Galitskii-1 (1185111), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Операторы В лВаятоВой межаяила 20 нс ортопзнельнымн, как н в случае оператора р„рассмотренного в предыдушей задаче н также являющегося максимально зрмнтовым оператором). В заключение сделаем два замечания. Во-псрвыт классификация даннОм эрмнтового оператора / может быть просто установлена по его так называемым индексам дгтзглма (РГА,)у ), где Р㻠— числа независимых нормируемых на 1 решений уравнения на с.
ф. вшш /Ф = й!уее (Д естественно, фиксировано н вылепи лишь для соблюдения размерности). Если )У» = 19. = О, то оператор самасопряженный; если )У» = 2У = 29 тз О, то оператор допускает самосопряженное РасшиРение. Реалнзусмое наложением йг дополнительных усаоввй! еслн РГ» те )У, то опервтоР макснмааьна эрмнгав. Читателе предлагатся провллюстрнроввть зто положение нв прнмере Рассмотренного оператора — !Ь А/Аа.
Во-вторых, в заввчах квантовой механики часто приходится сталкиваться именно с самосопряжсннмм расшнреннем зрмитовых операторов. Прн этом выбор лопслннтельных угловнй обычно днктуеюя физическими соображениями. В дополнснне к отмеченному выше случаю оператора Т„укажем на самосопряжснное расширение оператора рз/2т на отрезке с нспакюованнем граннчнмх условнйт Ф(0) = Ф(а) = О, ревлнзуюпгтся в задаче о частице в бесконечно глубокой потеншыльной яме. Далее, используемое прн решеннн уравнений Шредннгсра условие ограниченности ° .ф. в нуле (т.с.
прн г = 0), дюкс в случае»харон»нх» потенциалов У(г), реализует фактически самосопрлженнос расшнреннс оператора Гамильтона. Прп этом более обшее условие самосолряженного расширения внда (гф(г))' а = сапе! прн г 0 гф(г) с фнзнческой точки зрення соответствуег включению дополнительного взаимодействия в виде леыеипиела иулееого Радиуса (см.
4.10). В случае же сиигутриил потенциалов прнтя:кения, когда а квантовой механике возникает паленке на центр» (см. [1[, б 35), указанные граничные условия уже не реализуют самосопряжекного расшнрення н должны быть маанфнпнрованы (см. 9.14). 1.з(). Коммутатор операторов Х н В двух фнзическнх величин имеет внд [Х, В~) = »С, где С вЂ” эрмнтов оператор.
Доказать (прн некоторых ограничениях на волновые функции) справедливость соотношения неопределенности (А -Х) ( — В) > Ю, где асе среднне значения относятся к одному и тому же состоянию системы. Рассмотреть, в частности, операторы У н р н найти длп них явный внд волновых функцнй состояннй, в которых произведение неопределенностей принимает минимальное значение. Обсудить также случая операторов Т, н уз. Решение. Рассмотрим интеграл У(а) = ) [(аХ, — !В,)Ф( бт > О, где А, = А — а, В, =  — Ь; причем а, а, Ь вЂ” вешественнме параметры. Используя зрмнтомсть операторов А, н В„ соотношение [Хь В,) = !С н считая в.ф. Ф нормированной на единицу, ннтсграл можно преобразовать к внау 2 = /((аЛ, -!В )Ф) (аХ, — »В )Фяг = ( Ф'(а Х, -!а(ХьВ1) + В») Фйт = =а (Х-а) Ч-аС+ (В-Ь) > О.
(1) я!при зюн само»апраксины расынрспн» спрсдслястся налип»ни»и дзук гр»ничньа условия: Ф(0) =. 0 и Ф(а) = 0 е »сота»тстакн с тем, что видиком дефект ап»ратаса ртгзы. заааниого иа отрезке, суть (2.2) (лрнзслеинмс условия Реализуют однн кз частных слтчасв еамасоприлмниою Расширения). й 3. Проекционные операторы Положим а = А и Ь = В: при этом условие неотрицатсльнасти квадратного трехчлена (1) по а приводит к угаер:клению задачи: 1 (А - А) ' (в — в)' > ( (2) Равенство з (2) реыизуешя лишь при условии (одг — ТВ,)Ф = О.
В частности, для операторов А = е, В = Р, и С = й оно принимает вид Ф' + (л - лз/дт — грз/й) Ф = О (вместо а < О, а н Ь введены более удобные их вещественные коыбинацин хс, Рз, А). Отсюда что определяет явный вид в. ф., минимизирующих соотношение неопределенности для координаты н импульса (см. также 1.! 3). при приложениях формулы (2) следует аоблюдать осторожность. эта видно уже их результата ее применения к алучаю операторов А = !г = -т д/Вр н В = В = р, лля которых Оиа Ласт (ГЗ)г)т (ГЗР > 1/4, Чта фИЗНЧЕСКИ бсеаМЫСЛЕННО, таК КаК (АР)т Ва ВСЯКОМ СЛУЧаа не пРевышает Ят, а (Гь)г)! может быть Равным нУлю.
