Galitskii-1 (1185111), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найти проекционные операторы Ра, проектирующие на четные Ре и нечетные Р относительно инверсии координат состояния частицы (выразить их через оператор отршкения /). согласно соотношению Р(/,д/)Ф; = /('г'" ,« '/"' / / /' / ~/. Прн этом Р(/, д/) оармсляст ыроятнссш ъэнь что эначсиис / заключена в рассматря заемом инмреаас. см. !.32. 94. Предстадленил олератороб и Волнозшх фуннции 23 Решение. Запишем произвольную функцию в виде суперпозннин чепюй и нечетной ссста- злшоших; Ф(г) + Ф(-г) Ф(г) - Ф(-г) Ф(г) = 2 2 + Так как по смыслу операторов Рь должно бмть Рнф = (Ф(г) Е Ф(-г)), то они нмеин вид Рн= 1(1жТ).Приз Ртн=рн,з еР +Р =1.
1.34. Показать, что эрмитов оператор Р, рассмотренный в задаче 1.19, может быть превращен в проекционный оператор Р = сР умножением на некоторую постоянную величину с. На какое состояние проектирует этот операторт Решение. Опсрзтор Р с киром Р(х, х') = с/(х))'(х'), где с ' = ) 12(х)(т бх, является проекционным. Он проектирует на состояние, описывэемое в.ф. Фт(х) в б(з). 1.3$.
Зрмитов оператор у имеет лишь )У различных собственных значений. Найти еид проекционного оператора Р(1,) длп состояний с заданным значением Д величины у. Решение. путьснзчзла ту=2. при этом нт условие Р(й)ФЛ вЂ” — 0 слеаут, что Р() 1) =и() 1т) в нз условип Р(/~)ФЛ -- Фл нзхолнм е = (у, — гт) '. Обобщение на случай произвольно~о лт очевидно: р(й) =П( — ) '6- у.). ь ! где штрих у симвогэ произвсления означает отсутствие сониожнтеля с Л = т. Ф 4. Преб(ставления операторов и волновых фуниций.
Унитарные преобразования 1.36. Указать нормированные соответствующим образом собственные функции радиуса-векттцза Фп и импульса Фт, в г- и р-представлениях. ~т. Ф (г)=б(г — гз), Фи(г)=(2хЛ) тттехр1 — ~, Ф, (р)= (2ьЛ) т ехр(- — ), Фт,(р) =б(р-рь). 1.37. Найти в импульсном представлении волновую функцию состояния частицы, рассмотренного в задаче 1.13. l ' Г т(Р-Рь) т в'(Р-Р)') Отбет. Ф(р) = )( — Секр т2Л' 1.38.
По заданной волновой функции Ф(э, у, г) вычислить вероптность нахождении частицы в интервалах значений х от г, до гт и р„— от р, до рт. Отлет. Искомзл зеролтнссть г и и ш = ( / ~(Р(х,рт,х)( бхбртсг, \ г| гдз Р(х, р„, х) =(2пд) ' / Ф(х,у,х)ехр1 — "~бу, Л причем функция Ф прсдполагээтсл нормированной нз 1.
Глава 1. Операторы д нбонтобой медовике 1.39. Найти явный вид в импульсном представлении операторов, рассмотренных е задаче 1.1. решение. 1) В кгюрдииатиом преастаапсиии Фз(х) = ТФг(х) ш Ф,(-х). Умишкам эти соот- ношения на Ф;(х) = (2яй) '1' екр (-(рхтд) и проинтегрируем по *. В результате повучим Фз(р) = УФ~(р) ° (2яй) /екр(- — (Ф,(-х) йх, Л гле Ф, з(р) = ) Ф'(х)Ф, з(х) йх — в.ф.
в имяульсиом представлении. Замечая, что интеграл в (1) раасн Ф~( — р), имеем Тфг(р) ш Ф,( — р), т. е, 1 в импульсном представлении также валяется оператором отрюксиия. Аиаеогичио мелодии и лля других операторов: 2) т,ф(р) ш екр ! 1 е 1 Ф(р); 5) М,Ф(р) ш — Ф/ Р ~; 4) КО(р) ш Ф'(-р); 5) р|зФ1р„рг) ш Ф(рг, р,).
1АО. Найти в одномерном случае вид оператора р ' е х-представлении и операто- ра Ы ' в р-представлении. р 'Ф(х) = - Ф(х') йх'. Л,1 С другой стороны, интегрируя е лределак от х до оо, получаем несколько иное соОгиошеиие; р 'Ф(х) = — — Ф(х') йх'. Л г' (2) Однако лля фуикпий, вкодвшик е область определения оператора р ', оио совпадает с (1). х Такис фуикпии должны удовлетворять соотиошеипю 5 Ф(х)йх = О, обеспечпяаюшему обращение внульфуикции р"'Ф(х) грив хоо, какэтоготрсбустусловиеиз ДКФ) йт < оо ллн всея фуикиий из области онрелелеиия Рг оператора у (см.
1.29). Заметим, что с. ф. оператора р ' являются, как и слелозазо ожидать, с. ф. оператора импульса. Аиааогичио лля оператора В ' в р-предстанлеиии получаем: г — Ф(р) — — / Ф(р') йр' = -- / Ф(р') йр'; Л,/ Л/ / Ф(р)бр=О (см. задачу 4.15, в которой это соотношение используется при ре глен пи уравнения Ш репки гера в импульсиом представлении лля частииы в кулоиовском потснпиале). х 'зг В импульсном лзслсшвлсияи р ' и 1, и это зслоеис принимает вял ( р ~1О(р)1' Лр < ею гпсюла з' и и й(О) .—. О, что тозшествсино ( Ф(х) ее = О. Решепсе. Так как рр ' ш 1, то (йгйх)(р 'Ф(х)) ш (згд)Ф(х).
