Galitskii-1 (1185111), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2(ля доюиатсльства следует разиожить экспоненту в рлд и после дифференпирои>- ння и взятия следа сравнить члены с одинаковыми степенямк Л. При этом, если операторы А и В не комнугируют, взятие следа являстсе нсобхолнмым для спрввишивастн рассматриваемого соотношение. 1д10, Показать, что в случае, когда коммутатор операторов Х н В является числом>'.
(Х> В) = тс. справедливо соотношение схр (А + В ) = (ехр Х) (ехр В ) ехр 2) >Точнее. явллеия опежиолон тсТ. кратным еяяннчнону. 11, Оснобные полития теории линейных оледотороВ Решение. Ввсасм оператор схр(Л(А+ В)) и запишем его в виде глгсз схр(Л(А т В)) = шр(ЛА) ехр (ЛВ) ехр (- — )С(Л), ) (1) глс С подвсжит определению. Пролкфферсипирозвв сбс чести (1) по Л и воспользовавшись соотношением схр (ЛА)В = (В+ гЛс) схр (ЛА) (сто лешо установить, сели разложить схр (ЛА) в Ряд и учесть, что (А, В) = гс). ивхолим ЛС/ЛЛ = О, т.е. С ст Л ие зависит. Положив Л = О в (1), получаем С и 1; из (1) жс при Л = 1 вытекает угвсржхсиис задачи.
1.11. В общем случае лииейиый оператор Х молвю рассматривать как лииейиыд интегральный оператор, т.е. Ф(д) = ХФ(0 = ~Х(д,д')Ф(д') Лд', где Ь(б,С) — ядРо оператора Х (д — совокупность переменных используемого представлвиия). Как ядро Ь+(4,бг) оператора Х+ связало с ядром оператора Ху Найти ядра опервтороа Г, Т„М„У ш х, р ш -гб В/Лх (по поводу 1, Т, и М, см. 1. 1). Решение. 1) й+((,(') = Ь'(('4). 2) ззписзв действие оператора бл, кв функпию Ф(х) в взшс Й,Ф(х) = з/с Ф(сх) = з/с / б(сз — л')Ф(х') Лх', ивхолим его ялро М,(х, х') = з/с б(гх — *'). Аналогично получаем 2(х, х ) = д(х + х ); Т (х, х') = б(х — х + с); Вб(х-х') Х(х, х') =хб(х — хх)! Р(х, х') = -гп Вх 1.12.
Какой вид имеет ядро Цз, х') оператора Х, если этот оператор комнугирует с операгоромг а) координаты У ш х; В) импульса р щ -здд/Лхт Показать, что оператор Х, коммутирующий как с У, так и с р, кратеи едииичиому, т.е. Х гд ео = сапы. Ршивние. е) Имея в випг, что ядро операторе С = АВ равно С(х. хх) = ~ А(., х")В(хх, х ) Лх", и учитывая вид ялра Х(х, х') = х б(х — х') опсртора У, из условия ХУ - УХ = О изхолим (з -х)й(х, х) = О, такчто Ь(х, х) =/(х)б(х — хг), (1) где /(х) — произвольиыг фуикцгг А б) Аивлопгчио, из условия Хр- РХ = О и веда ялрв Р(х, х') = -гдбб(х-х')/Вх слелуст (В ВЛ вЂ” + — 1 Ь(х, х') =О, так что Цх, х') =9(х — х'), Вх Вх'/ (2) глс 9(х) тезис произвольивл фз'ихпия. е) Соотношения (1) и (2) олновреисиио могут иметь место лишь при условии /(х) = ьз = сопи; при этом ь(х, х') = Уч д(х — х'). ОпсРзтоР с таким Яхром имеет вик Х и ьз.
Глава 1. Олереторы 6 кбонтобой механике Ф 2. Собственные фУнит(инг собственные энвценид, сРедние 1.13. В состоянии частицы с волновой функцией (зрвх (х-хз) ) Ф(х) =Ссхр~ —— 2д' где рз хв, а — веществеииьш параметры, найти распределение вероятностей различных значений координаты. Определить средние значения и флуктуации коордиивты и импульса частицы. Решение. Нормировка в. ф. ив саяиицу дает ~С1 = (хаз); при этом дш(х) = (Ф(х)Г ох.
По формуле (1.5) изходкм средние значения: з — е з — а э=х х'= — Ех (мх)з=— 2 2' з з — л — л 2аз' 2аз -. »вл'ю~~=»,-. ° ° - » х мииимизирусг соотиошсииь исопрсдслсеиосги Гепзеибсрпх 1.14. Найти связь между средними зиачеииями координаты и импульса частицы в двух состояниях, волковые функции Ф, и Фз которых связаны соотношением а) Фз(*) = Ф,(в+а); б) Фз(х) =схр(трех/Л)Ф,(х). Решение. а) хз = х~ -е, р, = р,; б) х, = й„рз = р, + рз, где иивексы 1, 2 сотзстствуют срсдиим зизчсииям в состояниях с волновыми фуикпизми Ф,д(х), 1.1б. Показать, что средние значения зрмитовых операторов Ь+Ь и ЬЬ+ в произвольном состоянии иеотрицательиы.
