Galitskii-1 (1185111), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Длл удобства ыгчнсленнй ниже нрнесдены Зна. мння используемых фнзнчаекнх еелнчнн. Постоянная Планка Элементарный зарял Масса электрона Скорость саста Бороаскнй рзднус (ат. ед, данны) Атомная сднннпа энсргнн Атомная еднннпа частоты Атомная сднннпа напряпснносгн злектрнчсского ноля Постоянная тонкой структурм Масса протона Энергня покоя эяектрона 1 эВ = 1,602 10 '! эрг )9 4,4 р, де ал б, Э ш, И' г, ге 7! гп, М И р,Р й А оператор возмущенна днпольный момент скалярный потеншмл электромап<нтного поля Ооровскнй ралнус фазовый сдвнг матрнпы Паули вероятность перехода, вероятность перехода в слнннцу временн заряд ядра ралнус поган анапа масса, магннтнос квантовос чнсло масса, магннтнмй момент нмпульс волновой вектор массовое число ядра частота момент (орйнтвльный н полный) спин функння Бесселя полянам Эрмнта жаровая функпня гамме-функннп б-функння Днрака санннчный тензор, символ Кронсксра антнснмметрнчный сднннчямй псевпотснзар, ещ = 1 н т.л.
й = 1,055 1О " эрг. с с = 4,80 !О 'з сд. СГСЭ т, = 9,11 10 и г с = 3,00 ° !Ом см/с ес = 0,529 !О' см — =4,36 10 эрг=27,2! зВ пг,с йг Ф вЂ” =4!3 ° !О с т,с йз — = 5,14 ° 1О В/см с ас ет ! а= — =— Ос 137 нз = 1636гп =! 673 10 и г гп,сз = 0,511 МэВ /)гав!у 5 Операторы в квантовой механике /Фу. = /.ФЬ (!.2) Спектр собственных значений /, являющихся вещественными, определяет те значения величины /, которые она только и может принимать. При этом собственные функции Фг, описывают состояния системм с определенным, равным /„ значением физической величины / (в случае произвольного состояния физическая величина ие имеет определенного значения). Зги функции, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны и образуют полную систему.
Последнее свойство обеспечивает возможность разложения волновой функции Ф(Ч) произвольного состояния в ряд по собственным функцмямг Ф = Е с(/.)Фу., ()3) а (/.) = (Фд (Ф) = / Фу.(Ч) Ф(Ч) йт, (!.4) Здесь" (как и часто, специально не оговариваясзь в дальнейшем) предполагается, что с.ф. Фу. выбраны ортонормированными, причем они нормированы на единицу 'Г Гдуюго моора, иоптма эртпоаости и самосопрхмсииосги ис сохпадаюс, с».
ио этому походу гдр п!.29. ГГ Рад» «рапгостп раэхыхсипс по с ф. хаписхио а аиде суммы. В сбтсм случае ого схсдохаха бм писать э апас двух схагмммхи самим по с. В., огхсчаюгппм дисхрстпмм с. э., и интеграла по с. э испрсрмаиого спектра. Апахогичио говорим» о полной сисюмс с,ф Вг., хога бодсс точно сдоюпюо бм говорить о собсгасипмх Чгуиюиюх соаохупиост операпгроа. обраэуююих аоххиа набор. Математический аппарат квантовой механики тесно связан с теорией линейных операторов. Одно нз ее положений состоит в сопоставлении физическим величинам (иабаюдаеыыы) эрммтовых, или самосопряженных, операторов, действующих в пространстве волновых функций (аркторсе состаяииа) Ф, описывающих состояния физической системы.
В общем случае произвольному линейному оператору Ь, задающему соответствие между функциями, Ф(Ч) = ХФ(Ч),можно сопоставить оператор Х+, цпыитппр солряагаииый Х, определяемый соотношением (Фз ! Ь ~ Фг) ж /г Ф,(Ч)ЬФ,(Ч) дтг = г/ (Ь Фг(Ч)) Фг(Ч) г(тч - =(Ь+ Фэ ( Фг) ()!) (при некоторых ограничениях на функции Ф, з).