Иитегрируя в прелелак от -оз до х, находим явный вид оператора р ' в координатном представлении: 5 4. Предстадленал олератород и доллодшх функций Х(р, р') = — 3131 ехр [ 1Цг, г')АУАЬ", 1 ГГ Г з(р'г' = рг) \ (2ял)т,Ц [ Д Цг, г) = — Цехр ( ~ Е(р, р)дтрдтр. 1 42. Найти вид операторов т ' и г ' в импульсном представлении. Деигеиие. Оператор 0~ ы г ' имеет в координатном представлении ялро д,(г, г) = б(г-г), з в импульсном представлении (см. 1.41) его ядро Г 1 Г ° (р — р)г) 1 С,(р, р) = — / — ехр 4 1 АР = (2тд)з,/ г ( Л ) 2хза(р — р')т Для операм\ра г аналогично находим дз(г, г) = — 4(г- г') и дт(р, р) = — 1 —— 1 1 ° т 4ел (р — р'( по повалу вычисления интегравов см.
Д1.4). Читателю преллагается показать, что Ст = О, С~ в импульсном представлении). 1АЗ. Даны два эрмитовых оператора А и В. Указать связь мвкду собственными функциями оператора А в В-представленим и собсшенными функциями оператора В в А-представлении. Привести примеры, иллюстрирующие полученным результат.
Решение. Обозначим Фх,(д) и Фв,(е) с.ф. операторов А и В в некотором е-прелсюахении, в Ф(й) — в.ф. произвольного состояния. й.ф. этого состояния х А- и В-представлениях, о(А„) н Ь(В„), опрехеляются соотношениями Ф(4) = Е а(А.)Ф.. (4), с(А ) = 1 Ф' Ф Ат, 4'(4) ш,т,а(В„)Ф,„(4), Ь(В ) = ~ Ф'„Ь Ат (ляя простоты записи мы ограничились случаем, котла спектры операторов А и В дискретные и нееырожаенные). Взяв в качестве Ф с.ф. Фл„находим, согласно (1), ее вид в А-прелсгавлсиии е„(А.) = ~ Ф.'.И)Фв,И) Аг, (2) и аналогично получаем вид с.
ф. Фгч в В-прслставлении Ь,. (Вх) = / 4"в,(4)рх.И) лг. (3) Из выражений (2) н (3) вытекмт ев,(А ) = Ь„'„(Вх); квк иллюстрацию этого соотноязення см. задачу 1.Зб. Из усзэновленного результата следует равенство вероятностей ш,(А„) = (е,(А„)! ш (Ь, (В~)/ = н (В ) (его приложения см. в 3.14, 3.33). 1ь41. Установить соотношение между ядрами Е(г, г') н В(р, р') одного и того же оператора Х в г- и р-представлениях (см. задачу 1.11). Глава 1.
Операторы о «бонтобой межоноле !.44. Какие нэ операторов, рассмотренных в 1.1, являются унитарными? Омбем. Унитарными являются операторы П Т„М, н Рп. 1А5. Унитарный оператор удовлетворяет уравнению От = О, Каков его явный вид? Рещение. Из О' = 0 и 00' = О+0 = 1 следует У = 1. 1А6. Оператор О унитарный. В каком случае оператор О' = сО, где с — некоторое число, также является унитарными? Омоет. )с) = 1, т. с. с = е'", о — взшествсннсе число.
1А7. Показать, что произведение О,О! двух унитарных операторов также является унитарным оператором. Решенне. Из 0 = 0,0, следует О+ = О,+О;, откуда 00' = 0'О = 1 (злесь учтена унитарность операторов Оьт), 1А8. Может ли унитарный оператор (матрица) являться одновременно и зрмитовым? Привести примеры. Решение. иэ условий квк унитэршктиг ОО ' = 1, тзк и эрмнтовости: 0+ = 0 оператора следует От = !. Таким язлястсх оператор, имеющий с. э., равные только ж! (сравнить с 1.17).
Примсры: операторы отражения Х и перестановки Ро нз 1.1; натрием /7аули (си. гл. 5). 1А9. Показать, что эрмитова и антиэрмитова части произвольного унитарного оператора коммутируют друг с другом, так что унитарный оператор может быть диагоналнзован. Каким свойством обладают его собственные значения (сравнить с 1.50)? Решение. Запишем 0 = (О+ 0')/2+ 1(0 — О')/2т. Так кзк ОУ' = 0+У = 1, то [(О! О+), (0-0)] = О. Поэтому эрмитавы операторы О+ У+ н (У вЂ” 0~)/т, а с ними н О, могут быть одновременно привелеиы к дкзгоиапьному виду.
Прн этом с.з. чь опсрвторв 0 удовлетвоРяют условию !н,! = 1. 1.50. Показать, что оператор вида О = ехр (тР) является унитарным, если Р— зрмнтов оператор. Записать в тахом виде унитарные операторы /, Ты й, из 1.1. Рещение. Твк как Ог = схр (-тР ) = ехр (-1Р ), то 00г ш О+О = 1. Прн згои с. э, н„ оператора О связаны с с.з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
