Galitskii-1 (1185111), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Так как Ф(л) при х -оо (з 0) имссг шш Ф гс с" г' = з", то решение уравнения (2) следует выбрать в виде ш = сР(о, !у, 7 з). Собтветственно, Ф =с — г»Р(о,ф, у,л). 1 (з) (1 - с)' Отсюда при * (н е) +со имеем Г(7)ГО! и) ! Г(7)Г(о р) ! Г(р)Г(7-о) (-*) Г( )Г(7-р) (- )~) 'ю-'"( Тзк как з "" Л = е"* возрастает при л +со, то необходимо псгрсбсватьь! выполнения условия о = -и, глс н — палое, которое Фактически оорспсласт энергетический спектр (, аз л' -» г»г»з»=у» ° — -у — ( ° -1, =ь. н Ч ' а ' Чг з'з, гу'' Аивл из спектра прсллагасгся лля само»гааге»ьного исследования. Отметим в заключение, что пви (г, = (гз = (гс РассмотРсннмй потенниал аевсзшпп в ьг = —;-шь !!а — !; см.
(1, с. 93). з! при »зон Г(а) = сс и засосе слашсисс в !4), возвестив»не при е +оз, абрахамс» е нуль; условие т - Р = -и нс может резлизсла пса. Я 1. Стационарные состолнил дискретного спектра Зб Решение. !) Стационарные состояния имеют ощмдтелкую четность. В. ф. чгюнмх уровней при 0 < (э! < а имеют вид Ф' = Амп(Л()э! — а)) (учтено граничное условие Ф(а) = О), () где Л = г„/2тЕ/Лг > О.
Условия сшивания в. ф. в точке х = О (см, формулы (2) из 2.б) приводят к соотношению, определяюигему спектр четных уровней: (/= Ла тоа — гбйа = —, 4' Лг (О При ( » 1, дея нижних уровней (таких, что Ье ~ () в праной части 11) стоит малая величина. Поэтому Л„а = пя-г, тле е « 1 а и = 1, 2,...
— поряшсовый номер корня (и четного уровня); согласно (!) находим г ю пх/(, так что Лгкгпг (индекс (+) указывает на чстность уровня). Для нечеешмх уровней в, ф. имеет вил Ф = В ып Ьа и условие Ф (а) = О определяет нх спектр: Лгхгпг Е, = —, п=!,2,.... 2таг ' (в нечетных состояниях частица не чувствует наличия б-потенциала). Сравнение Е» у Е„подтверждает указанный в условии зааачи характер нюкней части спектра, 2) Спектр четных уровней в области энергий Ла » ( легко найти из (1), пологкив Ь„а (я — 1/2)и+ е г < 1: Лгггг(2п - 1)г о (2) Згпаг а Здесь первое слагаемое соответствует спектру четных уровней в бесконечно глубокой яие ширины 2а, второе — смещению их под действием потенциала о б(а).
3) Заметим, что в сеучве о > О в квжлой паре близких уровней нижним является четный, при этом бЕ„= Е„-Е„ю ~ — /гЕ„> О. /" (3) В случае а < 0 ситуация иная: теперь четный уровень является уже верхним. Однако в этом случае в ншкней части спектра в дополнение к описанной картине пар близко расположенных уровней появляетса еше один четный уровень с энергией Е" ш -Л'хс/2»п и в. ф. Фе» ю,/щехр(-хе(а)), где хе = ги(о(/Лг. Этот уровень соответствует частице, связываемой» б-ямой, Ьг = -(о(б(*), сравнить с 2.7 (при этом наличие непроницаемых потенциэпьнмх стенок при х = жа приводит к некоторому смещению такого еб-ямного» уровня вверх, найти его преллвгается читателю самостоятельно).
2.22. Обобщить результат предыдущей задачи иа случай, когда 6-барьер разделяет прямоугольную яму несимметричным образом. Решение. Рещение у, ш. имеет вил Ф = А з!и л(э+ а) при -а < л < О и Ф = В ып ь(з — ь) при О < х < ь, где ь = »/ 2те/лг и учтены граничные условна Ф(-а) = Ф(ь) = О. сшиванне 2.11. Найти энергетический спектр в потенциале вида: (/(л) = а 6(л). е > 0 при (э( < а и (/ со при )х) > а (рис. 5).
Показать. что при выполнении условия пгеа/Лг » 1 нижняя часть спектра состоит нэ последовательности пар близко расположенных уровней. Каков спектр сильно возбуткденных состояний частицы? Какова картина энергетических уровней при е < О? Главе 2. Одномерное дбижение решений при х — — 0 (см, формулы (1, 2) из 2.6) приводит к соотношениям 2глп Айпяа = -ВмпЛЬ, ВсозЬЬ-Асозяа= —, Ампяа, Лбт нз которых следует уравнение для спектра энергетических уровней частицы: 2«ии мп Л(а + Ь) = — — 51п Ла пл ЛЬ Ьлт (1) (прн Ь = а оно переходит в формулу (!) из 2.11). Отметим пекоторыс саобстаа спектра.
1) В области значений Е, аая которых пэп/Ьбт ~ 1, правая часть (1) мала и поэтому Ь„(а+Ь) ш к(п+ 1), как и прн «свободном«движении частицы в яме шириной (а+Ь) (читателю преллагастся уточнить результат, найдя сдвиги таких уроанел пад влиянием б-потенциала, сравнить а формулоЯ (2) из 2.11) 2) В противоположном случае, когда ша/Ьлт » 1, произведение синусов в (1) мало, так что либо гт„, м «г(п, + 1)/а, либо Лм ш я(пт 1- !)/Ь.