Если Х+ = Х, то оператор называют зрмитраым (самосеярллтииым) 'г. В вопросах сопоставления свойств физической величины / и соответствующего ей самосопряженного квантовомеханическогп оператора / важную роль интют понятия, связанные с уравнением на собственные функции и собстпсииыс апачепип этого оператора; то Глава 1, шнеролюрш д «Вонтодогу меха«и«е дяя лискрстнык с.
з. и на б-функцию б(/ — )') — в непрсрмвноя части спектра. Если волноваа функция рвссматриеаечого сосзояння также выбрана нормированной на 1'), т.с. (Ф(Ф) = 1. то коэффициенты с(уа) непосредственно определяют перонтности м(/„) = (с()а)(г значений у„величины у в этом состоянии (плотность вероятности, 4м/4у = (с(у)(г, в непрерывной части спектра с, з.), При этом срелнсе значение /= 2 /„м(/„) физической величины может быть рассчитано а по квантовомсханнческоп формуле 7ш (Ф'ДФ) =— ~ Ф"(В)МФ) 4т„ (1.5) не требующей предварительного вычисления вероятностей. Если эрмитов оператор у(Л) зависит от некоторого вещественного параметра Л, то дяя производной от с.
з. Г„(Л) в дискретной части спектра справедливо соотношение ВУ„(Л) дУ ВЛ )~ВЛ~ (1.6) имеющее многочнсленныс приложения. $1. Основные понятня теорнн лннейныд операторов З) В. ф. Ф мотыга фнзачаакн ваамюуаыаю ааагамная мазана быть «ааалазмчна аазегвнвуаыаа. Нанавынвуаыыа на ) сабстаанныа функннм неявевыаная часта ааекгва а. з еаы» ка езбе не алисы. вакс аеамьным фмзачаамам сасгамння (паемешзаа атюымаютаа аашааына ма«енса», саьтаваенныыа аз мхам с, ФО 1.1. рассмотреть следующие операторы (-оо < х < +со): 1) сдвига Т,: Т,Ф(х) в Ф(х+е); 2) отражения Х: 1Ф(х) ш Ф(-з); 3) изменения масштаба М,: М,Ф(х) ш згсФ(сх), с > 0; 4) комплексного сопряжения К: КФ(х) в Ф'(*); 5) перестановки координат двух частиц Рзгг Рае(хг, хг) = Ф(*г, хз). являются лн зти операторы линейными? Найти внд операторов, которые по отношению к иим являются: о) эрмитово сопряженными, 6) обратными.
Реме«ие. )) Все операторы кроне К линсанме. 2) Вид оператора Т; следует нз цепочки равенств Ф'(х)Т,Ф(х) дх и ~ Ф'(х)Ф(*+ а) дх = ) Ф'(х — а)Ф(*) дх м ~(Т,'Ф(х)) Ф(х) дх (интегрирование проводится в бесконечным премлвю при преобразованиям использована соответствующая замена перемен нов ннтегрнраванля). Отекав Т; Ф(х) = Ф(х-а) = Т,'Р(х), так чта Т; = Т,. Аналогично нахалам; Г = У, )и; = Мц . Ро = Рп. Так как оператор К нелннеяныа,та понятие оператора д к нему неприменимо (такоя оператор не существует).
3) Все привеленные операторы имеют обратные: 1 1. Основные понятия теорие линеоныл олеротороб 1 Х. Операторы А и В зрмитосы, о — произвольный линейный оператор". Показать эрмитопосгь следующих операторов: 1» Х+ХиХХ+;2) Х+Хт;5» т(1-Хт);4» ХАй+15) ХВ+ВХ;б) 1(АВ-ЙХ). Уколонве. При докззлыльствв следует учесть соотношения (Х+) = Б и (Рь) = Х'Р .
1.3. Показать, чю произвольный оператор о можно представить в виде Х = А + тВ, где .4 и  — зрмитосы операторы. с б . Х=-,'(Х+Х ),в=л„'(Х-Х ). 1А. Выразить коммушторы [.4, ВС] и [ХВ, С] через [Х, В], [.4,С], [В, С]. Рмиенее. [Х,ВС] = ХВС вЂ” ВСА = ХВС вЂ” ВАС+ ВАС вЂ” ВСХ (Х,В)С+ В)Х,С). Лнытгмпчжх [ХВ,С] м Х[В,С) + [Х С) В. 1.5. Могут ли две матрицы Р и 42 конечного ранга удовлетворять каноническому коммутационному соотношению [Р, Ц = — тйТт Решение. Нет, нс могут. Взяв амдн мвтрии в обеих частях рсеснства РГЛ- г2Р = -шХ и учтя, что Зр (Ргс) = Бр (чР), брТ = лг т»т — ранг мвтрипы), приходны к противоречию'1. 1.6.