Решшме. ХХ» = Х Ф ХХ' Ф ег = )'(Х' Ф)'(Х» Ф) ет > О. 1.16. Показать, что среднее эиачеиие дипольиого момента системы эвряжеииых частиц в озстолиии, характеризующемся определенной четиостью, равно нулю. Решение, Срсдист зизчсиис дипольиого момситв систсмм И = (Г Ф'(г„..., г„) ) с,г, Ф(гь..., г„) П Д'гз. 3 Саслвв заиеяу псрсмеииых б = -г„имеем (2) 1 Твк кяк по условию Ф(-г„..., -г,) = УФ(гч..., г„), где 2 = Е1 — четкость сесгокиия, мзхсдим из (!) и (2): 2 = -а = О. 1.17. Эрмитов оператор у удовлетворяет соотиошеиию о) 7 з = сз; б) уз = с71 д) уз = сз~. где с — вещественный параметр.
Каковы собственные значения такого оператора? б 2. Собстбенные фрикции, собстбениые зиоченод средние 1$ Ретеиие, Соотношение лля операторе Г внпв А(г ) = В(7), глс А(з) и В(з) — нскаторыс функции з, приводит к аналогичному соотношению А(Л) = В(Д) лля сто с.з.
Поэтому у оператора Г могут быть только твкнс с, зс а) ~,,т — — жс! 6) Д = О, Д = с; а) Д = О, Гз, ! = хс. Никаких других с.з. быть нс может. 1.18. Найти собственные функции н собственные значения физической величины, представляющей линейную комбинацию одноименных коыпоиеит импульса и координаты частицы: у = ор+ )ух. Убедиться в ортогональностн полученных функций и норыировать нх соответствующим образом. Рптеиие.
Уравнение ллв с.ф. и с, з. оператора г и сга решение имеют внд — тоФГ(х) + Охру(х) = 3ФГ(х), (1) т(Рх — г)т Ф г ( * ) С р ( Н Ф ~ 1 (2) (о = оп). Из (2) следует, что с.з. à — праизвальныс всщсствснныс величины (при комплексных значениях у в. ф. (2) возрастает нв полынях расстояниях; о н Р— всшсствсинис параметры, квх зто следует из зрмитовасти у ), спектр — непрерывный и с.
з. — исвырождсииыс. С учетом Д1.1 условие нормировки Фг(х)фг(х) гх = б(У вЂ” ~) приводит к значению С = (2хо) 'г', читвтчлю преплвгвстся показать полноту системы с.ф. (2). сз.сзр. То же, что и в предыдущей задаче, для эрыигова оператора й, тщро моторопз имеет внд" Р(х,х') = /(х)у*(х') (см. 1.!1). Капота кратности вырождения собственных эначеннй7 Ршиекие. Урависнисдпл с.ф. на.з. РФ.(х) - =Л*) ~ ~'(*')Ф.(') А*'= ЛФ.(*) имеет следующие решения. !) Олив с ф. Фз = Сг (х) атвсчвст с з. 14 = ( (г (х)(~Их>О.
2) Второе с. з. Д = Π— бссконсчнокрвтно вырожлсипос Ему отвечают с. ф. Ф,(х), обладающие аваяспюы ) у' (х) Ф,(х) Ах = О (т. с., квк и должно быть, этн функции артотнвльны с.ф. Фз, атвсчвююей другому с.з.). Никаких других с. з. нс существует. 'г.дО. Решить задачу иа собственные функции и собственные значения оператора комплексного сопряжения К (см. 1.1). Отдет.
С.ф. оператора К вЂ” эта функции вида Ф, = с"р(х), где р(х) — произвольная всшсствсинвл функция, в о — любав мщсствсннас число. Они соответствуют с. з. Л = с ' 9.2 !. Эрынтов оператор (матрица) у имеет лишь )У различных собственных значений. Показать, что оператор /» линейно выражается через операторы 1, у|...,2» '. В качестве иллюстрации рассмотреть оператор отражения г. Решение. полспствомв оператором 6 ш (г — Д) (г - 1!) ...
(7- уи) нв произвольную функцию Ф, получим СФ = О. Действительна, Ф можно прслставнть в впав суперпозиция с.ф. Фг„абрвзующих полную систему: Ф = А сзфг„з (г — гз) Фг, = О. '| Опсвзтсри таком зцзз кспаэьзрагт в иалсльиих задачах зтамиаа к ялсвиав Физики двл аписзичв ем н|юлслсши в чзсщп — так ию мазан и с ггкаралсг|к из пате к шили (си. гыич и 3.
