Galitskii-1 (1185111), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Нвконен, по формуле (1.5) дпя средних получаем Е ш 5Л>/тпз ш 1,0! ЗЕе. В связи с данной зедвчей см. также 8.23. Решение. В отой задаче (г = ля'/2 — еяае (-ейех — потенциальнмг энергия юряженной частицы в однородном электрическом поле гм). У. Ш. заменой переменной * = х — ед>/Л свалится к у. Ш. зля обычного линейного осциллятора, что позволяет найти спектр и с.ф. гамнльтониана: егрг Е =Лш п+-/1 —— — 2) ' =" ш"(-й /Л шш)/ —, пш0,1, ом. (И.2).
Установленный вид собственных функпий гамнльтониана частицы показывает, что, квк и в клвссичеекои случае, действие однородного полл иа оспиллятор сводится лишь к смешению его положения равновесия. Поляризуемосги всех стапионарных состояний оеппллятора одинаковы и равны ре = е /пкяг. 2.3. Вычислив среднее значение энергии Е(а) в состоянии с волновой функцией Ф(х,а) = ь/асхр(-а(х(), а > О, показать, что в любом одномерномг> потенциале (/(х), удовлетворяющем условиям (/(х) О при х -г Лсо н ( (/(х) г(х < О, всегда имеется хотя бы одно состояние дискретного спептра с энергией Ео < О (так что такой потенциал всегда может есвяэатьь частицу; отметим, что прн этом не требуется выполнения более жесткого условия (/(х) < О при всех значениях х).
Решение. Покажем, что Е(а) < 0 прн доетвточно малых значениях а. Так квк Ео < Ю, где Е', — эиеопгя основного уровня, то тем самым будет доказано утверждение задачи. Нвходюс Т = рг/2гп = Лгаг/2гн а аг, в ГГ ш а / Г/(х) Пх а а лри а О, так что при этом Е(а) ш Г/ < О. а.4, Обозначим череа Ея н Е„значения и-го уровня энергии дискретного спектра в полЯк (/(х) н (/(х), свазанных Условием 0(х) = (/(х) + б(/(х), где 6(/(х) ге О. Показать, что Ея ~ )Е„(этот результат непосредственно переносится на случай системы с произвольным числом степеней свободы). Решение. Обозначим Е (Л) и Ф„(хг Л) уровни д. с. н е. ф, гамильтониана Е(Л) = рг/2гп + Г/(в) + Л бО(х). Соглаегго формуле (1.6) имеем г>Е (Л) г бЛ =3( бгг(х)(Ф„(х,Л)! г>х ВО.
Отсюда вытекает утверждение заычи, твк квк Е„ш Е„(Л = О), в Е„ш Е„(Л = 1). е> нвломнпи, чю пол ялпзуемоегь Р опввпелвег говенна ляпал ьнмп моне нт, 4 м Р я . нплупноуемыв 3 елввмм внешпнм злмггрнчмвнм полем> оьп же опрелеляш кввлрвтпчную чвшь ае = -Рй /2, спелы энергетическою уровня в твкон Поле. з> С>нанять е резуяьтегвмн гвпвч 4.2 >, 4.33. 2.2. Найти изменение энергетических уровней н волновых функций стационарных состояний зарюкенного линейного осциллятора прн наложении на него однородного электрического поля, направленного вдоль оси колебаний. Каковы лаллриздемостиг> стационарных состояний осциллятора? эг Глава 2.
Одномерное дрожание 2.5. Найти соответствие между < > энергетическими уровнями дискретного спектра и нормированными волновыми функциями стационарных состояний частицы в потенциалах У(х) и У(х), связаинык между собой следующим образом: й(х) = У(х) при х > 0 ий()=о щ х<0, прчем потенциал У(х) симметричен рнс.
1 (рис. 1). Решение. Уровни энергии в симметричном потенциале Ц(е) имеют алредгленную чстность, равную ( — !)". При этом для нечемнмх состояний при и ) 0 у. Ш. и условия Ф(0) = Ф(оо) =-0 точно такие жс, квк и в патенцн- Ц(х> алс й. Соответственно. спектР У=и Яз совпвввст со спектром нечетных уровней в потенциале Ц, в нормированные с. ф. Различаются лишь множителем: А=Енто Фз(х) = ттрн Фии(е), я ) О, Л = О, 1,...; злясь учтено, что четные и нечетные уровни чередуются, в самый нижний — четный (см. Рис.
2). Рис. 2 2,6. Потенциал имеет вид: У(х) = й(х) + а 6(х — ха), где 6(х) — дельта-функция Дирака, а У(х) — ограниченная функция. Как ведут себя решение Фл(х) уравнения Шредингера и его производная в точке ха? решение. Изу.Ш. Лт — — Фв(х) + [Ц(я) — о б(х — яа)) Фл(я) = ЕФв(е). 2т (1) амтсквсг непрерывность в. ф. Фг(я) в точке еа и Рвзрмвный хараючр сс производной. Величина скачка Фв должна быть такой, чтобы б-функпионнос слагаемое в Фв (производная разрывной функции пропорпиональнв б-функпин) компенсировало член об(е — еа)Фл(за) клавой части (1). Проинтегрировав (1) паузков области ха-с < з < за+с н устремляя с кО, находим 2гло бев(за) ю Фл(еа + 0) — Рв(аа — 0) = — тФа(еа), Ра(ха + 0) = Рс(ка - О).