Предполагая Л малой величиной, найти разложение оператора (А — ЛВ) по степеням Л. Решение. Звпнсев (Х вЂ” Лв) = Л Л"С„уынопмм обе чсстм равенства нв (Х вЂ” ЛВ). Прирввнився в получающемся сыиношсннн члены при одинаковых кипенях Л, насолим ХСы, = вс„с„„= Х-' Вд„, с. = А ', так что ископав рсзлаисиис имеет вид (Х-ЛЩ '=Хы+ЛА 'вА '+...=А-'~ Л"3 А-'. 1.г. Оператор вида Р = Р(у), где Р(л) — функция э, раэложимая в ряд Р(х) = с„э", следует понимать как оператор, равный Р = ~ гчус.
Используя зто опредев в ление, найти явный вид следующих операторош 1) схр (та1); 2) л., и ехр (а ~ ); 3» Х, шехр(ап ю~), где а — вещественный параметр. Т вЂ” оператор отражения. В связи с данной задачей см. 1.24. а также 1.8 и 1.57. Рсшенсе. 1) Разкомив зкспоиснгу в ряд и учтя, что 1ч = 1, иакоднм схр (таТ) = соса+ ° (мп а)У.
сг В лввынынсм ссс всссмвтвммсмнс сшштсрн пвсиюлнчюнл лпнсппммн п нрмим шкнсаинвт юм хустксстн опускается. зг В сяунс и = сс шютмссвсчкя мс ссскмтсст ввкхт тсгс. что зв (Рч» = гс. 12 Глава 1. Олцоошоры В кбонтобоа люеханаке 2) Представив оператор в виде ряда, получаем """ «ы~'-( — ') ~()ш~; — 'ФМ'()= (х+ ) н1 т.бх/ и1 Последнее равенство в этих соотношениях определяет разложение функнии в рял Тейлора. Таким обрезом, оператор ехр (а А/Ах) является оператором с>Ь>иса. 3) Рассмотрим лсйствне оператора Г„м 2 —, (ах — ) не одночлен х>.
Так квк (хй/Ах)х> = ах>, то (ахи/Кх)"х> = (ай)"х> н, соотвстстмнно, Хчх> = (е'х)>. Воспользовавшись разложением функпии Ф(х) в рлд Тейлора. получаем Х,Ф(х) = Хч 2 — х> = ч> — (е н) = Ф(с'х), уб Ь1 так что рассматриваемый опсгмтор с точностью до множителя >/с совпадает с операторон изменения нлсимтаба М„ввсленным в задаче 1.1; при этом с = е'.
1.8. Каков явный вид оператора Т(у(х)) ш ехр (у(*) А/Ах), где у(*) — некоторая функция х7 Рассмотреть частные случаи: о) у = ах; 6) у = аз/Зхз, рак>ение. Псрейлем к новой переменной у ы у(х) согласно соотношению у = ) дх/у(х). > При этом 2>(у(х)) = ехр(4/Иу), так что рассматриваемый оператор яаяяется оператором сдвига иа Ьу = 1 аваль «оси> у (см. 1.7), и поэтому Т(у(х))Ф(х) = ехр — 1Ф(х(у)) = Ф(х(у+ 1)), (Ау) где х(у) — обратная функция по отношению к у(х).
В честных случаях ммеем: а) у = (1/а) 1п х, твк чго х = ем и х(у + 1) = е'х; соответственно Т(ах) Ф(х) = Ф(е'х) (сравнить с 1.7). 6) х =ауо> и Т(о /7хз) Ф(х) =Ф((х>+а>) ). 1.9. Показать, что имеет место равенство — Вр(схр(йХ+В)) = бр(Хехр(дХ+В)), где А н  — произвольные матрицы (одного н того же ранга). Существенно лм азятме следа матриц в этом соотношении7 Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