! 9, 2.34, 4. ! 2). Зз исти и, чта, ис занкзстпзисул ппсдсывзсиив, рзсснзтлиззеиип апсрзтаи махна ззпксв|ь з знда Р = !/] (у!. Глава 1. Операторы 6 «диятодой мелинике 16 (2) 1.23. Доказать соотношение (1.6). Решение. Проднффсрснпирозав по Л абе части уравнения для с.ф. и с. зс /(А)Ф„(тп Л) = /„(Д)Ф„(сп Л), получшм () = . ° — /1 Ф„(Л) + / — Ф„(Л) = —" Ф.(2) + /„— Ф,(Д). дУт -д д/„д дЛ/" дЛ" дл" "дЛ (1) Умнаннм або части (1) слоев ив Ф; и проинтегрируем по коордннвтвы у. Учитывая при этом равенство г, д Ф'/ — Фойгт = 1 (/Ф,) — Ф„(А) й~ = /„/ Ф'„— Ф„й~, вытекавшее нз зрмнтовосги /, получаем искание соотношение. 1.24.
Какой смысл можно придать оператору вида Р = е (/), где )т(з) — произвольная фзткция переменной з и У вЂ” эрмитов оператор7 Насколько существенно предположение об эрмитоаости У 7 В качестве иллюстрации рассмотреть оператор л д, где Уь — лапласиан. 1 Рмиииие. Оператор Р = Р(/) следует понимать квк оператор, с.
ф. когорага совпвдввт с с.ф. оператора /, с соответствующие с.э. равны Р, = Р(/,). Твк как система собствсннык функций Фг является полной (при этом существ нно армитомкть оператора / ), то действие Р нв произвольную функпню Ф опрслслсно. действительно, рФ=Р;З а(/.)Фя(Е)м',) с(/.)Р(/.) .(Е) (1) Итак, С и б; отакма и слсщмт угваржвсииа влачи: н и /- -Я'/./ '+-,' 2: /././ '+".+(-1)" ЦУ,=К -о ,с оо При Дг = 2 из (1) имеем / ~ = (/о + /з)/ - /о/з. Отаюлв в случае оператора отрснсиня, у которого с.з.
равны Е1, пояучвсм 2 = 1, квк и следовало опилвть. 1.22. Найти вид оператора /о = е (Ут/, где У вЂ” зрмитов оператор, Р(з) — произвольная функция, в случае, когда оператор / имеет лишь )У различных собственных значений. Рассмотреть, в частности, случаи Гу = 2 и )у = 3, причем в последнем считать спектр собстаемнык значений состоящим из величин О, ю/а. Решение. Имея в вилу результат прсдытушай задачи, можно записать и- о и-! Р=Р(/) =2;с./""; Р(/.)=2;с./,", 1=1,2,...,д Н) (сравнить с 1.1Г). Второю из соотношения (1) прелстявмот собой систему уравнений, позвоюношув апрсаелнть значения г .
В случае 1У = 2 легко нагадим гсэ, в а ними и гп /Р(/) ЛР(/) Р(У) Р(/)- В случае 1У = 3 дяя указанных в условии звавчи с.з. с ломовою (1) получаем Р-Р(о)+ /+, У Р(Уо) — Р( — /о) — Р(Уо) + Р(-Уо) — 2Р(б) -з (3) 2/а О 2. Собстбенные функциц собстбенние значения, средние 17 Воспольтащашись здесь выражением (1.4) двя с(7), нзхалим, что оператор Р представляет интегральный оператор с ядром'1 Р(1, О') = А.. М»)ег.
(1)Ф). (в'). (2) Так как ( — ю) Ут = Ь(рт) щ й(РГ', та согласно (2) ядро этого оператора имеет вид ЭР (г, г) = — / — с'зг' 17 А рю 1 1, .-г ь (2яй)т,/ р 2хг(г- гг)т (для вычисления интеграла удобна воспользоваться сферическими каораинатамн, выбрав полярную ось вдоль вектора г — г'). 1.25. Эрмитовы операторы Х, В и Х удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: [Х, б] = О и ]В, Х] = О, но [Х, В] Р О. Показать.
что среди собствемных значений оператора Б обязательно есть Оыразкденные. Привести примеры. Решение, Из операторною Равсистза АТ вЂ” ХХ = О, примененного к с.ф. Фд оператора 2 (Ь, — с.з.), следует, чта функция Хфд татке является с.ф. Х, отвечающей тому жс с.з. Ть (иля ХФд = О).
Если при этом с. з. Ь, является невырожденным, то ХФг„= А,Фг„ т.с. Фг„является также с.ф. и оператоРа Х. Точно так же она является и с.ф. В, т. с. ВФь, = В,ег,. Если бы те с. з. Тч были невырожденными, то ва тех состояниях имело бы место соотношение (Х — ВХ) Фд = (А В* -В А ) Фг, = О. Но такое Равенство, справедзивас лля всех с.ф., образующих полную систсыу, означало бы Х — ВХ = О, что противоречит условию задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
