Galitskii-1 (1185111), страница 4
Текст из файла (страница 4)
й качестве иллюстрации рассмотрим сваболнас одномерное движение частицы. Ее гвмильтониан Й = рт/2т коммугнрует с операторами импульса р и отражения 1, нс коммутирующими друг с другом. Это обстоятельство объясняет двукратное выражасннс уровней энергии. 1.26. Привести примеры такой ситуации, когда в некотором состоянии: а) две физические величины, операторы которых ие коммутируют, имеют одновременно определенные значения; б) из двух физических величин, операторы которых коммутируют, определенное значение имеет лишь одна. Рештгие, а) Операторы Разлнчньп компонент момента не коммутируют друг с прутом, но в состоянии с моментом Ь = О асс компоненты момента одновременно имеют олрелеленныс Значснна йь = О.
Еше один лРимсР— см. 1.27. б) ОпсратоРы импУльав и кинетической энергии коимутируют лруг с другом, на, например, функция Ф = Сап (Рг/Л), является с.ф. лишь оператора кинетической энергии, но ис импульса, Эти примеры нс противоречат, конечно, общин кввнтовомсханичсским утверждениям аб одновременной изиарнмостн аву» физических величин, в том числе и аююиаюгиию иеиилгдтгииссюи, см. 1.ЗО. 1.27.
В состоянии, описываемом волновой функцией Фы, физические величины А и В имеют определенные значения. Что можно снвзать о собспюнных эначенмях и и Ь этих величин, если операторы А и В антикоммутируют друг с другом? В качестве иллюстрации результата рассмотреть операторы У и 1. Решение. Имеем (АВ+ ВХ) Ф.ь = (а6+ Ьа)Ф,ь = 2аЬФ„= О. Такам абртзом, либо а, либо 6 равна нулю. Пример: Хай+ ху = О; при этом кисетов только одна в. фс Фь — — С б(х), являющаяся сф. операторов У и Уояноврсмснна, причем с з, координаты хь = О. Отистнм, что антикомиугиРУющис операторы могУг и нс иметь нн одной общей с. ф.
(см. митричи Лоузи, глава 5 ьСпин») П Система с.ф. Фд(4) прсзислзгастса артанармнрашнная. 1В Глава!. Операторы 8 кбонтодоймехпниие 1.2$. Найти оператор радиальной компоненты импульса р„(в сферических координатах). Убедиться в эрмнтовости полученного оператора. Найти собственные функции и собственные значения.
Вещественны ли с. з.у Оргогональнь~ ли с. ф.у Объяснить полученные результаты. В связи с данной задачей см. также 1.29. Решение. В классической механике р, = изг = рп, гле л = г/и. Кынтоаонеханичесхим аналогом этого соотношения яыяетсл эрмитов оператор 1й,й!В Р. ш -(Ра+ЯР) = пР+ — Штп = - - — г.
(1) 2 2т т гдг Решение уравнения на с.ф. и с.з. этою оператора нмсст вид Ф () = (С(Р )/,) х ехр (гр,г/л), где с(Р, Р) — произвояьнач функция угловых переменньш. при этом формально с.з. р, могут принимать комплексиыс значения р, = р, Е трг с рт д О, а с.ф., как легко убавиться, не являютса ортогональными. Установленные свойства с.з. и с.ф. оператора р„исключающие их физическую интерпретацию, иллюстрируют деликатность положения квантовой механики о сопоствыенин физическим величинам (яабгюдаекнн — по терминологии Дирвхв) эрнитовых, или саиосопрвжениых, операторов. С физической точки зрения этот пример поктзыыст, что нс всякая физическая величина классической механики имеет четкий кваитовомехвннчсский анааог (твк жс, как и» всякая квантовомехвническэя величина — например, четносгь— имеет класси геский аналог). В математическом плане он отражает различие понятий зрмитова и сзмосопряженного оператора и свойств их с.з.
и с.фз оператоР р, эрмитов, но не самосопряжснный (см. спсауюшую ззлачу). 1.29. На примере оператора — (йг(/г(я, действующего в пространстве функций, заданных на о) всей оси -со < х < со; б) конечном отрезке о < и < 01 б) полуоси О < и < со, обсудить вопрос о различии понятий эрмитова н самосопряженного операторов и о свойствах собственных значений и собственных функций таких операторов. Решенье. Понятия зрнимсеа н сеиегоярлженксге операторов довольно близки и связаны с сунюствоввнисм соотношений Фт/Ф,Д = ~(/'Ф,)'Ф,й = ~(/Ф,)'Ф,й, (О а различие проявляется лишь в наличии ограничений иа классы функций Ф, и Фт, лля которых онн дслжны выполняться.
