|~ — (и, ~--)+Л~/ — (пз ~--); а с.ф., атвсчаюшис этим уровням, ачсвнлиым образом выражаются через с. ф, линейного осцнллятора (сравнить а прсдыдушсй задачей).
Читателю прсдлашстся обсудить свойства иижнсй части спектра в случае (о( < й (см, по этому повалу 8.4 и 8.5). 2.$0. Найти спектр гамильтонианв 1 1 2 1 3 3 Н = — р, + — рз + — й(х, + хз) + ах,хз, )а( < й. 2М 2пз 2 Решение. Положив у| = х,/7 и уз = хг, глс .Г = /т/М, получим г | | Н = — — — з — — — + — (7 У| + Уз) + п7У|У|. 2 ду', гш ду,' Путем поворота коордниатн ьп осей в пвос кости (у| уз) потап пиал в этом |вмильтоиианс может быть приведен к диагональному виду Н = й,у|'/24-йзрз~/2. )(ля опрсдслсния й, | заметим, что если записать пота н цнал кмс Н = й |у у|/2, то при повороте снсш мы коо|здинат всличй вы йн преобразуются как компоненты теньера. В наладкой системе коарлинат йн = узй, йп = й, йп = йз, = о», а в повсрнтгой йн = й|, йзз — — й„й(з = й'„= О.
Учнтываа инваРиаитиость при врашснии следа тснзора и детерминанта матрнцм, составленной нэ сто компонснт, имеем й„= й, + й| = й(! + у ), сс1))й„1) = й|йз = (й - и )»'. а ° '| и:7(ч Рт йсз —— 2 В навык псрсмсниьш у|л гамильтоииан принимает внл суммы гамильтониаиов двух нсзависиммк осцилляторов, что позволяет сразу опрсдслнть сто спектр: Е„„=Л)/ — н, +-)+Л)/ — ( и|+ -)1 и|,п| =0,1,2, ""= )/ ~ 2,) )/ Читателю прсялапмтся рассмотреть свойства апсктра в случае М » |и (см. по этому пово- ду 8.59). Глава 2. Одномерное Здижение 2.5»з.
Две частицы одинаковой массы находятся в одинаковом же потенциале (/(х~ з) и взаимодействуют друг с другом как «непроницаемые» точки. Найти энергетический спектР и соответстВующие волновые функции такой системы, считая известным решение одночастичной задачи в потенциале О(х). Рассмотреть в качестве иллюстрации случай двух частиц, находящихсн в бесконечно глубокой потенциальной яме. решение. У. Ш. при х, < вз (считвсм, что 1-я частица — слева ат 2-й, твк что Ф(н„е,) = 0 прн и, й эз) нмсст еид 2 (Й(1) +Й(2))Ф = ЕФ, где Й = — + Щх) 2ш одночвстичный гэмильтоннвн.
Рассмотрим теперь функцию Ф(в„ез), равную Ф(ин ез) при и, < *з и -Ф(*з, в~) при е, > *,. (Ф представляет антиснммстричиас пралолженис Ф на область в, > пз). Твк как оиа непрерывна в точках в, = эз и имеет при этом нспрсрмвныс прои»водима~я, то Ф удовлетворяет укаэанному у. Ш. Уже при всех значениях з,, вз (лвя симметричного продолжения праизжшнвя в тачках *, = *, имеет скачок и такое утверждение несправедливо). Его обшсс решение очевидна: Ф„,„, = Фч(в,)ем(эз), Е нч = Е, + Е „ где Е„и Ф„(а) — спектр и с. ф. адисчастичиого шмнвьтонивив.
При жам внтисиммстричный характер рассматриваемых в.ф. Ф требует выбора их в виде Ф..., = д [Р.,(щ)Ф„,(*,) — Ф.,(*,) Фм(*,)] и наклалмвает ограничения иа н, з . п~ ж из. Таким образом, Ф„,м = [Фч(я,)Ф„з(вз) — Ф„(в,)фч(вт)~, Е„,, = Е„, + Ем, и, < и, (е~ < вз) При этом энергетический уровень является двукрзтно вырожденным: второе независимее решение у. Ш, соответствует ситуации, котла 1-я частица находится справа от 2-й. 2.52, Обобщить результат предыдущей задачи на случай )У частиц. Отлет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