Прн этом спектр представлвет наложение спектров, соответствующих независимому движению частицы а левой и праеоЯ ямах с ширинзми а и Ь (д-потенциал выступает квк малопроницаемая «перегородка ). 2.13. Исследовать поведение решения уравнения Шредингера при х -««со в случае Е = 0 для потенциала, удовлетворяющего условию (/(х) -«О при х -«хоо.
Показать, что не возрастающее как при х -«+со, так и при х -« -оо решение Фл-а(х) уравнения Шредингера существует только при исключительных значениях параметров потенциала, отвечающих условиям появления навык состояний дискретного спектра при углублении потенциала. Какова число дискретных уровней частицы, находящейся: о) в прямоугольной потенциальной яме глубины (/а и ширины а: б) в потенциале (/ = — аб(х) — «б(х — и), в зависимости от значений параметров потенциала? Решение. При шктаточпа быстром и! убывании «г(е), у, Ш. и его решение при е хсо принимают вид: Ф« = О, Ф = А«+В«х, т с.
решение является, ваабше юворя, возрастающим. При произаолыгмх значениях параметров потенциала не существует решения у. Ш., которое пс возрастало бм как прн х +сю, тэк п при х -со (гочно твк же, как не сушествуст убывающею одновременно при х хао решения у. Ш. при произвольном В < 0). Такие решения существуют только при изблаллнх значениях параметров потенциала, отвечающих умениям появления новых (по счету) состояниЯ л.с. при углубяенин потенциальной ямы. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим самый верхний уровень Е„д.с. Его в.ф. Ф„« ехр (-х)эП лри з йао. где и = )/2п~(Е,!/Л'.
При уменьшении глубины вмы все уровни смешаются вверх и при некоторых значениях параметров поля самин верхний из ннх принимает значение Е„= О, при этом сто э.ф. Ф«ш сола при х ~ «оэ, а число нулей в.ф. равно числу имеюшихсл состояний д. с. с Е < О. В качестве иллюстрации рассмотрим свободную частицу. У. Ш. имеет ограниченное решение Фь. « = соим, у которого отсутствуют нули. В соответствии с вышесказанным, сколь уголно мелкая яма уже свюмеает частицу (араанить с 2.3) и возникающее ссстонние д. с.
является первым по счету. а) Найдем сначала условие появления нового па счету состояния д. с. при углублении ямы. Не иазрвстэюшсе при е хсо решение у.Ш. с Е = О имеет вшс Ф = А при х < 0; Ф = В сот(те+ б) при 0 < х < а (абласть ямм), т = т/'2шЦ,/л и Ф = с при х > а. Нспрсрыпнасть в.ф. и ее производной в тачках 0 и а лают: А = В, б = О; Гам 1ги, где ив полое; С = (-!)"В. Эта в. ф. имеет п иулсб (аргумент косинуса изменяется ат 0 до кп), так 'Э!Трсбуепм, пабы латенннзл убывал быстр«с. чем «Цзз О случае пат«накала лрнтлж«ння сесмпсккыи убивзинсн, им — а/э' прк х са с ь < 2, рею«нису.Ш.
лля В =О инсат сазсршскна киую аскнанннку, сравнить с 9.9 к 9.!4. Фиэич«скал причкиа атисчсинага различия светает з тан, чта ири игдлекиаи убнзэиии нате нпкзлз па!«шж«нил числа суш«стьуюшпх в н«м слетая кия л с. бесконечна велико за с пт сгуюспил ураза«В при Е„-а. 9 1.
Стационарные состояния дискретного спектра 37 что уаловие уа = пп явппегск условием появления (п+!)-Го уровня. Отсюда следует, что числа существующих в яме сосгопний д. с. лг„оггрсдакяещя условием та/з < лг < та/з + 1. б) При О < щоа/й' < 1 — одно связанное состояние, нри гпоа/й' > ! — двв. 2.14. Для частицы в потенциале У(х) вида: о) У = оо при х < О, У = -Уе при О < х < о, У = О при х > а; б) У = оо при х < О, У = -об(х — а) при х > О (рис.б, о, б), найти число связаиньщ состояний в зависимости от значений параметров потенциала.
У( У( У= О а х Умпет. а);/2щУчаг/кй — !/2 < Ф„<,/2щУчаг/ей + 1/2; б) едннственпое свящнное состояние пояепяется при тоа/Л' > 1/2. 2.15. Найти условие существования связанных состояний частицы в потенциаль. ной яме, изображенной на рис. 6, б.
Рассмотреть предельные случаи: а) У, = сю, б) У! = Ут. решение. сосщяииям д. с, отвечают е < Уг. условие появления новых (или первого) состояний д.с. при углублении ямм можно получить из условия существования не возрастающего при х лао решения у. ш. с В = Ут, (сравнить с 2.13). Оно имеет еид 2щУгаг У, причем погылковый номер йг уровня определяется условием (.-))" Ф (.—;). Соответственно, условие существование связанных состояний '" 2гпа У» У, — У» Л )( Уг Ъ ещгб В частности, при У, = со трсбущся, щобм Уг > «'ат/бщат; при У, = Ут хотя бы одно состояние д.
с. существует всегда. 2.1ое. частица накодится в поле, имеющем вид двух одинаковых симметричных потенциальных ям, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 7); нгпалчсркнен, что лле состояние ас. еч б ит! пр» атон уровни е, паеммвютск квк пзи укгеиченкк Уи ткк и пан уиепыиенпи а, си.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