!) Если соотношение (1) вмполнено на некотором классе функций Юг, то оператор / на- зывают эрмитовым (на этом классе функций). Если эпгг кввсс функций совпадает с ебгасмые е»лгдглеяы юг оператора / (вообще говоря, он уже), то такой эрмнгов оператор называют свмосопряжсннын. При этом, по определению, область Юг включает асс функции ФП1, дзя которых (Ф111! Вг < со, !ТФ„,(г,уг оз, У Ь,лй, где Ф вЂ” уже произвольная функция, удовлетворяющая лишь условию, аналогичному (2') (конечно, смысл могут иметь и выражения /Ф яля функций, нс входящих в Юг).
С.з самосопрпжснного оператора вещественны, в с.ф. взаинно ортогонвльны и образуют полную систему'1. т1 ппи этом, еяивко, с.ф. Улс не~уг быль и нс иорнипусим из саяпину, т.с. лзя ии» ис требуется ° укиствьззиис иимгззвев (2), а условие ортьюизльиасги формулируется с помощью з.функпии 0 2.
Сабстбеннте функции, собстбенные значения, средние 19 Так, в случае оператора -Ад/дх, действующего в пространстве функций, заданных иа всей осн, имеем / Фт (-гд — ) Ф,до= / (-тд — Фт) Фгда — ЙФтфг~ (3) ь ь 1' .*) тй ) Ф)(- ~— )Ф, т/Г ~~- д— Ф,) Ф, — ГЛФ;(*)Ф,(*П(. (4) Внеинтегрвльнае слагаемое, тюбще говоря, отлично от нуля, так что оператор не являет- ся самосопряженным, но он зрыитов и допускает сзмосопрюкеннос расширение. Например, он эрмитов на классе функций, удовлетворяющих граннчнмм условиям Ф(а) = Ф(6) = О. Однако тикис условия ие реализуют самосопряженного расширения. Дсдствительно, лля обращения впеннтегральнага слаптмопт в нуль при этом достаточно, чтобы лишь одна из функций, Ф, или Фт, удовлетворяла этапу условию.
При таком выборе граничного условия у оператора -игу/дх вообще нет с. ф. Друшя реализация оператора как эрмитова связана с наяожснием граничного уаловия — = ~ — /1 = соли т ехр (гГ5), Ф,(Ь) /Ф,(а)~' (5) Ф,(а) (. Ф,(Ь)! где /à — вещественное число. Выбор такого граничного условия определяет самосопряженное расширение оператора — гд д/дх на отрезке. При этом с.з. и с. ф, операторе: (/Г+ 2кп)Л 1 Г гд„х 1 Л„т, Ф„т ехр 4 —, ге=О,ЛПЛ2,..., Ь-а ' " (Э-о)ггт (( Л причем с.ф.
ортопзнальны и образуют полную систему. Отметим, что к такому типу операторов принвдяежит Т, = -И Ю/др — оператор проекции орбитальнопт момента ие ось з, прн этом а = О, Ь = 2х, Гу = О. 3) Если у эрмитова оператора ие существует свносапрлжснных расширений, то сто называют максимально эрмитовым опсрзтором. Оператор -Угд/дх, действуюшип в пространстве функцил, зеленных на полуоси, представляет собой пример такого оператора: Фт(х)(-ГЛФг(х)) дх = / (-гЛФт(х)) Фг(х) ух+ гЛФт(0)Ф,(0). (б) с е Рдинствсинаа реализация его как зрмитовв оператора связана с изложением граничного условия Ф(0) = О, причем дая выполнения соотношения (1) эгону условию в (6) должна удо- влетворять лишь одна нэ функцип Ф, т, так что оясратор является максимально эрмитовым. С.
ф., удовлетворяющих граничному условию Ф(0) = О, у этого оператора не сущсству- сг (если же «забыть о граничном условии, то с.з. оказываются комплексными, а с.ф. При этом лля фуикцип Фг,т, входящих в область определения оператора, вненнтегральнос слаптмае равно нулю, как зто следует из условия (2'), так что оператор являетсв самосопрлжсннын. Его с.з. р, всщсственнм. а с. ф, Ф (х) ортогонвльны и образуют полную систему. Далее, эрмитавы, но не самасопркженйые операторы дслятсе на два различных классе: а) сутитегнно санссалрлтгннме операторы, допускающие слмсселрятгннш рестнреяне н б) максинаеьна эрмнтаен операторы (не допускающие такого расширения).
2) Если реализация оператора / кэк эрмитова с областью определения ОГ такова, что соотношение (1) выпях иена дяя любых функция Ф гм из 0Г и нарушается, если хагл бы одна из ннх таковод не является, то говорят о самосопряженном расширении эрмитава оператора, связанном с теми дополнительными (типа граничных) условиями, которые отвечают ланнол реализации и ограничивают область Функций ПГ. Свойства с.з. и с.ф., удовлетворяющих указанным условиям, такие жс, как и у самосопрюкенных оператороп Так, в случае оператора -тЛ,г, действующего в пространстве функцид, заданных на конечном отрезке, имеем Глава 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