(2) Лт 2. б. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы е 6-потенциале'! У(х) = -об(х), рис. 3. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях. Вычислить произведение неопределенностей координаты и импульса. Каков внд волновой функции а импульсном представленииу и В адкаиаанаи аатчвс б-ватачккал притяжания иадалиртат ммкуи патанкнальктю яиу ц(а> (иктвтачна аааидюльн ага вила), ва» катазаа амтРа/дт < 1; Ра н а — хаавкгаанна вал ачи кз аатаиинала к ма радиус, лри этан "а = ( й(з> лз < е. В свят» с дачная закачав си.
такса 2 ! 7, тат н 223 5 1. Стационарные состояния дискретного спектра Решение. !) Решение'! у. Ш. с Г/ = -а б(х) имеет вид Ф = Ае "* при х > 0 и Ф = Вен при к < 0; здесь к (-2гпЕ/д ) > О. т 1гт Используя соотношения (2) прсдыаушей зааачи (с учетом замены в них а на -а), находим А = В и уравнение для спектра! к = пза/Лт. Из него саакует, что при о < 0 (б-барьер) свазанных состояний нет, а при а > О (б-яыа) инесгая, причем только одно состояние д.
с, с Ео -- -гпоз/2Л'! при этом нормированная к ф. оп о Фо(*) = т/ш е *"*', тле ко = —,. й' ' 2) Искомые средние Рнс. 3 Г/=2Еог Т= Ео В=О (Ек)з= — хот р О (!,Р), Лткоз 2 3) В.ф. основного состояния в импульсном предстзввении Ф.()н, ~' --ДФ,(*)я*н тl2хд / (Р' + дзк,') сравнить с 2.17, 2.8. Найти энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний частицы в потенциале, указанном на рис, 4. РЕШЕНХЕ.
У Ш. для *) О Заысиай ПЕРЕМЕННОП Ох = В(К-Е/РО) С рн (2тРО/д ) Прнитдкт- т чз ся канду Ф"(з)-зФ(з) нО. Его решением'1, убывающим приз (их) +оа, язляетсяфункция г/!х1 Эйри А!(з). Соотвстстшнно, Ф(х) = сд! (!1(а — Е/Ро)), при Ц=н Ргт этом граничное условие Ф(0) = сд! (-!ЗЕ/Ро) = 0 определп- Р ет энеРгстический спектр. Обозначив -о„где а = 1,2,..., "3 последовательность нулей функций Эйри (они отрицательны) Ео в поряаке возрастания оь, находим уровни энергии Лтрт~ $73 (!) 2гп 0 х В частности, учтп значение о, ш 2,ЗЗК, получаем для основного уровня Ео пг 1,ЬЗЬ(й'Роз/гл) 2.9. Найти энергетические уровни дискретного спектра и соответствующие волновые функции частицы в потенциале (г(к) = (/е(е т'/' — Ье */'), (/е ) О, а > О, Ь > О.
Решение. С помощью замены переменной з 2Рс *Ы н переходе к новой фупкпнн н(о) з Уз т тко согласно Ф = з" е 'Гт н(з), где н = (-2гпЕ/йз) н р = (2тг/оа~/Д ), у. Ш, свалится к гипергеометрическому уравнению ! ЬР'т зн +(1 о 2ка — з)н + ~-ха — -+ — /! и= О.
2/ (1) Так как Ф сг е "* а зн убывает при х -о +со (з 0), то реагение уравнения (1) следует выбрать в виде 1 ЫЗ ги(з) = сР (ка + — — —, ! + 2ха, з) . 2 2' (2) т! Экспоиспипыьно Ростушно прн з аоо слагаемые о Рихепнп у.Ш. опушены. пс (зе,и) 2з ти Глава 2. Одномерное дбозхение Условие убывания Ф(н) при а -со (л — +ос) требует, чтобы функдна Р(о, !1, л) в (2) свалилась к лосиному, что опвслеляст скскгр: ьб (ьд !) ауди а+ - - — и -П, Пм0,1,..., ~ — — -)1, 2 2 ' '' '(г 2)' илн з гп гпа' ~Ч гйз (, г/ -.,/'»»вР-< - »! ..
соотаегствуюшие появлению вовою, Аг-го по счету уровня д. с, при углублении потенниальпой ямьз. 2.! О, То жа, что н а предыдущей задаче, для потенциала (у(к) = »у! (уз гуаз >о, (! + е»/ ) (1+ ес/а) Решение. Состояния д.с. могут быть лишь при (У, > Ггз/2 (иначе потснниал не имеет мн!гимума), причем дпа значений е ч ш)л(0, (г, — Рз). 1(ая решения уравнения шрсднмгсра сделаем замену переменной л = -с»Г» и полстановку Ф = (1 — з)™глш(л).
При атом у. Ш, принимает внд (хз з = ггп(г, тгй', и = (-гшд!й') ) (г(е+ !)л — х)а (гефте)л+хзо з з г) з е»+ ~ — +(гн+ 1)с]н'+ [ + -х е +х ]ш=б. (!) (1 - л (1 — л) з 1-г Если параметры г и и выбрать равными е=--+туг-ех)ез, и= (хз+к,'-:»з)аз, то (1) саодишя к стандартному типергеомегричсскому уравнению з(1 — л)зй'+ [гр+! — (2Р— 2с+ !)з]ш' — (Из+ »ге — гсм-с — хзаг]и =О (2) с оараметрамн о = и - с т хе, д = х - с - ка, 7 = 1+ 2х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