Дело в том, что при выводе формулы (1) были использованы соотношения /(АФ) (АФ) Ат= / Ф'А Фйт, /(АФ) (ВФ)дт= / Ф'АВФАт и аналогичные им с взаимной перестановкой А и В. Обоснование ик состояло в ссылке на эрмнтовость операторов. Оливка если иметь в зиву результат прсдыаушей задачи, такая аргументация абоанована лишь в скучав самосопряженных операторов, а лля операторов физических величин, представляющих самосопряженное расширение эрмитова оператора (таковым пвлястся 1,), требуется большее; неабходиыо, чтобы нс только в.ф. Ф, но и функция ВФ входили в область определения оператора А как эрмитова (и аиазогхчно АФ по отношению к В). Если эти условия выполнены, то соотношение (2) сохраняет свою снау. В частности, в рассматриваемом случае операторов 1, и и дяя этого требустая, чтобы в.
ф. аостояння удовлетворяла условию Ф(О) = Ф(2х) = О (при этом Ф = РФ(р) входит а область эрмнтовости 1,); дзя таких состояний справеллнво соотношение (А),)к(йр)' > з. Оно допуакаст сбабшсиие и нз случай произвольных аостоянийг 4( КОТОРОС ЧНТЗТСЛЮ ПРСЛЛВГЗШСЛ ПОЛУЧИТЬ СЗМССТОЯТСЛЬПО. $ 3. Проеццнанные операторы 1.31. ~оекционным называют эрмнтав оператор Р, удовлетворяющий соотношы ннюц) Рг = Р.
Показатгь что оператор Р(/1), действие которого на собственные функции оператора физической величины 5 состоит в следующем '": (Фд / =/В Р(Л)Ф/г бй,/ВФ/ 1 О /г,а / 1 У текста Опс!ига!и с.3. разны О н 1. ь ега ланагаью Все лрсстрзиснс эскюрав !Ф) мажст быль ° разбито из лза ызхмиа артагаизльимх лсялрастраиспи: Р )Ф) и (1-Р) 1Ф), при шам паз шлсшипс Р аюишяишш (прамшня) хибага всхюрз в лсрзам нз них не измснзытл, а за втором абрзшзсгся В нуль, чта я олвслслясг нззззняс ега как праекяианнога.
При эпгм алсвзтар Р' = ! — Р чакке является храышнсинмм и пмикшртсг нз второе из укззаинмк лаалрастрзнстз. 'т) Прявслсннас зиме саатнашсннс атнсснтсз к хнскрюнсл части слскгра с. з. Обобшенхс кз непрерывную чзсгь слсктрз состоит в псшкшааваняк нз нехатормй хаиечнмй ннтсрвзл (/, /+ АП с з. Глава 1. Операторы 6 ядонтобод меженине является проекционным (так как система с. ф.
Ф/, является полной, то приведенные соотношения определяют и результат воздействия Р(/,) на произвольную функцию Ф). На какие состояния проектирует этот оператор? Какой физический смысл имеет среднее значение Р(/!) в произвольном состоянии, описываемом волновой функцией Ф? Как выражается через Р(/,) проекционный оператор Р((/)), проектирующий на состояния, в которых физическая величина / принимает какое-либо значение иэ некоторой совокупности с.з. (/) = (/т„/ч, ..,,/, )? Убедиться, что при этом '((/и = Р((/)).
Какой вид имеет проекционный оператор Р(/ч да,..., (!), проектирующий на состояния с определенными значениями /„дь,...,(, физических величин, входящих в полный набор (т. е. как он связан с операторами Р(/г), Р(дь),...)? Решение.
Записав произвольные функции Ф и Ф в виде Ф = д,сзфг, и Ф = д; бьфл (считаем, лля простоты записи, спектр с. з. невырождеиным), убеждаемся в эрмитовостн оператора Р(/,) ' /',Р( )Фд / Ф Ф д„ш „б,'=/ (Р(/)Ф7 Ф де- =/(Р (/')Ф! Ф (при преобрюованияк учтена ортогоиаеьиость с ф оператора /) Иэ соотношений Р (/)Ф = Р(/,)(с,фд) = с,фл = Р(/)Ф следует, что Р'(/) = Р(/)! таким образом, Р(/) — проекционный оператор, проектируюший на состояние с определенным значениеи /, физической величины /. Далее, лепте находим / (считаем в.ф.
Ф нормированной на !), т.е. среднее Р(/г) дыт вероятность значения /, величины / в рассматриваемом сосюянии. Очевидно, что Р((/)) = ?; Р(/ц). Так как Р(/)Р(/а) и деР(/), то при этом РР((/)) = Р((/)), " Имея ввиду, что операторы, вхсаяшне в полный набор, юаимно коммутируют, нструлно сообразить, что Р(/„ди,з,) ыР(/,).Р(д,) ... Ф(з,). 1.32. Указать вид оператора, проектирующего на состояния, в которых значения координаты частицы удовлетворяют условию хо > о. Решение.
По сммсау проекционною оператора Р(хз > а), лолжно быть РФ(х) = Ф(х) для х > о н РФ(х) = б лла х < а. Отсаиа Р(хе з а) = п(х — о), где п(а) — сттпеичатаа фУнкииа, равная б = ! при а > 0 и и = 0 при а < О. Очевидно, Р(х, > а) — эрмитов оператор и Р (хс > а) = Р(хс > а). 1.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
